平面向量与三角恒等变换
相结合问题分析
平面向量与三角恒等变换都是人教版高中数学必修四中的内容，这些内容在整个高中数学知识体系中占有重要地位，也是一个高考考察的热点问题。

其中平面向量是重要的数学概念和工具,它的有关知识能有效地解决数学、物理等学科中的很多问题。

三角函数是重要的基本初等函数，它的定义和性质有着十分鲜明的特征和规律性。

它们都与与代数、几何有着密切的联系。

在此我仅对平面向量与三角函数结合性问题做简要分析。

准备知识：向量加、减、数乘运算及两向量间共线、垂直，数量积、夹角关系等知识点。

三角函数中同角三角函数关系，两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角与半角的正弦、余弦、正切公式。

平面向量与三角恒等变换相结合问题如下：
一：结合平面向量运算律考察三角函数的化简求值。

利用向量的运算律得到一个与三角函数有关的式子然后利用三角函数公式进行三角恒等变换进行化简求值。

例1：已知向量
a ),cos x x =
，()=b ，若//a b ，求sin cos x x 值。

解：由//a b ，
x x = （利用向量平行公式）
∴tan 2x = （利用同角三角函数关系sin tan cos x x x
=） sin cos x x sin cos 1x x =22sin cos sin cos x x x x =+2tan 1tan x x
== （此处用到两个技巧：①利用同角三角函数关系将1转化为22sin
cos x x + ②分子分母同时除以2cos x 将正弦、余弦转化为正切问题）
将tan 2x =带入得到：sin cos x x 25
=。

二：结合平面向量数量积与三角函数性质求特殊角
利用平面向量夹角公式等问题求解三角函数中某角的值或范围。

例2：已知向量()sin ,1x =a ，()2sin x x =b ，若2⊥a b ，且角x
的终边不在坐标轴上，求夹角x 。

解：由2⊥a b ，∴2∙a b 0=， （两向量垂直，则它们的数量积为0）
∴()()2sin ,12sin 0x x x ∙=
∴()()
2sin ,22sin 0x x x ∙= （利用数乘向量）
∴24sin 0x x += 即 (s i n 2s i n 30
x x +
= （注：此处以sin x 为自变量，当成一个整体，提取公因式）
∴sin 0x =或sin 2x =- 由角x 终边不在坐标轴上∴sin 2
x =- ∴423x k ππ=+或523
x k π=+()k z ∈ （考察知识点：向量的数乘运算，向量数量积，向量垂直公式，三角函数特殊值，三角函数周期性等问题）
三：利用平面向量，结合三角函数性质求新函数周期，最值，单调性
例3：设函数()f x =∙a b ，其中向量()2c o s ,c o s x x =a ，()sin ,2cos x x =b ，x R ∈。

①求函数()f x 周期。

②求函数()f x 最大值及此时x 值的集合。

③求函数
()f x 的单调增区间。

解：()f x =∙a b 22sin cos 2cos x x x =+ sin2cos21x x =++ （利用二倍角正弦、余弦公式）
sin 2cos2122x x ⎫=++⎪⎭
（形如函数sin cos y a x b x =+
()sin y A wx ϕ=+的形式，再进行一系列求解）
sin 2cos cos2sin 144x x ππ⎫=++⎪⎭
214x π⎛⎫=++ ⎪⎝
⎭ （利用两角和的正弦公式进行转化） ①周期2T w
π=22ππ== ②当sin 214x π⎛⎫+= ⎪⎝
⎭时，(
)max 1f x =+此时2242x k πππ+=+ ∴|,8x x k k z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭
③当22,2422x k k πππππ⎡⎤+∈-++⎢⎥⎣⎦
时，函数()f x 单调递增。

∴222242
k x k πππππ-+≤+≤+ ∴388k x k ππππ-+≤≤+ 即单调增区间为3,88k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，()k z ∈ （②③两个问题中需将24x π+
当成一个整体θ，具有整体代换思想，再利用正弦函数最基本的性质求解）
向量与三角函数结合是高中数学知识的一个交汇点，也是高考的一个考点，其目的在于考查学生对三角函数基本关系式的变形能力、运算能力、推理能力，同时也有利于考查学生对平面向量的综合运算能力。

熟练掌握这方面问题，对学生的高考去得好成绩有着极其重要的作用。