2. 晶体的微观对称性： 晶体的内部结构出现的对称性 七类微观对称元素： 对称元素 对称操作 点阵 平移T 螺旋轴nm 旋转360º /n，平移m/n向量 滑移面a,b,c,n,d 反映，平移 21螺旋轴，旋转180º ，平移1/2a 41螺旋轴，旋转90º ，平移1/4a 金刚石 63螺旋轴，旋转60º ，平移1/2a 石墨
1

1
高级晶系：立方 多个高次轴 三轴相等 中级晶系：六方、四方、三方 一个高次轴 两轴相等 低级晶系：正交、单斜、三斜 无高次轴 三轴不等

7.2.4 晶体的十四种空间点阵型式
1866年Bravias推出了晶体的14种空间点阵 型式，根据带心情况，分为P(简单)、I(体 心)、F(面心)、C(底心)四种类型：

1


1

1

1

7.2.2 晶胞
7.2.3 晶体的7个晶系

晶面指标：
平面间距：平面点阵族中相邻两个平面点阵间垂 直距离。 a 立方体： d ( hkl ) 2 2 2
h k l

1

7.2 晶体结构的对称性 7.2.1 晶体的对称元素和对称操作： 1. 晶体的宏观对称性： 晶体的理想外形出现的对称性 四类宏观对称元素： 对称元素 对称操作 对称中心 (i) 反演操作 镜面 (σ) 反映操作 旋转轴 (Cn) 旋转操作 反轴 (S) 旋转反演操作

1

1

滑移面： ①轴向滑移面a 轴向滑移面b 轴向滑移面c ②对角线滑移面n： 对角线方向平移1/2(a+b)或1/2(a+c)或1/2(b+c) ③菱形滑移面d： 平移1/4(a+b)或1/4(a+c)或1/4(b+c)

7.1 晶体结构的周期性和点阵 7.1.1 晶体结构的特征： 物质的聚集状态：气态、液态和固态。 气态：空间自由运动，分布杂乱无章。 液态：液体内自由运动，多为杂乱分布。也有例 外，如液晶。 固态：在局部分子振动，杂乱分布的，称为非晶 物质。部分规律排列，准晶。完全规律性排列， 晶体。

1

素单位：含有一个点阵点的单位。 复单位：含有两个或两个以上点阵点的单位。 抽点阵的方法： (1) 找结构基元的方法（易出错） (2) 找周围环境相同的点。

平面点阵单位：四种类型，五种型式

21螺旋轴与a滑移面区别: 手性分子不随21螺旋轴而改变；而a滑移面会改变手 性。

晶体的微观对称操作为空间操作。 晶体的微观对称性与宏观对称性的关系： 微观对称性是宏观对称性的基础。相应的对称元素互相 平行。 微观 宏观 螺旋轴nm 旋转轴n 滑移面a,b,c,n,d 镜面m 习题8.8：根据点阵的性质证明晶体中不存在五次对称 轴。 证明：反证法。 从离O点最近的点阵点A1作平行线，使A1B//A2A3

A4 B
A5
.O
A2
A3
3. 准晶：
A1
1982年，以色列Dan Shechtman(1941~ )等采用猝冷法制备 Al6Mn合金，在电子衍射中观察到五次对称轴衍射图。并 因此获得2011年诺贝尔化学奖。 准晶中具有长程定向有序，没有周期平移有序。 称为二十面体准晶相。 以后又发现8次、10次、12次准晶相。 2009年发现天然准晶体Al63Cu24Fe13
金刚石

石墨

(d)金属Cu：立方面心，4个点阵点；点阵点指标： (0,0,0);(0,1/2,1/2);(1/2,1/2,0);(1/2,0,1/2) (e)金属Mg：一个点阵点，结构基元2个Mg； Mg(0,0,0); (1/3,2/3,1/2) (f)金刚石：4个点阵点，结构基元2个C； C(0,0,0),(1/2,1/2,0),(1/2,0,1/2),(0,1/2,1/2),(3/4,1/4,1/4), (1/4,3/4,1/4),(1/4,1/4,3/4),(3/4,3/4,3/4)； (g)NaCl： 4个点阵点，结构基元一个NaCl； Cl- (0,0,0), (1/2,1/2,0),(1/2,0,1/2),(0,1/2,1/2), Na+ (1/2,0,0),(0, 1/2, 0),(0,0,1/2),(1/2,1/2,1/2) (h)石墨： 1个点阵点，结构基元4个C； C(0,0,0),(1/3,1/3,0),(0,0,1/2),(1/3,2/3,1/2)

1

二维点阵（平面点阵）：分布在同一平面的点阵： 平面点阵单位：在平面点阵中选择两个互不平行的 单位向量可把点阵划分成一个个平行四边形，即 为“~” 平面点阵单位参数：a, b, γ a=|a|, b=|b|, γ=a^b 夹角 NaCl 平移群 Tm,n=ma+nb (m,n=0, ±1, ±2 ∙∙∙) a γ a, b 必须是素单位的向量 b
三维空间点阵： 空间点阵单位：选择三个不平行，不在同一平面的单位 向量a,b,c，把空间点阵划分成一个个平行六面体。
空间点阵参数：a=|a|, α=b^c b=|b|, β=a^c c=|c|, γ=a^b

