备战2018高考数学黄金解题模板 含参不等式的存在性与恒成立问题【高考地位】含参不等式的恒成立问题越来越受到高考命题者的青睐，由于新课标高考对导数应用的加强，这些不等式的恒成立问题往往与导数问题交织在一起，这在近年的高考试题中不难看出这个基本的命题趋势. 解决这类问题的关键是揭开量词隐含的神秘面纱还函数问题本来面目，在高考中各种题型多以选择题、填空题和解答题等出现，其试题难度属高档题.【方法点评】方法一 判别式法使用情景：含参数的二次不等式解题模板：第一步 首先将所求问题转化为二次不等式；第二步 运用二次函数的判别式对其进行研究讨论；第三步 得出结论.例1 设22)(2+-=mx x x f ，当),1[+∞-∈x 时，m x f ≥)(恒成立，求实数m 的取值范围.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≤--≥-≥∆1220)1(0m F 解得23-≤≤-m 。

综上可得实数m 的取值范围为)1,3[-.【点评】一般地，对于二次函数),0()(2R x a c bx ax x f ∈≠++=,有1）0)(>x f 对R x ∈恒成立⎩⎨⎧<∆>⇔00a ；2）0)(<x f 对R x ∈恒成立⎩⎨⎧<∆<⇔00a . 例2 若()f x 为二次函数，-1和3是方程()04=--x x f 的两根，()10=f .（1）求()f x 的解析式；（2）若在区间[]1,1-上，不等式()2f x x m >+有解，求实数m 的取值范围.【答案】（1）()21f x x x =-+；（2）(),5m ∈-∞.（2）∵在区间[]1,1-上，不等式()2f x x m >+有解，∴231m x x <-+在区间[]1,1-上有解， 故只需m 小于函数()231g x x x =-+在区间[]1,1-上的最大值，由二次函数可知当1x =-时，函数()g x 取最大值5,∴实数m 的取值范围为()5-∞，考点：1、求二次函数解析式；2、不等式能成立问题.【方法点睛】本题首先考查二次函数解析式，已知函数类型求解析式时，可以采用待定系数法，第二问考查一元二次不等式的解法，对于一元二次不等式在给定区间上有解问题，可以采用分离参数法，转化为()max m g x <来求参数m 的取值范围，另外，对于不等式恒成立、能成立问题，都要寻求等价的转化关系来解题.【变式演练1】已知函数])1(lg[22a x a x y +-+=的定义域为R ，求实数a 的取值范围。

【答案】),31()1,(+∞--∞ .【解析】由题设可将问题转化为不等式0)1(22>+-+a x a x 对R x ∈恒成立，即有04)1(22<--=∆a a 解得311>-<a a 或,所以实数a 的取值范围为),31()1,(+∞--∞ . 【变式演练2】已知p ：1x 和2x 是方程220x mx --=的两个实根，不等式21253||a a x x --≥-对任意实数[]1,1m ∈-恒成立；q ：不等式2210ax x +->有解，若p 为真，q 为假，求a 的取值范围．【答案】1a ≤-当0a >时，显然有解，当0a =时，2210ax x +->有解，当0a <时，∵2210ax x +->有解，∴440a ∆=+>，∴10a -<<，∴不等式2210ax x +->有解时1a >-，∴q 假时a 的范围为1a ≤-，②由①②可得a 的取值范围为1a ≤-．考点：命题真假性的应用方法二 分离参数法使用情景：对于变量和参数可分离的不等式解题模板：第一步 首先对待含参的不等式问题在能够判断出参数的系数正负的情况下，可以根据不等式 的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式；第二步 先求出含变量一边的式子的最值；第三步 由此推出参数的取值范围即可得出结论.例3 已知函数()2ln f x kx x =-，若()0f x >在函数定义域内恒成立，则k 的取值范围是（ ） A ．1,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．11,2e e ⎛⎫⎪⎝⎭ C ．1,2e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ D ．1,2e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】D考点：函数的恒成立问题．【方法点晴】本题主要考查了函数的恒成立问题，其中解答中涉及到利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的极值与最值、恒成立的分离参数构造新函数等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与化归思想，试题有一定的思维深度，属于中档试题，解答中根据函数的恒成立，利用分离参数法构造新函数，利用新函数的性质是解答的关键．含参不等式分离参数后的形式因题、因分法而异，因此解决含参不等式恒成立问题需把握住下述结论：（1）()()f x g a <恒成立⇔m a x ()()f x g a <；（2）()()f x g a ≤恒成立⇔m a x()()f x g a ≤；（3）()()f x g a >恒成立⇔m i n()()f x g a >。

