T2 T1 T1
r
0
x1
s
m x1 g L
m x2 g L
m ( M r ) g L
x2
x
12
m m m m x1 g T1 x1a1 (1); x 2 g T2 x 2 a 2 (2) L L L L 1 m 2 2 T2r T1r ( Mr r r ) (3); T1 T1;T2 T2 (4)
0
(3)

15
对于(2)式,也可从如下得到: 设碰撞时间为: t 对小球由质点的动量定理:
0.
0
v
f
L
f

ft mv
对棒由角动量定理:
f LΔt J (J0 )
1 J mL2 3
f f
1 2 1 2 mLv mL mL 0 3 3
v0

v
10
④对于非刚体，即转动惯量变化。角动量守 恒的表达 式：
dL d ( J ) J d dJ 0
若动作后角速度增加，则与d 同向，所以
J d dJ 0 J0 ln ln J 0
dJ d J 0 J0
o
r
（2）质点系的角动量： 质点系内部所有质点对某一定点的角动量，即：
L ( ri Pi ) ( ri mi v i )
i i
（3）刚体作定轴转动的角动量： 作定轴转动的刚体，其 内部所有质点绕轴做半径 不等的圆周运动，具有相 同的角速度：

0
z

大学物理（一） 主讲：陈秀洪 第五章 刚体力学基础习题课（第三讲） 一、小结 二、 例题
1
一、小结 1、刚体定轴转动的描述
(t )
2
v i Ri
d dt

d dt
v i Ri ω

Ri
z

z

0
i
v ain Ri 2 ai Ri Ri
1
2
2
r
(1)质点的角动量 L r mv 大小 L rmv sin
7、 刚体绕定轴转动的动能定理 2 1 1 2 2 A Md J 2 J1 1 2 2 8、角动量
x
o
L
L
v

m y
v
r
p
m
6
质点以角速度ω作半径为r 的 圆运动，相对圆心的角动量大 小： L mr 2 J
解:机械能守恒:
mg L 1 1 ( mL2 ) 02 0 2 2 3
0 (1)
v
L
碰撞:角动量守恒,机械能守恒. 1 2 1 2 ( mL ) 0 mLv ( mL ) (2) 3 3 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 ( mL ) 0 mv ( mL ) 2 3 2 2 3 1 3 gL 解得: v 2
2 2 v g(2 3 )( m l 2ma )( m l 3ma ) 6 ma
18
例2：长为L的匀质细棒，一端悬于O点，自由下垂， 紧接 O点悬一单摆，轻质摆绳的长为 L，摆球的质量为 m，单摆从水平位置由静止开始自由下摆，与细杆作完 全弹性碰撞，碰后单摆停止。 求：(1) 细杆的质量； (2) 细杆摆动的最大角度θ m 解:球下摆机械能守恒 1 2 O L mv mgL (1) 球与细杆作完全弹性碰撞 (2) 角动量守恒： mvL J 1 1 2 2 ( 3) 机械能守恒： mv J 2 2 1 L 2 杆摆动机械能守恒： J Mg (1 cos ) 2 2 1 1 J ML2 解得: M 3m cos 3 3
2

v
( 4)
19
例题3、一均匀圆盘,质量为M,半径为R,可绕铅直轴 自由转动,开始处于静止状态,一个质量为m的人,在 圆盘上从静止开始沿半径为r的圆周走动,如图所示. 求当人走完一周回到盘上原位置时,圆盘相对于地面 转过的角度. 解: 设人对盘的速率为 vr , 圆盘绕轴的角速度为 人对地速度为 v vr r R r 由人、圆盘组成的系统对铅 直轴角动量守恒 vr 1 2 m(vr r )r MR 0 v 2 mrv r 解得 : 1 2 mr MR 2 2
J

