V 6i a 6i b 12i 2 l l l
37

计算转角和位移的关系 – 节点 A 、B 处
6i l
M a 4i a 2i b
V
6i a 6i b 12i 2 l l l
M 0
A : 4(i3 i4 ic ic ) 2(i3 i4 ic ic ) 6(ic ic )
37kN 74kN
C B A
H
G
M
K
VDC DC 37 11 .77 k N VCB CB (37 74 ) 31 .08 k N
（3）求各柱柱端弯矩：
M DC M BC M AB
VBA BA (37 74 80 .7) 52 .14 k N 80.7kN
首
层 其余计算从略。
25
（3）梁端弯矩
16
其余计算从略。
26
(4) 弯
矩
图
27
用反弯点法求下图框架的弯矩图。图中括号内的数 值为该杆的线刚度比值。
37kN
D (1.5) (0.7) (0.6) (1.7) (0.7) G (0.9) (2.4) (0.6) A E F (0.8) (1.2) (1.0) H (0.8) (0.9) M
hj
0
38
V
将
6i a 6ib 12i a b 12i 12i 2 V 2 l l l l l
A B
2 K 12i 代入上式, 可得 V 2 2 K l 2 K l

则 D jk
B ib V 12iA K K 2c , , K hj 2 K 2 K 2ic
由此可见，反弯点法的关键是反弯点的位置 确定和柱子抗推刚度的确定。
4
１.反弯点法的假定及适用范围 ①假定框架横梁抗弯刚度为无穷大。 如果框架横梁刚度为无穷大，在水平力的作用 下，框架节点将只有侧移而没有转角。实际上，框 架横梁刚度不会是无穷大，在水平力下，节点既有 侧移又有转角。但是，当梁、柱的线刚度之比大于 3时，柱子端部的转角就很小，此时忽略节点转角 的存在，对框架内力计算影响不大。 由此也可以看出，反弯点法是有一定的适用范 围的，即框架梁、柱的线刚度之比应不小于3。
40
i2
ic
i1 i2
i i K 2 4 2ic
i4
ic i3 i 4
i i i i K 1 2 3 4 2ic
K 2 K
i2
ic
K i2 ic
i1 i2
ic
K
梁柱刚度比
i1 i2 ic
0.5 K 2 K
41
（二）柱的抗侧刚度D值
特殊情况： 1.当同一楼层中有个别柱与一般柱的高度不相等时，这 些个别柱的抗推刚度按下列公式计算：
７.梁内剪力
15
８.柱内轴向力
自上而下逐层
叠加节点左右的
梁端剪力。
16
反弯点法的主要计算步骤：
1、计算柱子的抗侧刚度； 2、将层间剪力在柱子中进行分配，求得
各柱剪力值；
3、按反弯点高度计算柱子端部弯矩；
4、利用节点平衡计算梁端弯矩，进而求
得梁端剪力；
5、计算柱子的轴力。
17
例题：用反弯点 法计算右图所示 框架的弯矩，并 绘出弯矩图。图 中圆括号内的数 字为杆件的相对 线刚度。
hj
的顶端和底端。
——第j层柱高
12
cjk表示第j层第k号柱，t(top)、b(bottom)分别表示柱
６.梁端弯矩
梁端弯矩按节点平衡及线刚度比得到。 （１）边节点 顶部边节点： 一般边节点：
Mb Mc
M b M c1 M c 2
13
６.梁端弯矩
（２）中节点：按线刚度比 进行分配。
14
3.3m 74kN
C K (0.9) 3.3m J (0.8) 3.9m I
80.7kN
B
2.7m
8.1m
28
解：由于框架同层各柱 h 相等，可直接用杆件线刚度的相对值计算各柱的 M D H 分配系数。 (0.7) (0.6) (0.9) （1）求各柱剪力分配系数： K G C
顶层： DC
HG MK
这一假定，实际上是忽略了框架梁的
轴向变形。这与实际结构差别不大。
33
（二）柱的抗侧刚度D值
柱 D 值计算
D V
计算假定 例 ：柱 AB 的 D 值计算
层间侧移△相等 ， 剪切角为 梁、柱结点转角相等，设为 计算柱与相邻柱线刚度相同 i c 与柱B端相交的梁的线刚度为 i1、 i 2 与柱A端相交的梁的线刚度 为 i3 、i
FD
1
12i h2
6i a 6i b 12i V 2 l l l
考虑梁 、柱线刚度比
46
（三）确定柱反弯点高度比y
柱反弯点高度，取决于柱子两端转角的相对大小。 如果柱子两端转角相等，反弯点必然在柱子中间；如 果柱子两端转角不一样，反弯点必然向转角较大的一 端移动。 影响柱子反弯点高度的因素主要有以下几个方面： ①结构总层数及该层所在的位置； ②梁、柱线刚度比； ③荷载形式； ④上、下层梁刚度比； ⑤上、下层层高变化。
二层： CB
0 .7 0.318 0 .7 0 .6 0 .9 0 .6 0.273 0 .7 0 .6 0 .9 0 .9 0.409 0 .7 0 .6 0 .9
(0.7) B (0.6) A
F E
(0.9)
(0.8)
(0.9) J (0.8) I
1.各杆件的弯矩图
均为直线，一般情
况下每根杆件都有
一个弯矩为零的点，
称为反弯点；
2.所有杆件的最 大弯矩均在杆件两 端。
水平荷载作用下框架的弯矩图
3
如果在反弯点处将柱 子切开，切断点处的内力 将只有剪力和轴力。 如果知道反弯点的位置 和柱子的抗侧移刚度，即 可求得各柱的剪力，从而 求得框架各杆件的内力， 反弯点法即由此而来。
ic h
——柱子的线刚度；
——柱子的层高。
9
４.同层各柱剪力的 确定
V jk d jk j V
jk
d
k 1
m
V jk ——第j层第k柱所承受的层间剪力；
d jk ——第j层第k柱子的抗侧刚度；
V j ——水平力在第j层产生的层间剪力；
m
——第j层的柱子数。
10
４.同层各柱剪力的确定
一般，当同层各柱的高度相等时， 由
5.3框架结构在水平荷载作用下的近似计算
框架结构在水平荷载作用下的 近似计算方法：
一、反弯点法 二、改进反弯点法——D值法
1
一、反弯点法
(一)水平荷载作用下框架结构的受力特点
框架所承受 的水平荷载主要
是风荷载和水平
地震作用，它们 都可以转化成作 用在框架节点上 的集中力。
2
一、反弯点法
(一)水平荷载作用下框架结构的受力特点
12ic1 D 1 2 h1
'
42
（二）柱的抗侧刚度D值
2.带有夹层的柱，其抗推刚度按下式计算：
D'
1 1 1 D1 D2

