第33讲 用坐标表示图形变换
在一些综合题中会有所涉及，如图形的对称、平移和旋转中会涉及求点的坐标；已知图象上的点，判断函数所在象限等等．预计2015年中考，本节内容单独考查的可能性不大．
1．平面直角坐标系
在平面内具有__公共原点__而且__互相垂直__的两条数轴，就构成了平面直角坐标系，简称坐标系．建立了直角坐标系的平面叫坐标平面，x 轴与y 轴把坐标平面分成四个部分，称为四个象限，按逆时针顺序依次叫第一象限、第二象限、第三象限、第四象限．
各象限内和坐标轴上的点的坐标规律
第一象限：(＋，＋)；
第二象限：(－，＋)；
第三象限：(－，－)；
第四象限：(＋，－)；
x轴正方向：(＋，0)；x轴负方向：(－，0)；
y轴正方向：(0，＋)；y轴负方向：(0，－)；
x轴上的点的纵坐标为0；y轴上的点的横坐标为0；
原点坐标为(0，0)．
2．建立了坐标系的平面，有序实数对与坐标平面内的点__一一对应__．
3．对称点坐标的规律
(1)坐标平面内，点P(x，y)关于x轴(横轴)的对称点P1的坐标为__(x，－y)__；
(2)坐标平面内，点P(x，y)关于y轴(纵轴)的对称点
P2的坐标为__(－x，y)__；
(3)坐标平面内，点P(x，y)关于原点的对称点P3的坐标为__(－x，－y)__．
可用口诀记忆：关于谁轴对称谁不变，关于原点对称都要变．
4．平移前后，点的坐标的变化规律
(1)点(x，y)左移a个单位长度：(x－a，y)；
(2)点(x，y)右移a个单位长度：(x＋a，y)；
(3)点(x，y)上移a个单位长度：(x，y＋a)；
(4)点(x，y)下移a个单位长度：(x，y－a)．
可用口诀记忆：正向右负向左，正向上负向下．
一个思想
本讲中比较广泛地应用数形结合的思想来研究问题．数形结合，直观形象，为分析问题和解决问题创造了有利条件，如用点的位置解答相关问题是典型的数形结合思想的应用．四种定位方法
(1)方位角定位法；(2)方向角距离定位法；(3)数轴法；(4)直角坐标系法．
(2013·陕西)在平面直角坐标系中，线段AB的两个端点的坐标分别为A(－2，1)，B(1，3)，将线段AB经过平移后得到线段A′B′，若点A的对应点A′(3，2)，则点B的对应点B′的坐标是__(6，4)__．
平面直角坐标系与点的坐标
【例1】(2014·赤峰)如图所示，在象棋盘上建立平面直角坐标系，使“马”位于点(2，2)，“炮”位于点(－1，2)，写出“兵”所在位置的坐标__(－2，3)__．
【点评】本题考查了坐标确定位置，确定出原点的位置并建立平面直角坐标系是解题的关键．
1．(2013·济南)如图，动点P从(0，3)出发，沿所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第2013次碰到矩形的边时，点P的坐标为( D )
A．(1，4)B．(5，0)C．(6，4)D．(8，3)
新定义型点的坐标
【例2】(2013·钦州)定义：直线l1与l2相交于点O，对于平面内任意一点M，点M 到直线l1，l2的距离分别为p，q，则称有序实数对(p，q)是点M的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”是(1，2)的点的个数是( C )
A．2个B．3个C．4个D．5个
【点评】本题考查了点到直线的距离，两平行线之间的距离的定义，理解新定义，掌握到一条直线的距离等于定长k的点在与已知直线相距k的两条平行线上是解题的关键．
2．(1)(2014·黔西南州)在平面直角坐标系中，对于平面内任一点(m，n)，规定以下两种变换：
①f(m，n)＝(m，－n)，如f(2，1)＝(2，－1)；
②g(m，n)＝(－m，－n)，如g(2，1)＝(－2，－1)
按照以上变换有：f[g(3，4)]＝f(－3，－4)＝(－3，4)，那么g[f(－3，2)]＝__(3，2)__．
(2)在平面直角坐标系中，设点P到原点O的距离为ρ，OP与x轴正方向的夹角为α，则用[ρ，α]表示点P的极坐标，显然，点P的极坐标与它的坐标存在一一对应关系．例如：点P的坐标为(1，1)，则其极坐标为[2，45°]．若点Q的极坐标为[4，60°]，则点Q的坐标为( A )
A．(2，23) B．(2，－23)
C．(23，2) D．(2，2)
求平移、轴对称、旋转对称对应点的坐标
【例3】(1)(2014·厦门)在平面直角坐标系中，已知点O(0，0)，A(1，3)，将线段OA 向右平移3个单位，得到线段O1A1，则点O1的坐标是__(3，0)__，A1的坐标是__(4，3)__．
(2)(2014·邵阳)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A(3，4)，将OA绕坐标原点O 逆时针旋转90°至OA′，则点A′的坐标是__(－4，3)__．
【点评】(1)本题考查了坐标与图形变化——平移，熟记平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减是解题的关键．(2)本题考查了坐标与图形变化——旋转，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．
3．(2014·牡丹江)如图，把ABC经过一定的变换得到△A′B′C′，如果△ABC上点P的坐标为(x，y)，那么这个点在△A′B′C′中的对应点P′的坐标为( B )
A．(－x，y－2)
B．(－x，y＋2)
C．(－x＋2，－y)
D．(－x＋2，y＋2)
试题如图，一个粒子在第一象限内移动，在第一分钟内它从原点移动到(1，0)，而后接着按图所示，在x轴、y轴平行方向移动，每分钟移动1个单位，那么在1989分钟后，这个粒子所处位置为()
A．(35，44)B．(36，45)
C．(45，36) D．(44，35)
错解C
剖析粒子的移动，也可以看作是粒子的平移，像这个数据较大的情形，需要通过观察某些特殊点的坐标与运动时间来探究其蕴藏的规律．首先我们来看看当粒子移动到坐标轴上时的情形：
坐标(1，0)，(2，0)，(3，0)对应时间为1分，8分，9分；
坐标(4，0)，(5，0)，(6，0)…对应时间为24分，25分，48分…；
坐标(0，1)，(0，2)，(0，3)对应时间为3分，4分，15分；
坐标(0，4)，(0，5)，(0，6)…对应时间为16分，35分，36分…；
观察可知，在x轴上奇数的平方对应着移动时间，在y轴上偶数的平方对应着移动时间，而与1989最接近的是452＝2025，相差2025－1989＝36分钟，即先将横坐标倒退一个单位，即44，再向上进35个单位，此时，1989对应的坐标为(44，35)，而C答案中，当横坐标为45时，对应的时间为2025分钟，不能直接再向上移动36个单位，否则按照运动规律，对应时间为2061分钟．
正解D。