现代控制理论试题B 卷及答案一、1 系统[]210,01021x x u y x ⎡⎤⎡⎤=+=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦能控的状态变量个数是，能观测的状态变量个数是cvcvx 。

2试从高阶微分方程385y y y u ++=求得系统的状态方程和输出方程（4分/个） 解 12。

…..233118x x x x y x ==--=010080x ⎡⎢=⎢⎢-⎣分） 00⎣(5分)解 1．答：若存在控制向量序列(),(1),,(1)u k u k u k N ++-，时系统从第k 步的状态()x k 开始，在第N 步达到零状态，即()0x N =，其中N 是大于0的有限数，那么就称此系统在第k 步上是能控的。

若对每一个k ，系统的所有状态都是能控的，就称系统是状态完全能控的，简称能控。

…..….…….（3分）2.[][]320300020012 110-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=CA ………..……….（1分） [][]940300020012 3202=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=CA ……..……….（1分） ⎤⎡⎤⎡110C 1分）0140x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ ()⎥⎦⎢⎢⎢⎣-=-8181881C U ……..…………..…….…….（1分） 11188P ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦……..………….…..…….…….（1分） ⎦⎤⎢⎣⎡=43412P ……..………….…...…….…….（1分）1314881148P -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥--⎢⎥⎣⎦..………….…...…….…….（1分） 101105C A PAP -⎡⎤==⎢⎥-⎣⎦………….…...…….…….（1分） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-==1011 43418181Pb b C ……….…...…….…….（1分）1分） 解（3分） 3分）2分）（81分）11121112221222420261p p p p p ⎪-+=⎨⎪-=-⎩………...……....…….…….（1分） 112212743858p p p ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩………...…………....…….…….（1分）1112122275485388p p P p p ⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦...…………....…….…….（1分） 111211122275717480 det det 05346488p p P p p ⎡⎤⎡⎤⎢⎥=>==>⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦………...（1分） P 正定，因此系统在原点处是大范围渐近稳定的.………（1分）八、给定系统的状态空间表达式为1010x --⎡⎢=-⎢⎢⎣2322213332223321(21)3313332(3)(26)64E E E E E E E E E E E λλλλλλλλλλ=+++++++++++++=+++++++++ -- 2分 又因为 *32()331f λλλλ=+++ ------- 1分列方程32123264126333E E E E E E +++=++=+= ----- 2分1232,0,3E k E =-==- ----------- 1分观测器为10312ˆˆ0110010113x x u y ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦------- 1分 方法 2λ⋅分 分分分10ˆ0110x -⎡⎢=-⎢⎢⎣九 分） 1200A tAt A t e e e ⎛⎫= ⎪⎝⎭1A t t e e =…………………………..……….（1分） 11210()12s sI A s ---⎛⎫-= ⎪--⎝⎭101111212s s s s ⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪- ⎪---⎝⎭………..……….（1分）(){}2112220t A t t t t e e L sI A e ee --⎛⎫=-= ⎪-⎝⎭……….…（1分）()112200000t At tt tt e e L sI A e e e e --⎛⎫ ⎪⎡⎤=-= ⎪⎣⎦ ⎪-⎝⎭……….……….（2分） 222001000001t t tt t t t e e e e e e e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭……………..……….（2分）一、（（ × （ × （ √ （ √二、（的能控标准型、能观标准型和对角线标准型，并画出能控标准型的状态变量图。

解： 能控标准形为能观测标准形为对角标准形为三、（10分）在线性控制系统的分析和设计中，系统的状态转移矩阵起着很重要的作用。

对系统求其状态转移矩阵。

解：解法1。

容易得到系统状态矩阵A 的两个特征值是2,121-=-=λλ，它们是不相同的，故系统) 因此， ⎥⎦⎢⎣+-+-=+==Φ----t t t t At e e e e A t a I t a e t 2210222)()()( 四、（15分）已知对象的状态空间模型Cx y Bu Ax x =+=, ,是完全能观的，请画出观测器设计的框图，并据此给出观测器方程，观测器设计方法。

解 观测器设计的框图：观测器方程：其中：x ~是观测器的维状态，L 是一个n ×p 维的待定观测器增益矩阵。

观测器设计方法：由于 )](det[])(det[)](det[T T T T L C A I LC A I LC A I --=--=--λλλ因此，可以利用极点配置的方法来确定矩阵L ，使得T T T L C A -具有给定的观测器极点。

具体的方法有：直接法、变换法、爱克曼公式。

五、（P 。

I PA -=⎥⎦⎤⎣⎦⎣12/12212p p 根据塞尔维斯特方法，可得 045det 02321>==∆>=∆P 故矩阵P 是正定的。

因此，系统在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。

六、（10分）已知被控系统的传递函数是试设计一个状态反馈控制律，使得闭环系统的极点为-1 ± j 。

解 系统的状态空间模型是将控制器 []x k k u 10-= 代入到所考虑系统的状态方程中，得到闭环系统状态方程该闭环系统的特征方程是 )2()3()det(012k k A I c ++++=-λλλ期望的闭环特征方程是 22)1)(1(2++=++-+λλλλj j通过 22)2()3(2012++=++++λλλλk kT 八、（ 解： 极点配置可以改善系统的动态性能，如调节时间、峰值时间、振荡幅度。

