2015 年 10 月浙江省普通高中学业水平考试数学试题一、选择题（本大题共18 小题，每小题 3 分，共 54 分。

每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）1.函数 f ( x) 3 x 2的定义域为A. （－∞，0）B.[0 ，+∞）C. [2 ， +∞）D. （－∞， 2）2.下列数列中，构成等比数列的是A.2 ，3， 4， 5，B.1，－ 2，－ 4， 8C.0 ， 1，2， 4D.16，－ 8，4，－ 23.任给△ ABC ，设角 A ， B， C 所对的边分别为 a， b， c，则下列等式成立的是A.c 2=a2+b2+2abcosCB. c2=a2+b2－ 2abcosCC. c2=a2+b2+2absinCD. c2=a2+b2－ 2absinC4.如图，某简单组合体由一个圆锥和一个圆柱组成，则该组合体三视图的俯视图为5.要得到余弦曲线 y=cosx，只需将正弦曲线 y=sinx 向左平移A.个单位B.个单位C.个单位D.个单位23466.在平面直角坐标系中，过点 (0， 1)且倾斜角为 45°的直线不经过．A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限7.已知平面向量 a=(1，x)，b=(y，1)。

若 a∥b，则实数x，y一定满足A.xy － 1=0B. xy+1=0C.x － y=0D.x+y=08.已知 {a n}(n ∈N*) 是以1 为首项， 2为公差的等差数列。

设 S n是 {a n} 的前 n 项和，且 S n=25，则 n=A.3B.4C.5D.69.2的焦点为 F。

若 F 到直线 y= 3 x 的距离为 3 ，则p=设抛物线 y =2px(p>0)A.2B.4C.23D.4310.在空间直角坐标系 Oxyz 中，若 y 轴上点 M 到两点 P(1，0，2)，Q(1，－ 3，1) 的距离相等，则点M的坐标为A.(0 ， 1，0)B. (0 ，－ 1， 0)C. (0 ， 0， 3)D. (0， 0，－ 3)3x y0,11.若实数 x， y 满足x 2 y0,则 y 的最大值为(x1)2y21,A.3B.1C.3D. 425112.设 a>0，且 a≠1，则“a>1”是“log a2<1”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件13.如图，在正方体 ABCD － A 1 B1C1D 1中，M 为棱 D1C1的中点。

设 AM 与平面 BB 1D 1D 的交点为 O，则A.三点 D 1，O， B 共线，且 OB=2OD 1B.三点 D 1， O， B 不共线，且 OB=2OD 1C.三点 D 1， O， B 共线，且 OB=OD 1D.三点 D 1，O， B 不共线，且 OB=OD 1（第 13 题图）14.设正实数 a， b 满足 a+λb=2 （其中λ为正常数）。

若 ab 的最大值为 3，则λ=A.3B.3 C .2 D.123315.在空间中，设 l ， m 为两条不同直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题正确的是A.若 l α， m 不平行于 l ，则 m 不平行于αB.若 l α，m β，且α，β不平行，则 l ， m 不平行C.若 l α， m 不垂直于 l ，则 m 不垂直于αD.若 l α， m β， l 不垂直于 m，则α，β不垂直16.设 a， b， c∈R，下列命题正确的是A. 若 |a|<|b|，则 |a+c|<|b+c|B. 若 |a|<|b|，则 |a－ c|<|b－ c|C. 若 |a|<|b－c|，则 |a |<|b|－ |c|D. 若 |a|<|b－ c|，则 |a|－ |c|<|b|17. 已知 F1， F2分别是双曲线x2y21(a, b 0) 的左、右焦点，b2a2l1， l 2为双曲线的两条渐近线。

设过点M(b ， 0)且平行于 l1的直线交l 2于点 P。

若 PF1⊥ PF2，则该双曲线的离心率为A.3B.5（第 17 题图）C.14241D.14241 2218. 如图，在菱形ABCD 中，∠ BAD=60°，线段 AD ， BD 的中点分别为E， F。

现将△ ABD 沿对角线 BD 翻折，则异面直线BE 与 CF 所成角的取值范围是A. (,)B. (6,] C. ( ,] D. (,2)6323233（第 18 题图）二、填空题（本大题共 4 小题，每空 3 分，共 15分）19.设 a， b 为平面向量。

若a=(1，0)， b=(3，4)，则|a|=， a·b=.20.设全集 U={2 ， 3， 4} ，集合 A={2 ， 3} ，则 A 的补集U A=.21.n 1 23{ a n1 } 是等差数列，则a6.在数列 {a }(n∈ N*)中，设 a =a =1，a =2。

若数列an=22.已知函数 f(x)=x a | x a |， g(x)=ax+1 ，其中 a>0。

若 f(x) 与 g(x) 的图象有两个不同的交点，2则 a 的取值范围是.三、解答题（本大题共 3 小题，共 31 分）23.（本题 10 分）已知函数 f(x)=2sinxcosx ，x∈R.（Ⅰ）求 f(4 )的值；（Ⅱ）求函数f(x) 的最小正周期；（Ⅲ）求函数g(x)=f(x)+f(x+4 )的最大值。

