可得满足条件的状态反馈矩阵 F = [18 21 5]
13
24（胡9-30） 设被控系统动态方程为 x = ⎢
⎡0 1 ⎤ ⎡0 ⎤ x + ⎢ ⎥u 0 0⎥ ⎣ ⎦ ⎣1 ⎦
y = [1 0]x
设计全维状态观测器，使极点位于-r，-2r（r>0）,并画出状态变量图。
⎡c ⎤ ⎡1 0 ⎤ 解：rankV = rank ⎢ ⎥ = rank ⎢ ⎥=2 ⎣cA ⎦ ⎣0 1 ⎦
sI − ( A − BF ) = s 2 + ( 5 + 100 f 2 ) s + 100 f1
2
( s − s1 )( s − s2 ) = ( s + 7.07 ) + 7.07 2 ≈ s 2 + 14.14s + 100 可求得状态反馈矩阵： F = [1 0.0914]
由
sI − ( A − FeC ) = s 2 + ( f1 + 5 ) s + ( 5 f1 + f 2 ) = s 2 + 100 s + 2500 ⎡ 95 ⎤ 可求得状态观测器的反馈矩阵：Fe = ⎢ 2025⎥ ⎣ ⎦
( s − s1 )( s − s2 ) = ( s + 5)( s + 8) = s 2 + 13s + 40
⇒ h1 = 13
⎧ h1 = 13 比较系数可得 ：⎨ 2 ⎩ ωs (1 + h2 ) = 40 ⎡ 13 ⎤ H = ⎢ 40 ⎥ 即输出反馈矩阵： ⎢ 2 − 1⎥ ⎢ ωs ⎥ ⎣ ⎦
设状态可控且可观测，试求a。
解： G ( s ) =
s+a s+a = s 3 + 7 s 2 + 14 s + 8 ( s + 1)( s + 2)( s + 4)
传函无零极对消。 需使 ： a ≠ 1, a ≠ 2, a ≠ 4
欲使系统可控且可观测，
思考：若仅要求系统可控， a应为何值？ 答： a可为任意数， 只要按可控标准形写即可。
9
20（李9-7） 已知线性系统的状态方程为
0 ⎤ ⎡0 1 ⎡0⎤ 1 ⎥ X + ⎢0⎥ u X = ⎢0 0 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢0 －2 －3⎥ ⎢1 ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
试确定状态反馈矩阵 F, 要求将系统极点配置在 s1,2 = −1 ± j 及 s3 = −2 【解】 设状态反馈矩阵 F = [ f1 由系统状态完全能控
可控性判别阵为 S = ⎡ B ⎣
rankS = 3
系统状态完全可控。
7
18（胡9-22） 试判断下列系统的可观测性：
⎡ −1 −2 −2 ⎤ ⎡ 2⎤ (1) x = ⎢ 0 −1 1 ⎥ x + ⎢ 0 ⎥ u, y = [1 1 0] x ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 1 0 −1⎥ ⎢1 ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎡ c ⎤ ⎡1 1 0⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 解： rank ⎢ cA ⎥ = rank ⎢ −1 −3 −1⎥ = 3 = n ⎢cA2 ⎥ ⎢0 5 0⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎡ 2 0 0⎤ (2)x = ⎢ 0 2 0 ⎥ x, ⎢ ⎥ ⎢0 3 1⎥ ⎣ ⎦ y = [1 1 1] x
已知单输入－单输出线性定常系统的传递函数为：Φ ( s ) =
【解】由于状态反馈可任意配置能控系统的极点但保持零点不变。因此，
3 2 只要使希望特征多项式为 ( s + 2 )( s + 2 )( s + 3) = s + 7 s + 16 s + 12 即可使系统传递函数变为指定的形式。 ( s − 1)( s + 2 ) = s 2 + s − 2 由 Φ (s) = ( s + 1)( s − 2 )( s + 3) s 3 + 2s 2 − 5s − 6
3
由已知条件:
⎡0 1⎤ ⎡0⎤ S1 : X 1 = ⎢ X 1 + ⎢ ⎥ u1 ⎥ ⎣ −3 −4 ⎦ ⎣1 ⎦ y2 = x2 S 2 : x2 = −2 x2 + u2
y1 = [1 −1] X 1
可绘出状态变量图:
由图可得，
⎡0 1 0⎤ ⎡0⎤ Z = ⎢ −3 −4 0 ⎥ Z + ⎢1 ⎥ u1 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 1 −1 −2 ⎥ ⎢0⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
3 2 令 sI − ( A − BF ) = ( s + 2 )( s + 2 )( s + 3) = s + 7 s + 16 s + 12
⎧ ⎡0 ⎪ ⎢ ⎪ X = ⎢0 可得原系统的可控标准型实现为： ⎨ ⎢6 ⎣ ⎪ ⎪ y = [ −2 ⎩
1
