因此
n
30
( rad / s )
2 1200 1 rad / s 40 rad / s 60 2 2880 2 rad / s 96 rad / s 60
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8
5.1 刚体的基本运动
轮子做匀加速定轴转动，故有
(96 40) rad / s 2 t 8 7 rad s2 22.0 rad s2
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(t )
(t t ) (t )
（包含p并与转轴垂直） 转动平面 转轴
t2 t1 t d lim t 0 t dt
2 1
5
5.1 刚体的基本运动
角速度方向
SI: rad/s 弧度/秒
② 与质量、形状、大小及质量对转轴的分布情况有关 ③ 质量连续分布的刚体用积分 线分布 细杆 面分布 薄板 体分布 实球
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Jz

v
r 2 dm
线密度 面密度 体密度
dm l dl dm s ds
v
dm dv
J l r 2 dl
J s r 2 ds
5.1 刚体的基本运动
速度的方向：垂直于


和 ri

⑥. 匀加速转动
组成的平面，符合右手螺旋法则 z
0 t
1 0 0t t 2 2
2 2 ( ) 2 0 0

R i O、

v ri
p y
O x
ri
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2 2
)g
m1 m2
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FT 2
(2m1m2
m2 m0 m0
2 2
)g
m1 m2
19
5.3 刚体定轴转动的动能定理
1.刚体定轴转动的动能
设物体绕一固定轴转动，其转动动能就是刚体中 每个质元做圆周运动的动能之和。
1 Ek Eki mi vi 2 i i 2 1 2 1 2 mi Ri J 2 2 2 i
可 当 质 点 处 运动。
理。 人步行 电机转子转动
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平动。
车轮的滚动
玩具陀螺转动
4
5.1 刚体的基本运动
3.定轴转动的描述
①. 角坐标 转动运动方程 刚体
刚体中任 一点 (t+△t) (t) 参考 方向
SI: rad 弧度
②. 角位移 t 时间 内角坐标的变化 ③. 角速度矢量 平均角速度 瞬时角速度
J J c md 2
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1 1 l ml 2 m ml 2 12 3 2
17
2
5.2 力矩
转动定律
F ma
4.转动定律的应用
力矩的瞬时作用规律： M J 平行转动定律解题思路：
① ② ③ ④
确定研究对象. 求出力对转轴的力矩，对不产生力矩的力不做分析. 分析转动特点，有无角加速度. 规定转动正方向，列方程求解，结果讨论.

④. 角加速度 d d 2 k
v an r 2 r dv d at r r dt dt
SI: rad/s2 弧度/秒2
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dt
2
dt 2
⑤. 线量与角量的关系
速度的大小：v ri sin
6
v ri
[例5.4]
已知如右图 试求：定滑轮转动的角
加速度和绳中的张力
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轮轴无摩擦 轻绳不伸长 轮绳不打滑
m0 r
m2
m1
18
5.2 力矩
转动定律

FT 2 FT 2
[解] 对于平动物体m1，m2应用牛顿第二
m1 g FT 1 m1a FT 2 m2 g m2 a
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10
5.2 力矩
转动定律
①. 外力不垂直于转轴的平面内 外力分解为两个分力，一个与转轴 平行（力矩为零），另一个与转轴
垂直的平面内
M （F） M ( F ) r F
②. 力对点的力矩
力矩的大小：
M0 r F
M 0 Fr sin
① 理想化模型，绝对刚体不存在 ② 特殊的质点系，各质元间无相对运动
2.刚体的基本运动形式
平动： 在运动中，连接刚体内任意两点的直线在任意 时刻的位置都与初始位置的连线保持平行。 转动 ：在运动中，刚体上任一质元都绕同一直线做圆 周运动，包括定轴转动和定点转动。 一般运动：平动+转动
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5.2 力矩
[例5.3]
转动定律
(1)求质量为m, 半径为R的均质细圆环，对过圆心与圆平面垂直的转
轴的转动惯量；(2)如果将圆环换做质量仍为且半径仍为的匀质圆盘，转轴位置 不变，其转动惯量为多少。
[解] (1)将细圆环视为有许多段微小圆弧组成每段质量为dm
dJ 0 R 2 dm
J dJ 0
16
5.2 力矩
转动定律
3.转动惯量及其计算
由以上两例题可以得： 转动惯量不仅与刚体的总质量和转轴的位置 有关，还与刚体质量的空间分布有关 平行轴定理：刚体对任一轴的转动惯量J，等于过中心的 平行轴的转动惯量 Jc 与二轴间的垂直距离 d 的平方和刚 体质量的乘积之和。
J Jc md 2
如例题5.2
dAi Fi dri Fi cosdri Fi cos Rd i
Fi
Ri d


