38第五章刚体力学5-1作定轴转动的刚体上各点的法向加速度，既可写为2n va R =，这表示法向加速度的大小与刚体上各点到转轴的距离R 成反比；也可以写为2n a R ω=，这表示法向加速度的大小与刚体上各点到转轴的距离R 成正比。

这两者是否有矛盾？为什么？解：没有矛盾。

根据公式2n v a R =，说法向加速度的大小与刚体上各点到转轴的距离R 成反比，是有条件的，这个条件就是保持v 不变；根据公式2n a R ω=，说法向加速度的大小与刚体上各点到转轴的距离R 成正比，也是有条件的，条件就是保持ω不变。

5-2一个圆盘绕通过其中心并与盘面相垂直的轴作定轴转动，当圆盘分别在恒定角速度和恒定角加速度两种情况下转动时，圆盘边缘上的点是否都具有法向加速度和切向加速度？数值是恒定的还是变化的？解：设圆盘的角速度为ω，角加速度为α，则：（1）圆盘以恒定角速度转动时：()20n a R d R dv a dt dtτωω⎧=⎪⎨===⎪⎩0a τ=、n a 数值均是恒定的。

（2）圆盘以恒定角加速度转动时：000t dt t ωωαωα=+=+∫（其中0ω为0t =时圆盘转动的角速度）()()220n a R t R d R dv a R dt dt τωωαωα⎧==+⎪∴⎨===⎪⎩n a 数值是变化的、而a τ数值均是恒定的。

5-3原来静止的电机皮带轮在接通电源后作匀变速转动，30s 后转速达到1152rad s −⋅。

求：(1)在这30s 内电机皮带轮转过的转数；(2)接通电源后20s 时皮带轮的角速度；39(3)接通电源后20s 时皮带轮边缘上一点的线速度、切向加速度和法向加速度，已知皮带轮的半径为5.0cm。

解：电机作匀速转动，所以角加速度α为常量()00ω=d dt ωα=∵0t dt t ωαα∴==∫故：2152 5.0730rad s t ωα−===⋅而：d dt θω=20012t t dt tdt t θωαα∴===∫∫（1）2211152302280362.92230t rad θα==××=≐转（2）'15.0720101.3t rad s ωα−==×⋅≐（3）''15.07v R m s ω−==⋅225.075100.254a R m s τα−−==××=⋅2'2222101.3510513.1n v a R m s R ω−−===××=⋅5-4一飞轮的转速为1250rad s −⋅，开始制动后作匀变速转动，经过90s 停止。

求开始制动后转过33.1410rad ×时的角速度。

解：d dtωα=∵00t dt t ωωαα∴−==∫2025025 2.8909rad s t ωα−∴=−=−=−=−⋅()'''230001 3.14102t t dt t t θωαωα=+=+=×∫即：()'2'31 2.8250 3.141002t t ×−+−×='13.6t s ∴='10250 2.813.6212t rad s ωωα−∴=+=−×=⋅5-5分别求出质量为m =0.50kg、半径为r =36cm 的金属细圆环和薄圆盘相对于通过其中心并垂直于环面和盘面的轴的转动惯量；如果它们的转速都是1105rad s −⋅，它们的转动动能各为多大？40解：222220.500.360.0648 6.4810J mr kg m kg m −==×=⋅=×⋅环24222201122 3.241042r m J r r dr r r kg m r ρππππ−=⋅⋅=⋅⋅==×⋅∫盘()22211 6.481010535722E J J ω−∴==×××≐环环()22211 3.2410105178.522E J J ω−==×××≐环盘5-6将一根均匀细直杆等分为四段，每段的长度为l 、质量都为l m ，并在直杆内的三个等分点上分别放置一个质量为m 的质点。

现使此体系以角速度ω绕过其一端点并与细杆垂直的轴转动，试求此体系相对该转轴的转动惯量和转动动能。

解：据题意，体系的转动惯量为：()()()()2222216444231433l l J m l ml m l m l m m l ⎛⎞=+++=+⎜⎟⎝⎠体系的转动动能为：222221164321472233k l l E J m m l m m l ωωω⎛⎞⎛⎞==+=+⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠5-7转动惯量为220kg m ⋅、直径为50cm 的飞轮以1105rad s −⋅的角速度旋转。

现用闸瓦将其制动，闸瓦对飞轮的正压力为400N，闸瓦与飞轮之间的摩擦系数为0.50。

求：(1)闸瓦作用于飞轮的摩擦力矩；(2)从开始制动到停止，飞轮转过的转数和经历的时间；(3)摩擦力矩所作的功。

已知：220J kg m =⋅150 2.5102R cm m −==×11105rad s ω−=⋅()400N N =0.50µ=110rad s ω−=⋅求：（1）f M （2）t （3）A解：（1）()10.5400 2.51050f M fR N R N m µ−=−=−⋅=−×××=−⋅41（2）由动能定理：()22225211111120105 1.1102222A J J J J ωωω=−=−=−××=−×（3）由转动定理：f d M J dt ω=得：250 2.520f M d rad s dt J ω−−===−⋅积分得：2102.5 2.5t dt t ωω−=−=−∫()1105422.5 2.5t s ω∴===5-8轻绳缠绕在一个质量为0m 的圆盘状定滑轮的边缘，其一端悬挂一质量为m 的物体，如图所示，如果滑轮的半径为r ，求物体与滑轮之间的绳子张力、物体下落的加速度和圆盘的角加速度。