0⎤ ⎡0⎤ 0 1 ⎥ X + ⎢0⎥ u ⎥ ⎢ ⎥ ⎢1 ⎥ 5 −2 ⎥ ⎦ ⎣ ⎦ 1 1] X
rank [CB CAB ] = 1 = l
由[CB CAB ] = [ −6 30]
系统输出完全能控。
1
15（李9-4） 已知系统方程为 X = ⎡ a b ⎤ X + ⎡1⎤ u ⎢c d ⎥ ⎢1⎥ ⎣ ⎦ ⎣⎦
y = [1 0] X
试确定系统完全能控与完全能观测时的 a、b、c、d 值。
【解】根据秩判据，可得 系统能控的充要条件是： rank [ B 即：
⎡1 a + b ⎤ AB ] = rank ⎢ =2 1 c+d⎥ ⎣ ⎦
1 a+b = (c + d ) − ( a + b) ≠ 0 1 c+d
⎡c⎤ ⎡1 0 ⎤ rank ⎢ ⎥ = rank ⎢ 系统能观的充要条件是： ⎥=2 ⎣cA⎦ ⎣a b ⎦ 1 0 =b≠0 即： a b c+ d −a −b ≠ 0
h2 =
40
ω
2 s
−1
11
⎡0 1 ⎤ 22（李9-13） 已知系统的系数矩阵为：A = ⎢ ⎥ ⎣ 0 −5 ⎦
⎡ 0 ⎤ B=⎢ ⎥ 态反馈矩阵 F及状态观测器的反馈矩阵 Fe ，使状态 反馈系统的极点及观测器的极点分别配置到 s1,2 = −7.07 ± j 7.07 及 s1 = s2 = −50。 并绘出带有状态观测器的状态反馈系统的状态变量图。 【解】 容易判断，原受控系统状态完全可控且完全可观测。因此，状态反馈 系统的极点及观测器的极点都可以任意配置。 由
系统S2 ：
x2 = −2 x2 + u2 ,
y2 = x2
状态完全能控且状态完全能观测。
⎡0 1 −4 ⎤ ⎢ ⎥ 2 系统S ： ∵ ⎡ B AB A B ⎤ = ⎢1 −4 13 ⎥ ⎣ ⎦ ⎢0 −1 7 ⎥ 故状态完全能控； ⎣ ⎦ ⎡ C ⎤ ⎡0 0 1⎤ ∵ ⎢ CA ⎥ = ⎢ 2 1 −2 ⎥ 满秩，故状态完全能观测。 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 2 ⎢CA ⎥ ⎢ −7 −4 4 ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
若两个系统按串联方式连接：
S1
S2
（1）求串联系统S的状态方程及输出方程; （2）分别分析系统S1、S2、S的能控性和能观测性。 【解】（1）求系统 S 的状态方程和输出方程 设串联系统 S 的状态向量为
⎡ z1 ⎤ ⎢ z ⎥ = ⎡ X1 ⎤ Z = ⎢ 2⎥ ⎢ ⎥ ⎣ x2 ⎦ ⎢ z3 ⎥ ⎣ ⎦
10
21（李9-9） 设具有输出反馈的线性系统方框图如图所示。
⎡ 其中， A = ⎢ 0 ⎣ −1 ⎡1 B=⎢ ⎣0 ⎥, 0⎦ 0⎤ , C = [1 0] 1⎥ ⎦
ωs2 ⎤
要求将系统极点配置到 s1 = −5，s2 = −8 上，试确定输出反馈矩阵 H 。
⎡ − h1 ⎡ 0 ωs2 ⎤ ⎡ h1 ⎤ ωs2 ⎤ 【解】 A − HC = ⎢ ⎥ ⎥ − ⎢ ⎥ ⋅ [1 0] = ⎢ −1 − h2 0 ⎦ −1 0 ⎦ ⎣ h2 ⎦ ⎣ ⎣ s + h1 −ωs2 sI − ( A − HC ) = = s 2 + h1s + ωs2 (1 + h2 ) 1 + h2 s
系统可观，可进行全维状态观测器设计。
⎡ h0 ⎤ 设:h = ⎢ ⎥ ⎣ h1 ⎦
⎡− h0 ⎡0 1⎤ ⎡h0 ⎤ A − Hc = ⎢ ⎥ − ⎢ h ⎥[1 0] = ⎢ − h ⎣0 0 ⎦ ⎣ 1 ⎦ ⎣ 1
1⎤ 0⎥ ⎦
观测器特征方程为：λI − (A − Hc) = λ2 + h0 λ + h1 = 0 期望的特征方程为： λ + r )( λ + 2r ) = 0 ( 两特征方程同次项系数相等，可得：h0 = 3r 得全维状态观测器反馈矩阵：
完全能控且完全能观测时的 a、b、c、d 应满足： b ≠ 0
2
16（北航2002） 已知两个系统S1和S2的状态方程及输出方程分别为：
⎡0 1⎤ ⎡0⎤ S1 : X 1 = ⎢ ⎥ X 1 + ⎢1 ⎥ u1 ⎣ −3 −4 ⎦ ⎣ ⎦ S2 : x2 = −2 x2 + u2 y2 = x2 y1 = [1 −1] X 1 u1 y1 , u2 y2
⎡1 1 0 ⎤ ⎡0 (3) x = ⎢0 1 0 ⎥ x + ⎢ 0 ⎢ ⎥ ⎢ ⎢0 1 1 ⎥ ⎢1 ⎣ ⎦ ⎣
0⎤ ⎥ ⎡ u1 ⎤ 1⎥ ⎢ ⎥ ⎣u2 ⎦ 0⎥ ⎦ AB ⎡0 0 0 1 0 2⎤ A2 B ⎤ = ⎢ 0 1 0 1 0 1 ⎥ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢1 0 1 1 1 2 ⎥ ⎣ ⎦
系统可观。
⎡ c ⎤ ⎡1 1 1⎤ 解： rank ⎢ cA ⎥ = rank ⎢ 2 5 1⎥ = 2 ≠ n ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 2 ⎢cA ⎥ ⎢ 4 13 1⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