Mi FR i i sin FR i i cos
所以 dAi M i d 设刚体从0转到 ，则力 F 做的功为 i
A Ai ( M i d ) ( M i )d
大学物理（上）
第5章 刚体力学基础
授课人： 院 系：
2017/3/3
1
第5章 刚体力学基础
目录
5.1 5.2 5.3 5.4 5.5
刚体的基本运动
力矩 转动定律
CONTENTS
刚体定轴转动的动能定理 角动量 角动量守恒定律 旋进 回转效应
2017/3/3
2
5.1 刚体的基本运动
1.刚体
刚体：任何情况下形状和大小（体积）都不发生变化。
图5.9
力矩的方向：垂直于矢径和力组成 的平面，指向由右手螺旋法则确定
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图5.10
11
5.2 力矩
转动定律
2.转动定律 z 某质元 mi 受外力 F外i 和内力 F内i ，刚
ri m i
图5.11
体绕 z 轴转动，以 ri 为半径做圆周运动， 由牛顿第二定律 dvi F外i F内i =mi dt 将此矢量式投影到质元 i 的圆轨迹切线方向上
3
5.1 刚体的基本运动
平 动 定轴转动 平面运动 定点运动 一般运动
刚 体 任 意 两 刚 体 各 质 元 刚 体 质 心 限 刚体绕过一固 转 动 与 平 动
点 的 连 线 保 绕一固定不动 制 在 一 平 面 定点的某一瞬 的叠加。 持方向不变。 的轴线作圆周 内 ， 转 轴 可 时轴线的转动。

m
0
R 2 dm mR 2
m
0
d rr
R
(2)将圆盘视为有许多半径为r，宽为dr的细圆环，
m 圆盘的质量面密度 s R2
Rቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
dm
取半径为r，宽为dr的细圆环 dm s 2 rdr dJ 0 r 2 dm 2 s r 3 dr R 1 3 J dJ 0 2 s r dr mR 2 0 2 2017/3/3
x
dx l
2
l 2
O
x
3 m m x 1 2 2 J 1 l x dx ml 2 l 3 l 12 2 l 2 l m 1 2 2 (2) J 2 0 l x dx 3 ml O x 转动惯量与转轴位置有关 l
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dm
x
dx l
15
0
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23
5.3 刚体定轴转动的动能定理
(2) 应用转轴的动能定理
h
y C
A Ek Ek 0
1 2 E J Ek 0 0 k 2 1 2 J ml 3 l 1 2 2 mg ml 0 2 6
i i
Ai M i d


0

0
0
i
Md
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0

力矩的功
21
5.3 刚体定轴转动的动能定理
3.刚体定轴转动的动能定理
质点系的动能定理也适用于刚体
A外 +A 内 =Ek Ek 0
对刚体而言，内力相对位置不变，做功为零
A外 =Ek Ek 0
又有
A Md
Ft外i Ft内i =mi ati mi ri 将此两边乘以 ri ，并对整个刚体求和
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12
5.2 力矩
转动定律
2 i i
F
i
t外i i
r Ft内i ri ( mi ri )
内力矩成对抵消 称为刚体对z轴 的转动惯量
合外力矩 M Z
J
转动定律
Mz
J v r 2 dv
14
5.2 力矩
[例5.2]
转动定律
一质量为 m , 长为 l 的均匀细棒，求细棒相对于