大 小 ：M Z rF sin Fd Ft r
d=rsinθ 称为力F 对转轴的力臂。
方向： 由右手螺旋定则确定。
解： 1) 棒做变加速运动：
d 3g cos
dt 2L
d 3g cosdt
2L
d 3g cosd
2L
d
3 3 g cosd
0
0 2L
O•
•B
•A
2 3g sin 3 3 g
L 3 2L
3 3g
2L
2)由v r得 ：vA L
3 3gL 2
vB
L 2
3 3gL 8
所以，刚体定轴转动用角量描述比较方便。
5.1.2、刚体定轴转动的角量描述 定轴转动只有两个转动方向。 规定 ox 轴逆时针转动为正方向，反之为负方向。
角位置： (t) 刚体定轴转动的运动学方程。
角位移: 2 1
平均角速度： ＝
t
角速度： （矢量）
＝d
dt
y
rP•
•P
A
O S A
x
角加速度： （矢量）
2、刚体的平动: 刚体上任意两点的连线在运动中保持平行,这种 运动称为刚体的平动。平动的刚体可当作质点。 特征： 各个质点的位移、速度、加速度相等。
注意：刚体平动时，运动轨迹不一定是直线。
3、刚体的转动 : 刚体上的各点绕同一直线做圆周运动。 定轴转动 :转轴在空间的位置固定不动。 特征： 1）各点的角位移、角速度、角加速度相同。 2）各点的线位移、线速度、线加速度不同。
v r
y
rP•
•P
O S
o
r
A
x
v
例题5-1一半径为R = 0.1m 的砂轮作定轴转动，其角位置随时
间t 的变化关系为 = ( 2 + 4 t 3 ) rad ，式中 t 以秒计。试求：
1）在 t = 2s 时,砂轮边缘上一质点的法向加速度和切向加速度的大
小。2）当角 为多大时，该质点的加速度与半径成 45 o。
4、刚体的一般运动：可看成是平动和转动的叠加。
刚体定轴转动的特点
1 、刚体各点的轨迹分别是过该点 垂直于转轴的平面内的圆。圆心是 平面与转轴的交点，半径：该点到 转轴的距离。
2 、在同一时间t内，刚体上任
意点的角位移 都相 同。
３ 、任意时刻不同点的 和 都 相同。
y
P
r
P
O S
x
由于v r 不同点的线速率、线位移一般不同；
t 0.55s ( 舍去t = 0 和 t = -0.55 )
此时砂轮的角度：
(2 4t 3 ) 2 4 0.553 2.67(rad)
例题补 一细棒绕O 点自由转动，并知 3g cos , L 为棒长。
2L
求: 1) 棒自水平静止开始运动，θ = π / 3 时, 角速度ω ? 2) 此时端点A 和中点B 的线速度为多大?
解 1）取A 点为坐标原点。在距A 点为x 处取dm = λ dx 。
d J x2 d m x2 d x A
J A
L x 2 d x mL2
0
3
A
x dm
L
B
x
C x dm B
2）取C 点为坐标原点。
x
在距C 点为x 处取dm 。
L2
L2
说明
JC
x2 dm
L
2 L
2
x2 d
x
m L2 12
第5章 刚体力学基础
第5章 刚体力学基础
本章主要内容： 1、刚体运动学（运动状态的描述） 2、定轴转动刚体的功和能 3、定轴转动刚体的角动量定理及守恒定律
5 .1 刚体运动学
5.1.1、刚体 平动与转动 1、刚体:在外力作用下形状和大小完全不变的物体为刚体。
刚体是一种理想模型。刚体上任两点间的距离始终保持不变。
z
o
ri
i 1
mi
则：
Ek转
1 2
J 2
o
注意：转动动能实质与平动动能相同，表达式不同。
一般刚体动能
：
Ek
Ek平
Ek转
1 2
m vc2
1 2
J 2
5.2.2、转动惯量的计算：描述刚体转动惯性大小的物理量。
1、定义：刚体对转轴的转动惯量：
n
J miri 2 i 1
J r 2 d m V
SI单位：kg . m
oR
dm
例题5-4(2)求质量为m、半径为R 的均匀薄圆盘对中心轴的转动惯量
解: 设质量面密度为σ
取半径为 r 宽为d r 的薄圆环,
d m d s 2 r d r
R o r dr
J r 2dm R r 2 2rdr 0
1 R4 1 m R2
2
2
例题5-4 求长为L、质量为m 的均匀细棒对图中不同轴的 转动惯量。
1) 刚体的转动惯量是由刚体的总质量、质量分布、 转轴的位置三个因素共同决定;
2) 同一刚体对不同转轴的转动惯量不同， 凡提到转动惯量 必须指明它是对哪个轴的。
5.2.3、对转轴的力矩
1、F在转动平面内
刚体绕 O z 轴旋转 , 力 F作用在刚 体上点 P ，且在转动平面内, r 为由点
O 到力的作用点 P的径矢 。 MZ r F
2 、转动惯量的计算：
若质量离散分布： J
m i ri2
（质点，质点系）
若质量连续分布： J r 2 d m
其中：
dm dl dm dS
d m dV
例题5-4(1)求质量为m，半径为R 的均匀圆环对中心轴的转动惯量。
解: 设质量线密度为λ d m d l
J R2 d m 2R R2 d l 0 R2 2R mR 2
d
dt
d2
dt2
由于在定轴转动中轴的位置不变，故
,
只有沿轴的
正负两个方向，可以用代数值代替。
刚体作匀变速转动时，相应公式如下：
0
0t
1 2
t 2
0 t
2
2 0
2 (
0 )
Aபைடு நூலகம்
角量与线量的关系：
s r , v r
at r , an r 2
a r 2 4
线速度与 角速度之间的矢量关系为:
解： 1) d 12t 2
dt
d 24t
dt
an R 2 0.1 482 230 .4( m/s 2 )
o
•
at R 0.1 48 4.8( m/s 2 )
2) an R 2 14.4t 4 at R 2.4t
tan 45 at / an 1
14.4t 4 2.4t
5.2定轴转动刚体的功和能
5.2.1、刚体的动能
平动动能 ： Ek平 转动动能 ： Ek转
i i
1 2
mi v i2
1 2
mi
v
i
2
i i
1 2
mi
v2
1 2
mv c2
1 2
mi
( ri
)2
i
1 2
mi
ri
2
2
1 (
2
i
mi ri2 ) 2
n
刚体绕定轴的转动惯量：J miri 2