极点配置也有一些负面的影响，特别的，可能使得一个开环无静差的系统通过极点配置后，其闭环系统产生稳态误差，从而使得系统的稳态性能变差。

改善的方法：针对阶跃输入的系统，通过引进一个积分器来消除跟踪误差，其结构图是构建增广系统，通过极点配置方法来设计增广系统的状态反馈控制器，从而使得闭环系统不仅保持期望的动态性能，而且避免了稳态误差的出现。

《现代控制理论》复习题2一、（10分，每小题2分）试判断以下结论的正确性，若结论是正确的，则在其左边的括号里打√，反之打×。

（ ×（ √ （ × （ × （ √ 二、（（1）（2） 答:（1⎩⎨⎧=+-=11113x y u x x 和⎩⎨⎧+-=+-=1212255u x y u x x ? 由于11u y =，故可得给定传递函数的状态空间实现是：将其写成矩阵向量的形式，可得：对应的状态变量图为：串连分解所得状态空间实现的状态变量图（2）将G (s )写成以下形式： 它可以看成是两个环节35.0+-s 和55.2+s 的并联，每一个环节的状态空间模型分别为： 和由此可得原传递函数的状态空间实现：三、（方法一方法二方法三方法四根据凯莱-哈密尔顿定理和，可导出At e 具有以下形式：其中的)(),(),(120t t t n -ααα 均是时间 t 的标量函数。

根据矩阵A 有n 个不同特征值和有重特征值的情况，可以分别确定这些系数。

举例：利用拉普拉斯变换法计算由状态矩阵所确定的自治系统的状态转移矩阵。

由于故四、（10分）解释状态能观性的含义，给出能观性的判别条件，并举例说明之。

答：状态能观性的含义：状态能观性反映了通过系统的输出对系统状态的识别能力，对一个零输入的系统，若它是能观的，则可以通过一段时间内的测量输出来估计之前某个时刻的系统状态。

1.2.举例：的秩为五、（（1）（2）简单叙述两种极点配置状态反馈控制器的设计方法；（3）试通过数值例子说明极点配置状态反馈控制器的设计。

答：（1）能够通过状态反馈实现任意极点配置的条件：系统是能控的。

（2）极点配置状态反馈控制器的设计方法有直接法、变换法、爱克曼公式法。

①直接法验证系统的能控性，若系统能控，则进行以下设计。

设状态反馈控制器u =?Kx ，相应的闭环矩阵是A ?BK ，闭环系统的特征多项式为 由期望极点n λλ,,1 可得期望的闭环特征多项式通过让以上两个特征多项式相等，可以列出一组以控制器参数为变量的线性方程组，由这组线性方程可以求出极点配置状态反馈的增益矩阵K 。

②（3） 其特征多项式为由期望的闭环极点? 2和?3，可得闭环特征多项式通过可得由此方程组得到因此，要设计的极点配置状态反馈控制器六、（20分）给定系统状态空间模型Axx=（1）试问如何判断该系统在李雅普诺夫意义下的稳定性？（2）试通过一个例子说明您给出的方法；（3）给出李雅普诺夫稳定性定理的物理解释。

答：（1A T+P解矩阵（2将矩阵即（3）李雅普诺夫稳定性定理的物理意义：针对一个动态系统和确定的平衡状态，通过分析该系统运动过程中能量的变化来判断系统的稳定性。

具体地说，就是构造一个反映系统运动过程中能量变化的虚拟能量函数，沿系统的运动轨迹，通过该能量函数关于时间导数的取值来判断系统能量在运动过程中是否减少，若该导数值都是小于零的，则表明系统能量随着时间的增长是减少的，直至消耗殆尽，表明在系统运动上，就是系统运动逐步趋向平缓，直至在平衡状态处稳定下来，这就是李雅普诺夫意义下的稳定性《现代控制理论》复习题3一、（10分，每小题2分）试判断以下结论的正确性，若结论是正确的，则在其左边的括号里打√，反之打×。

（ ×（ × （ × （ √ （ √ 器。

二、（（2解：（1）单输入单输出线性时不变系统传递函数的一般形式是若0≠n b ，则通过长除法，传递函数)(s G 总可以转化成将分解成等效的两个特殊环节的串联：可得一个状态空间实现串联法 其思想是将一个n 阶的传递函数分解成若干低阶传递函数的乘积，然后写出这些低阶传递函数的状态空间实现，最后利用串联关系，写出原来系统的状态空间模型。