如果我们想求得 的偏导数，只需对方程组分别关于 求偏导数，得到
（1）
（2）
由（1）解出
由（2）解出
19.解:设
,
.
(1) 关于 的雅可比行列式是
,
当 时,在满足方程组的任何一点 的一个邻域内,由方程组可以唯一确定 是 的可微函数;
(2) 关于 的雅可比行列式是
,
当 时,在满足方程组的任何一点 的一个邻域内,由方程组可以唯一确定 是 的可微函数.
.
其中 为 所围立体的表面的外侧.
49.求 ,其中 是 的表面,取外侧为正侧 .
50.计算积分 ，其中S是椭球面 的
外侧.
1. 试求极限
解
.
2. 试求极限
解 由
.
3. 试求极限
解 由于
,
又 ,
所以
， ,
所以
.
4. 试讨论
解 当点 沿直线 趋于原点时，
.
当点 沿抛物线线 趋于原点时，
.
因为二者不等，所以极限不存在.
24.叙述含参量 的正常积分的连续性定理的内容.
答:设二元函数 在区域
上连续，其中 为 上的连续函数，则函数
（6）
在 上连续.
25.叙述含参量 的无穷限反常积分定义.
答:设二元函数 定义在无界区域 上，若对于 上每一固定的 值，反常积分
(1)
都收敛,则它的值是 在 上取值的函数,当记这个函数为 时,则有
(Ⅱ).原式= .
50.解：由Gauss公式，得 ，由广义球坐标变换 , ，得
15. 解:显然 及 在平面上任一点都连续，由隐函数定理知道，在使得 的点 附近，方程 都能确定隐函数 ；所以，它的一阶与二阶导数如下：
对方程求关于 的导数（其中 是 的函数）并以3除之，得
,
或
（1）
于是
（2）
再对（1）式求导，得： 即
（3）
把（2）式代入（3）式的右边，得
再利用方程就得到
16.解:由于 处处连续，根据隐函数定理18.3，在原点 附近能惟一确定连续可微得隐函数 ，且可求得它得偏导数如下：
41.解:(Ⅰ).画出积分区域
(Ⅱ). .
42.解:
.
43.解:
(Ⅰ). 由 ,得 .
于是 ,故 是抛物线.令 ,得
.故 与 轴相交于 .
(Ⅱ).令 ,则 ，故 .
(Ⅲ).
.
44.解:
.
45.解:
.
.
46.解：因为 ,故 ,
.
于是 .
47.解：S是 分解为两部分:
,
.
故
.
48.解：原式=
.
49.解:(Ⅰ).画出积分区域
答:用积分形式所定义的这两个函数
（1）
与 ,（2）
通称为定义在 上含参量 的（正常）积分，或简称含参量积分.
（1）式的意义如下：设 是定义在矩形区域 上的二元函数。当 取 上某定值时，函数 则是定义在 上以y为自变量的一元函数.倘若这时 在 可积，则其积分值是 在 上取值的函数，记它为 ，就有 .
（2）式的意义如下：一般地，设 为定义在区域 上的二元函数，其中 为定义在 上的连续函数，若对于 上每一固定的 值， 作为 的函数在闭区间 上可积，则其积分值是 在 上取值的函数，记作 时，就有
17.解: (1)令 ,则有
.
由于 均连续,且
,
故在点 附近由上述方程能确定隐函数 和 .
(2)当 时,由定理知
;
同理,当 时,由定理知
.
于是求得
并且有
, .
18.解:首先， 即 满足初始条件.再求出F，G的所有一阶偏导数
容易验算，在点 处的所有六个雅可比行列式中只有
因此，只有 难以肯定能否作为以 为自变量的隐函数.除此之外，在 的近旁任何两个变量都可作为以其余两个变量为自变量的隐函数.
23.叙述含参量 的正常积分定义.
24.叙述含参量 的正常积分的连续性定理的内容.
25.叙述含参量 的无穷限反常积分定义.
26.叙述含参量 的无穷限反常积分的一致收敛性定义.
27.叙述含参量 的无穷限反常积分的一致收敛的柯西收敛准则.
28.叙述含参量反常积分一致收敛的狄利克雷判别法.
29.叙述含参量反常积分一致收敛的阿贝尔判别法.
又由（22）式
在上式中，令 ，则有 .
34.解:由于 对任一实数 成立及反常积分 收敛①，所以原积分在 上收敛.
考察含参量反常积分
, (24)
由于 对一切 成立及反常积分 收敛，根据魏尔斯特拉斯M判别法，含参量积分（24）在 上一致收敛.
综合上述结果由定理19.10即得
于是有
,
.
从而 ，又由原积分， ，所以 ，因此得到
30.叙述含参量反常积分的可积性定理内容.
31.求
32.计算积分 .