点阵点指标(u,v,w)：γ= ua + vb + wc 平移群：Tm,n,p= ma+nb+pc (m,n,p=0,±1,±2…) a,b,c必须是素单位向量。
正方单位
六方单位
矩形P
矩形C 矩形单位
一般平行四边形 单位
a=b a=b a≠b a≠b a≠b γ=90° γ=120° γ=90° γ=90° γ≠ 90° C4 C6 σ1⊥σ2 正当单位：反映结构的对称性；点阵点尽量少。

习题7.1


由晶胞参数计算键长： CsCl： 3 键长 a 2 金属Cu 键长 2 a 2
若a,b,c互相垂直，原子坐标为x,y,z：
r ( x2 x1 ) 2 a 2 ( y2 y1 ) 2 b 2 ( z2 z1 ) 2 c 2
晶胞包含的质量 ZM 晶体密度 (g / cm3 ) 晶胞体积 NV
3. 晶胞参数和原子坐标
晶胞：将晶体结构按空间点阵单位大小，形状划分成与空间 点阵单位完全相同的平行六面体。 晶胞与空间点阵单位的区别： 晶胞是晶体结构的基本单位，是具体、实际的； 空间点阵单位是抽象的。

晶胞两要素： (1)晶胞的大小、形状； 用晶胞参数表示。 (2)晶胞的内容。 原子、离子的种类、数目和位置，用原子坐标表示。 (a)金属Po：一个点阵点，Po(0,0,0) (b)CsCl：一个点阵点，点阵点指标(0,0,0) Cl-(0,0,0); Cs+(1/2,1/2,1/2) (c)金属Na：两个点阵点， Na(0,0,0); (1/2,1/2,1/2)

晶体结构理论的发展过程：
1669年丹麦斯蒂诺(Steno)对石英晶体研究发现晶面角守恒 定律 1801年法国赫羽依(Haü y)从方解石(CaCO3)从解理面破裂 现象提出有理指数定理 1805-1809年德国魏斯(Weiss)提出晶体对称定律，晶带定律， 将晶体分为六大晶系 1830年德国赫塞尔(Hessel)确定32种晶体学点群 1849年法国布拉维(Bravais)确定14种空间点阵格子 1890-1891年俄国费德罗夫(Fedorov)德国熊夫利 (Schoenflies)推导出230个空间群

Po(立方P)
Na(立方I)
Cu(立方F)

顶点、体心和面心
1

CsCl
NaClwww.themegaller.comMg (六方P)


2. 点阵和点阵单位
晶体是周期性排列的。 周期性：指物质微粒每隔一定距离重复的性质。 周期：重复的距离。 结构基元：重复的内容。 描写周期性的几何形式。

点阵：一组无限的点，任何两点之间形成一个向量， 各点按此向量平移可使其还原。 晶体学点阵：三维空间中有规律排列的一组点。 两种点阵： Bravais点阵和倒易点阵。 Bravais点阵的两种定义： 定义一：三维空间中有规律排列的一组点，各点的 周围环境相同。 定义二：三维空间中有规律排列的一组点，各点与 周围的点可构成相同的空间矢量：

1

点阵点指标 点阵点数目 P (0,0,0) 1 I (0,0,0) (1/2,1/2,1/2) 2 F (0,0,0) (1/2,1/2,0) 4 (1/2,0,1/2) (0,1/2,1/2) C (0,0,0) (1/2,1/2,0) 2 立方C不存在，破坏了三次轴。四方F可转化为四方I，四 方C可转化为四方P。

以上宏观对称操作均为点操作。 晶体受点阵的制约，旋转轴次仅限于1，2，3，4，6。 n次轴 B1B2//A1A4 B1B2=ma(m=0,±1,±2…) ma=a+2acosα=a(1+2cosα) m=1+2cosα cosα =1/2(m-1) |1/2(m-1)|1 m=3,2,1,0,-1 α = 0º,60º,90º,120º,180º n=1, 6, 4, 3, 2
Tu,v,w= ua+vb+wc (u,v,w为整数)

用平移性质定义点阵的反例： 金属镁的结构 晶体结构=点阵+结构基元 一维点阵：分布在同一直线上距离相等的点。 单位向量a:直线点阵参数 Tm= ma (m=0, ±1, ±2, ·) · · 平移群：表达周期性代数形式

7.2.5 32个晶体学点群 将宏观对称元素合理组合得到32个宏观对称类型。 用schö nflies符号表示：


4.平面点阵指标和平面间距 空间点阵可以划分成一族互相平行且间距相等的平面点 阵。 平面点阵指标：平面点阵或晶面在三个晶轴上倒易截数 之比。 截数比=3:3:5 倒数比=1/3:1/3:1/5 =5:5:3