D1D2 D1 D2
12ic1 D1 c1 2 h1 12ic 2 D2 c 2 2 h2
43
计算各柱所分配的剪力：
3.3 M CD VDC 19.42 k N m 2 3.3 M CB VBC 51.28k N m 2 2 3.9 2M BA VBA 135 .56 k N m 3
F
E
J
I
30
（4）求梁端弯矩：梁端弯矩按梁线刚度分配
D
M DH 19.42kN
4
34
i1
i3
B
ic ic
i2 i4
A
ic
35
ui
D




hi
B


C A

36
柱 AB 剪力与 相邻梁 、柱杆端的侧移△及转角 相关
因此需求出转角和位移的关系
预备公式 ： 转角位移方程 A、B 端均为刚结的杆端
M a 4i a 2i b 6i l
A B

a
l
b
6i M b 4i b 2i a l
GF
0.7 0.280 0.7 0.9 0.9 0.9 KJ 0.360 0.7 0.9 0.9
29
底层：
BA FE
（2）求各柱在反弯点处的剪力：
0.6 0.272 0.6 0.8 0.8 0.8 JI 0.364 0.6 0.8 0.8 D
18
解：作高，首层为2/3柱高），如图所示：
19
由于框架同层各柱高h相等，可直接用杆件线刚度 的相对值计算各柱的分配系数。 （1）柱的剪力 三层：
20
二层
21
首层
22
（2）柱端弯矩 三 层
23
（2）柱端弯矩 二 层
24
（2）柱端弯矩
7
２.反弯点高度的确定
反弯点高度y的定义为反弯点至柱下端的距离。
h 上部各层柱 2 y 2 h 底层柱 3
h——层高
8
３.柱子的抗侧移（抗推）刚度d
柱子的抗侧移刚度：物理意义表示柱端产生相 对单位位移时，在柱子内产生的剪力。 柱子端部无转角时，柱子的抗侧移刚度：
12ic d h2
刚度之比往往要小于3，反弯点法不再适