解：圆盘的转动惯量为：2012J m r =()()2012mg T ma m r Tr J m r ααα⎧−==⋅⎪∴⎨==⎪⎩由牛顿第二定律得由转动定理得解得：()()000022122mg m m r m mg T m r m m αα⎧=⎪+⎪∴⎨⎪==⎪+⎩物体下落的加速度为：022mga r m m α==+5-9轻绳跨过一个质量为M 的圆盘状定滑轮，其一端悬挂一质量为m 的物体，另一端施加一竖直向下的拉力F ，使定滑轮按逆时针方向转动，如图所示。

如果滑轮的半径为r，求物体与滑轮之间的绳子张力和物体上升的加速度。

解：如图示为各物体的受力情况：()()()T mg ma m r F T r J αα⎧−==⋅⎪⎨−=⎪⎩由牛顿第二定律得由转动定理得42即得：()()()1122T mg m r F T r Mr αα−=⋅⎧⎪⎨−=⎪⎩⋯⋯⋯（1）+（2）得：12F mg m M r α⎛⎞−=+⎜⎟⎝⎠()()22F mg m M rα⋅−∴=+故：()()()222222F mg a r m M F mg m Mg F T mg m m M m Mα⋅−⎧=⋅=⎪⎪+⎨⋅−⋅+⎪=+⋅=⎪++⎩5-10一根质量为m、长为l 的均匀细棒，在竖直平面内绕通过其一端并与棒垂直的水平轴转动，如图5-8所示。

现使棒从水平位置自由下摆，求：(1)开始摆动时的角加速度；(2)摆到竖直位置时的角速度。

解：（1）开始摆动时细棒所受力矩为：2lmg ⋅由转动定理：2l mg J α⋅=2322123l l mg mg g J l ml α⋅⋅∴===（2）由机械能守恒：2122l mg J ω⋅=ω∴=5-11一根高为h 的均匀直杆，起初竖直立于地面上，后因受扰动而倒下，求直杆顶端触及地面时直杆的角加速度和线速度。

解：设：直杆的质量为m ，直杆倒下过程中，直杆没有滑动。

由机械能守恒定律：2221112223l mg J ml ωω⎛⎞⋅==⋅⋅⎜⎟⎝⎠v l ω∴=（直杆顶端的线速度）43由转动定理得：2123l mg J ml αα⎛⎞⋅==⋅⎜⎟⎝⎠232123l mg g l ml α⋅∴==5-12有一质量为m 、长为l 的均匀细直棒，其一端由桌子边缘支撑，另一端用手指托住，使它呈水平状。

在某瞬间突然将手指抽回，求在此瞬间：（1）直棒绕桌边支撑点的角加速度；（2）直棒质心的竖直加速度；（3）桌边支撑点作用于直棒的竖直方向的力的大小。

解：（1）均匀细真棒绕桌边的转动惯量为：213J ml =手指抽回的瞬间，由转动定理得：2123l mg J ml αα⎛⎞⋅==⋅⎜⎟⎝⎠232123l mg g l ml α⋅∴==（2）直棒质心的竖直加速度为：332224c l g l g a l α=⋅=⋅=（3）对于质心，真棒在竖直方向受重力和桌边支撑点的作用力T 共同作用，由牛顿第二定律得：c mg T ma −=3144c T mg ma m g g mg ⎛⎞∴=−=−=⎜⎟⎝⎠5-13如果由于温室效应，地球大气变暖，致使两极冰山熔化，对地球自转有何影响？为什么？答：冰山融化，则两极的冰溶化为水后，向海洋中流动，海平面升高，地球的转动惯量增大。

角动量守恒定律知，地球的自转会变慢。

（J ω=∵常量）5-14一个质量为0m 半径为R 的圆盘状平台，以角速度Ω绕通过中心的竖直轴自由旋转。

有一质量为m 的小爬虫垂直地落在平台的边缘。

问：Tmg44（1）小爬虫刚落到平台边缘时，平台的转速是多少？（2）当小爬虫从平台边缘向平台中心爬动离中心的距离为r 时，平台的转速是多少？解：（1）圆盘的转动惯量为：21012J m R =小虫对平台中心的转动惯量为：22J mR =由角动量守恒定律：()112J J J ωΩ=+011202m J J J m mωΩΩ∴==++（2）当小爬虫从平台边缘向平台中心爬动离中心的距离为r 时，小虫对平台中心的转动惯量为：'22J mr =；由角动量守恒定律：()'112J J J ωΩ=+201'221202m R J J J m R mr ωΩΩ∴==++5-15一水平放置的圆盘绕竖直轴旋转，角速度为1ω，它相对于此轴的转动惯量为1J 。

现在它的正上方有一个以角速度为2ω转动的圆盘，这个圆盘相对于其对称轴的转动惯量为2J 。

两圆盘相平行，圆心在同一条竖直线上。