33.计算
并由此计算
34.利用公式 ,计算
.
35.利用可微性计算关于参数 的含参量反常积分
.
并由此计算
36.计算 ，其中L为单位圆周 .
37.计算 ，其中L为从(0,0,0)到(1,2,3)的直线段.
38.求积分 ,其中曲线 与 轴围成的面积为 .
则含参量反常积分
在 上一致收敛．
29.叙述含参量反常积分一致收敛的阿贝尔判别法.
答:设
在 上一致收敛；
对每一个 ，函数 为 的单调函数，且对参量 ， 在 上一致有界，则含参量反常积分
在 上一致收敛。
30.叙述含参量反常积分的可积性定理内容.
答:设 在 上连续，若 在 上一致收敛，则 在 上可积，且
设 在 上连续.若
20.解:设 ， .它们在 处的偏导数和雅可比行列式之值为：
和
， ， .
所以曲线在 处的切线方程为：
，
即
法平面方程为
，
即
.
21.解:令 ,则,故ຫໍສະໝຸດ ,因此曲面在点 处的法向量为,
所求切平面方程为
,
即
.
法线方程为
即
22.解:这个问题实质上就是要求函数
（空间点 到原点 的距离函数的平方）
在条件 及 下的最大、最小值问题.应用拉格朗日乘数法，令
统计专业和数学专业数学分练习题
计算题
1. 试求极限
2. 试求极限
3. 试求极限
4. 试讨论
5. 试求极限
6. , 有连续的偏导数，求
7. 求
8. 求抛物面 在点 处的切平面方程与法线方程.
9. 求 在 处的泰勒公式.
10. 求函数 的极值.
11.叙述隐函数的定义.
12.叙述隐函数存在唯一性定理的内容.
答: 设 ， ，函数 对于方程 , 若存在集合 与 ，使得对于任何 ，恒有唯一确定的 ，使得 满足方程 ,则称由方程 确定了一个定义在 上，值域含于 的隐函数。一般可记为 且成立恒等式
12.叙述隐函数存在唯一性定理的内容.
答:若 满足下列条件:
（i）函数F在以 为内点的某一区域 上连续;
（ii） （通常称为初始条件）;
答:含参量反常积分 在 上一致收敛的充要条件是：对任给正数 ，总存在某一实数 ，使得当 时，对一切 ，都有
.
28.叙述含参量反常积分一致收敛的狄利克雷判别法.
答:设
对一切实数N>c，含参量正常积分 对参量 在 上一致有界，即存在正数M，对一切N>c及一切 ，都有
对每一个 ，函数 关于y是单调递减且当 时，对参量 一致地收敛于0.
18.讨论方程组
在点 近旁能确定怎样的隐函数组，并求其偏导数。
19.设方程组
问在什么条件下,
(1)由方程组可以唯一确定 是 的可微函数?
(2)由方程组可以唯一确定 是 的可微函数?
20.求球面 与锥面 所截出的曲线的点 处的切线与法平面方程。
21.求曲面 在点 处的切平面与法线方程.
22.抛物面 被平面 截成一个椭圆.求这个椭圆到原点的最长与最短距离.
（iii）在D内存在连续的偏导数 ;
（iv） 0,
则在点 的某邻域 内，方程 =0唯一地确定了一个定义在某区间 内的函数（隐函数） ，使得
1º , 时 且 ；
2° 在 内连续.
13.叙述隐函数可微性定理的内容.
答:若 满足下列条件:
（i）函数F在以 为内点的某一区域 上连续;
（ii） （通常称为初始条件）;
关于 在任何闭区间 上一致收敛，
关于 在任何区间 上一致收敛；
积分 （18）
中有一个收敛，
则（18）中另一个积分也收敛，且
31. 解: 因为 所以 由于函数 在 上满足定理 的条件，所以交换积分顺序得到
32.解:因为
,
所以该积分是正常积分.
交换积分次序,得
.
在上面的内层积分中作变换 ,有
,
于是
.
解法二:取 为参量,利用积分号下求导数的方法,有
13.叙述隐函数可微性定理的内容.
14.利用隐函数说明反函数的存在性及其导数.
15.讨论笛卡儿叶形线
所确定的隐函数 的一阶与二阶导数.
16.讨论方程
在原点附近所确定的二元隐函数及其偏导数.
17.设函数 ,方程
.
(1)验证在点 附近由上面的方程能确定可微的隐函数 和 ;
(2)试求 和 ,以及它们在点 处的值.
（iii）在D内存在连续的偏导数 ;
（iv） 0,
又设在D内还存在连续的偏导数 ，则由方程 所确定的隐函数在 在其定义域 内有连续导函数，且
14.利用隐函数说明反函数的存在性及其导数.
答:设 在 的某邻域内有连续的导函数 ，且 ;考虑方程