现代控制理论习题及答案
现代控制理论习题及答案
现代控制理论是控制工程领域的重要分支，它研究如何设计和分析控制系统，以实现对动态系统的稳定性、响应速度、精度等方面的要求。

在学习现代控制理论过程中，习题是一个非常重要的环节，通过解答习题可以帮助我们巩固理论知识，提高问题解决能力。

本文将介绍一些常见的现代控制理论习题及其答案，希望对读者有所帮助。

1. 题目：给定一个开环传递函数 G(s) = 10/(s+5)，求其闭环传递函数 T(s) 和稳定性判断。

解答：闭环传递函数 T(s) 可以通过公式 T(s) = G(s) / (1 + G(s)) 计算得到。

代入G(s) 的表达式，得到 T(s) = 10/(s+15)。

稳定性判断可以通过判断开环传递函数G(s) 的极点是否在左半平面来进行。

由于 G(s) 的极点为 -5，位于左半平面，因此系统是稳定的。

2. 题目：给定一个系统的状态空间表达式为 dx/dt = Ax + Bu，其中 A = [[-1, 2], [0, -3]]，B = [[1], [1]]，求系统的传递函数表达式。

解答：系统的传递函数表达式可以通过状态空间表达式进行求解。

首先，计算系统的特征值，即矩阵 A 的特征值。

通过求解 det(sI - A) = 0，可以得到系统的特征值为 -1 和 -3。

然后，将特征值代入传递函数表达式的分母，得到传递函数的分母为 (s+1)(s+3)。

接下来，计算传递函数的分子，可以通过求解 C = D(sI - A)^(-1)B 得到，其中 C 和 D 分别为输出矩阵和输入矩阵。

代入给定的 A、B 矩阵，计算得到 C = [1, 0] 和 D = [0]。

因此，系统的传递函数表达式为 G(s) = C(sI - A)^(-1)B = [1, 0] * [(s+1)^(-1), -2(s+3)^(-1); 0, (s+3)^(-1)] * [1; 1] =
(s+1)^(-1) + 2(s+3)^(-1)。

3. 题目：给定一个二阶系统的传递函数 G(s) = 1/(s^2 + 4s + 5)，求系统的阻尼比、自然频率和峰值时间。

解答：系统的传递函数可以表示为G(s) = ωn^2 / (s^2 + 2ζωns + ωn^2)，其中
ωn 为自然频率，ζ 为阻尼比。

通过比较传递函数的形式，可以得到ωn^2 = 5
和2ζωn = 4。

解方程组可以得到ωn = √5 和ζ = 1/√5。

阻尼比小于1时，系
统为欠阻尼系统。

峰值时间可以通过公式tp = π / (ωd(1 - ζ^2)^(1/2)) 计算得到，其中ωd 为阻尼系统的峰值频率。

代入已知的参数，可以计算得到tp = π /
(√5(1 - 1/5)^(1/2)) = π / √20。

通过以上的习题解答，我们可以看到现代控制理论的应用广泛而深入。

掌握现
代控制理论的基本概念和方法，能够帮助我们更好地设计和分析控制系统，提
高系统的性能和稳定性。

在学习过程中，多做习题并理解其解答过程，可以加
深对理论知识的理解和应用能力的培养。

希望本文对读者在现代控制理论学习
中有所帮助。