复数与平面向量、三角函数的联系 习题精选（三）
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1.下列命题中，正确的是
A.任何两个复数都不能比较它们的大小
B.复数的模都是正实数
C.模相等且方向相同的向量，不管它们的起点在哪里，都是相等的向量
D.复数集C 与复平面内所有向量组成的集合一一对应 2.复数z =（a 2
－2a +3）－(a 2
－a +2
1
)i (a ∈R )在复平面内对应点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限
D.第四象限
3.若(x －2)+yi 和3+i 是共轭复数，则实数x 、y 的值是 A.x =3且y =3
B.x =5且y =1
C.x =5且y =－1
D.x =－1且y =1
4.下面四个式子中，正确的是 A.3i >2i
B.|3+2i |>|－4－i |
C.|2－i |>2
D.i 2
>－i
5.已知z 1=x +yi ,z 2=－x －yi (x ,y ∈R ).若z 1=z 2，则z 1在复平面上的对应点一定位于 A.虚轴上 B.虚轴的负半轴上 C.实轴上
D.坐标原点
6.设z 1，z 2∈C ,且z 1z 2≠0,A =z 1z 2+z 2z 1,B =z 1z 1+z 2z 2,则A 与B 之间 A.不能比较大小
B.A ≤B
C.A ≥B
D.A =B
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 7.设复数z 满足关系式z +|z |=2+i ,则z =___________.
8.如果复数z =3+ai 满足条件|z －2|<2，则实数a 的取值范围为___________. 9.满足条件{x |x 2
+1=0,x ∈R }M {m ||log 3m +4i |=5,m >0}的所有集合M 的个数是______
个.
10.若|z －2|=11，|z －3|=4，则复数z =___________. 11.|1+i |+|(1+i )2
|+…+|(1+i )n
|的值是___________. 三、解答题（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 12.已知f (z )=|1+z |－z ,且f (－z i )=10+3i ,求（1）z ；（2）
2
3
-+z z 的模. 13.已知z 1，z 2∈C ,且|z 1|=1.求证：|1+z 1z 2|=|z 1+z 2|.
14.已知|z |=1，设u =(2+3i )z +(2－3i )z ,(1)证明：u ∈R ;(2)求u 的值域.
参考答案
一、1.C 2.D 3.C 4.C 5.A 6.B 二、7.
3
4 +i 8.－3<a <3 9. 3 10.±7i 11.［(2)n
－1］(2+2) 三、12.解：（1）由题意得 |1+(－z i )|－(i z -)=10+3i |1+(－z i )|－zi =10+3i 设z =x +yi ,则
|1－(x －yi )i |－(x +yi )i =10+3i |1－xi －y |－xi +y =10+3i
22)1(x y +-+y －xi =10+3i
∴⎪⎩⎪⎨⎧=-=++-3
10)1(22x y x y
∴⎪⎩⎪⎨⎧-==++-3
109)1(2x y y ∴⎩
⎨
⎧=-=53
y x ∴z =－3+5i
(2)
22
2
1125335323=
=+-=-+-++-=-+i i i i z z . 13.证明：∵|z 1|=1，∴z 1z 1=|z 1|2
=1
∴|1+z 1z 2|=|z 1·z 1+z 1z 2|=|z 1|·|z 1+z 2|=|z 1+z 2|.
14.解：（1）∵u =z i z i )32()32(-++
=(2－3i )z +(2+3i )z =u ∴u ∈R
(2)设z =x +yi ,则
u =(2+3i )(x +yi )+(2－3i )(x －yi )=2(2x －3y )
∵|z |=1,∴x 2
+y 2
=1 ∴(4x )2
+16y 2=16 ∵4x =u +6y ∴(u +6y )2
+16y 2
=16 ∴52y 2
+12uy +u 2
－16=0
Δ=(12u )2
－4×52×(u 2
－16)≥0
u 2≤4×13
－213≤u ≤213。