24. （本题 10 分）设 F 1， F 2 分别是椭圆C ： x 2 y 2 1的左、右焦点，2过 F 1 且斜率不为零的动直 线 l 与椭圆 C 交于 A ， B 两点。

（Ⅰ）求△ AF 1F 2 的周长；（Ⅱ）若存在直线 l ，使得直线 F 2A ， AB ，F 2B 与直线 x= －1分别2交于 P ， Q ， R 三个不同的点，且满足 P ， Q ， R 到 x 轴的距离依次成等比数列，求该直线l的方程。

25. （本题 11 分）已知函数 f(x)=ax1 1 ，a ∈ R .x 1 x 1（Ⅰ）判断函数f(x) 的奇偶性，并说明理由；（Ⅱ）当 a<2 时，证明：函数 f(x) 在 (0， 1)上单调递减；（Ⅲ）若对任意的x ∈ (0， 1)∪ (1， +∞)，不等式 (x － 1)[f(x) － 2 ]≥0 恒成立，求 a 的取值范围。

x数学试题参考答案一、选择题（本大题共18 小题，每小题 3 分，共 54 分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案C D B D A D A C BB题号11 12 13 14 15 16 17 18 答案BAADCDBC二、填空题 （本大题共4 小题，每空 3 分，共 15 分）19.1 ， 3 20.{4} 21.12022.0<a<1三、解答题（本大题共 3 小题，共 31 分）23.解： （Ⅰ） 由题意得f(4 )=2 sin 4 cos 4 =1（Ⅱ） ∵ f(x)= sin2x ∴函数 f(x) 的最小正周期为 T= π（Ⅲ） ∵ g(x)= sin2x+ sin(2x+ 2 )= sin2x+cos2x=2 sin(2 x 4)∴当 x k, k ∈ Z 时，函数 g(x) 的最大值为 2824.解： （Ⅰ）因为椭圆的长轴长2a=22 ，焦距 2c=2.又由椭圆的定义得|AF 1|+|AF 2|=2a所以 △AF 1F 2 的周长为 |AF 1|+|AF 2|+|F 1F 2|=22 +2（Ⅱ）由题意得 l 不垂直两坐标轴，故设l 的方程为 y=k(x+1)(k ≠0)于是直线 l 与直线 x=－ 1交点 Q 的纵坐标为y Qk2 2设 A(x 1， y 1)， B(x 2， y 2)，显然 x 1，x 2≠1，所以直线 F 2A 的方程为 yy 1 (x 1)x11故直线 F 2A 与直线 x= －1交点 P 的纵坐标为 y P3y 122( x 1 1)同理，点 R 的纵坐标为 y R3y 22( x 2 1)因为 P ， Q ， R 到 x 轴的距离依次成等比数列，所以|y P | |y ·R |=|y Q |23 y 3 y k 2 9k 2 (x 1 1)(x 2 1) 2即 | 1 2| 即 | ( x 1 1)(x 2 1) | k 2( x 1) 2( x 1) 412整理得 9 | x 1 x 2 (x 1 x 2 ) 1| | x 1x 2 ( x 1 x 2 ) 1| 。

（ * ）yk( x1),消去 y 得 (1+2k 2)x 2+4k 2x+2k 2－ 2=0联立x 2 y 21,2所以 x 1+x 2=4k 2 ， x 1x 2= 2k 221 2k 21 2k 2代入（ * ）得 9 |2k224k 21| |2k 2 2 4k 21|1 2k 21 2k 21 2k2 1 2k 2 化简得 |8k 2 － 1|=9解得 k= 52经检验，直线 l 的方程为 y=5(x+1)2111 =－ ( ax 1125. （Ⅰ）解：因为 f(－ x)= － ax x 1 xx1 x 1 )=－ f(x)又因为 f(x) 的定义域为 {x ∈ R |x ≠－ 1 且 x ≠1}所以函数 f(x) 为奇函数。

（Ⅱ）证明：任取x 1， x 2∈ (0， 1)，设 x 1<x 2，则f(x 1) －f(x 2)=a(x 1－ x 2 )+x 2 x 1x 2 x 11)(x 21) (x 11)( x 2 1)( x 1 = ( x 1x 2 )[ a111)](x 1 1)(x 2 1) ( x 1 1)(x 2 = ( x 1 x 2 )[ a 2( x 1x 2 1) ](x 121)(x 2 21)因为 0<x 1<x 2<1，所以 2(x 1x 2 +1)>2 ， 0<(x 12 －1)(x 22－ 1)<1所以2( x 1 x 2 1) 2a 所以a 2( x 1x 21)( x 121)( x 221) ( x 121)(x 221)又因为 x 1－ x 2<0 ，所以 f(x 1)>f(x 2)所以函数 f(x) 在 (0， 1)上单调递减（Ⅲ）解：因为 (x － 1)[f(x) －2]=(x － 1)[ ax2x － 2]x x 2 1 x ax 2 ( x 21) 2x 22( x 2 1) ax 2 ( x 2 1) 2=x( x 1)=1)x( x所以不等式 ax 2(x 2－1)+2 ≥0 对任意的 x ∈ (0， 1)∪ (1， +∞)恒成立。