即：J 0 0 J
例如：花样滑冰运动员。 问题：花样滑冰运动员由伸臂到收臂动能 如何变化？
11
二、 例题
刚体力学习题课（14） 1.质量为M的匀质圆盘，可以绕通过盘中心垂直于 盘的固定光滑轴转动，绕过盘的边缘挂有质量为m， 长为 L的匀质柔软绳索 (如图)，设绳与圆盘无相对滑 动，试求当圆盘两侧绳长之差为 S时，绳的加速度的 大小。 解:受力分析如图: T2 N
.
20
mrv r 1 2 mr MR 2 2 d 初始 : t 0, 0 0 由于 : dt t t mrv r dt dt 1 0 0 2 mr MR 2 2 t mr R r v r dt 1 2 2 0 mr MR 2 2mr 2 vr 1 v mr 2 MR 2 2 式中:负号表示人走动的方向与圆盘转动的方向相反.
M M1 M2 M3
4
3、转动惯量 2 2 J Δm j r j , J m r dm
j
转动惯量的决定因素为： 总质量；质量分布；转轴的位置。 物理意义：转动惯性的量度 . 转动惯性的计算方法 质量离散分布刚体的转动惯量
2 j j 2 1 1 j
J Δm r m r m r
2 2 2
2 j j 2
质量连续分布刚体的转动惯量
J Δm r m r d m
j
dm
：质量元
5
M J 4、转动定律 M与β具有：同轴性、同时性、同方向性。 1 z 2 5、转动动能 Ek J
6、力矩的功
A Md
0
z
J11 J 22 ( J1 J 2 )
9
③质点和刚体，角动量守恒表达式为：
r mv0 J0 r mv J rmv 0 rmv J
o
m
注意： v0、v 是质点速度在
转动平面内的分量。
r 0 0
.
21
例4：一根长为l，质量为m的匀质细杆，一端与光滑 的水平轴相连，可在竖直平面内转动，另一端固定 一质量也是m的小球，且小球半径R<<l。设杆由水平 位置自由释放。
1 2 2 mva ( m l ma ) 3 3mva m' l 2 3ma 2
a
m vm
'

射入竿后，以子弹、细杆和地球为系统 ，机械能守恒 . l 1 1 2 2 2 ( m l ma ) mga(1 cos 30) m g (1 cos 30 ) 2 3 2
直于转轴方向的两个分量
其中 Fz 对转轴的力 矩为零，故 F 对转轴的 力矩
1）若力 F 不在转动平面内，把力分解为平行和垂
F Fz F
沿Z轴的分量
z
k Fz
F
M z k r F
O
r
F
M z rF sin
2）合力矩等于各分力矩的矢量和
2 L a a1 a2 r (5) L r x1 x2 (6) s x2 x1 (7)
smg 解得: a M (m ) L 2 T2 N a2
T1
a1

r
0
x1
T2 T1 m m x2 g ( M r ) g L L
s
m x1 圆柱体可绕其光滑的水 平对称轴00′转动，设大小圆柱的半径分别为R和r， 质量分别为M和m，绕在两柱体上的细绳分别与物体 m1和物体m2相连，m1和m2则挂在圆柱体的两侧，如图 所示，设R =0.20m，r =0.10m，m=4kg，M=10kg， m1=m2=2kg，求柱体转动时的角加速度及两侧绳中的 张力。 T1 T2 o o 解：受力分析如图
z

0
7

Lz ( mi ri ) J z i 矢量式： Lz J z
2
9、角动量定理： （1）质点系角动量定理 t2 L2 dL M 外dt dL L2 L1 M
dt
外
t1 L1
（2）刚体定轴转动角动量定理
dLz Mz dt
8
条件： M z
0
结论： Lz J z 常量 定轴转动角动量守恒定律讨论： ①单个刚体，角动量守恒 Lz J z 即： =C 刚体作惯性转动。 ②多个刚体，角动量守恒表达式 为： Li J ii C
1 0
z 1
J1
J2 2 2 0

t2
t1
M z dt Lz 2 Lz1
10、角动量守恒定律 （1）质点系角动量守恒定律 条件 : M外 0 结论 : L Li ri mi vi 常矢量
i i
（2）刚体定轴转动角动量守恒定律
条件： M z
0
结论： Lz J z 常量
解得：
oM
2
R
mgt h 2m M
63.2( m )
T T
m mg
17
例1、 一长为 l , 质量为 m 的竿可绕支点O自由 转动 . 一质量为 m、速率为 v 的子弹射入竿内距支 点为 a 处，使竿的偏转角为30º . 问子弹的初速率为 多少 ? 解 把子弹和竿看作一个系统 .子 o 30 弹射入竿的过程系统角动量守恒