（4）()()f x g a ≥恒成立⇔min ()()f x g a ≥.【变式演练3】已知函数()f x =(,1]-∞上有意义，则a 的取值范围是 . 【答案】3[,)4-+∞．【变式演练4】若关于x 的不等式243x a a x+≥-对任意实数0x >恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[1,4]- B ．(,2][5,)-∞-⋃+∞C. (,1][4,)-∞-⋃+∞ D ．[2,5]-【答案】A【解析】试题分析：由题意得，因为0x >，则44x x +≥=，当且仅当4x x =，即2x =时等号成立，又关于x 的不等式243x a a x+≥-对任意实数0x >恒成立，则234a a -≤，即2340a a --≤，解得14a -≤≤，故选A.考点：基本不等式的应用；不等式的恒成立问题.方法二 函数性质法使用情景：对于不能分离参数或分离参数后求最值较困难的类型解题模板：第一步 首先可以把含参不等式整理成适当形式如(,)0f x a ≥、(,)0f x a <等；第二步 从研究函数的性质入手，转化为讨论函数的单调性和极值；第三步 得出结论.例4 已知函数323()12f x ax x =-+ ()x R ∈， 其中0a >. 若在区间11[,]22-上，()0f x >恒成立，求a 的取值范围.【答案】05a <<.【点评】对于不能分离参数或分离参数后求最值或确界较困难的问题，我们可以把含参不等式整理成适当形式如(,)0f x a ≥、(,)0f x a <等，然后从研究函数的性质入手，转化为讨论函数的单调性和极值. 在解题过程中常常要用到如下结论：（1）如果(,)f x a 有最小值()g a ，则(,)0f x a >恒成立⇔()0g a >，(,)0f x a ≥恒成立⇔()0g a ≥；（2）如果(,)f x a 有最大值()g a ，则(,)0f x a <恒成立⇔()0g a <，(,)0f x a ≤恒成立⇔()0g a ≤.【变式演练5】已知函数(),0xf x e ax a =->． （1）记()f x 的极小值为()g a ，求()g a 的最大值；（2）若对任意实数x 恒有()0f x ≥，求()f a 的取值范围．【答案】（1）1；（2）(21,e e e ⎤-⎦．（2）当0x ≤时，0,0x a e ax >-≥恒成立，当0x >时，()0f x ≥，即0xe ax -≥，即xe a x ≤ 令()()()()221,0,,x x x x e x e e x e h x x h x x x x --'=∈+∞==， 当01x <<时，()0h x '<，当1x >时，()0h x '>，故()h x 的最小值为()1h e =，所以a e ≤，故实数a 的取值范围是(]0,e()(]2,0,a f a e e a e =-∈，()2a f a e a '=-，由上面可知20a e a -≥恒成立，故()f a 在(]0,e 上单调递增，所以()()()201e f f a f e e e =<≤=-， 即()f a 的取值范围是(21,e e e ⎤-⎦ 考点：极值的概念及导数的有关知识的综合运用．【变式演练6】设函数2()1x f x e x ax =---，若0x ≥时，()0f x ≥，求a 的取值范围。

【答案】12a ≤【点评】函数、不等式、导数既是研究的对象，又是解决问题的工具。

本题抓住(0)0f =这一重要的解题信息，将问题转化为()(0)f x f ≥在0x ≥时恒成立，通过研究函数()f x 在[0,)+∞上是不减函数应满足的条件，进而求出a 的范围。

隐含条件(0)0f =对解题思路的获得，起到了十分重要的导向作用.【变式演练7 （1）当1a =时，求函数()f x 在点(2,(2))f 处的切线方程；（2）求函数()f x 的单调区间； （3）若()2ln f x x ≥在[1,)+∞上恒成立，求a 的取值范围．【答案】（1） 5440--=x y （2） 详见解析（3） [1,)+∞【解析】试题分析：（1）由导数几何意义得(2)f '为切线斜率 ，再根据点斜式求切线方程（2） 求函数单调性，先，再根据导函数零点及符号变化规律，进行分类讨论：（Ⅱ）函数的定义域为：{|0}≠x x当02<≤a 时，'()0≥f x 恒成立，所以，()f x 在(,0)-∞和(0,)+∞上单调递增 当2>a 时，令'()0=f x ，即：220+-=ax a ，'()0,>f x 21;或><x x x x '()0,<f x 1200或<<<<x x x x ，所以，()f x 单调递增区间为（Ⅲ）因为()2ln ≥f x x 在[1,)+∞上恒成立，有在[1,)+∞上恒成立．即1>a 时，当时，'()0,()>g x g x 单调递增， 时，'()0,()<g x g x 单调递减， 所以，()g x 在[1,)+∞上的最小值为(1)g 又因为(1)0=g ，所以()2ln ≥f x x 恒成立 综上知，a 的取值范围是[1,)+∞考点：导数几何意义，利用导数求函数单调区间，利用导数研究不等式恒成立问题【高考再现】1.【2017天津理，8】已知函数23,1,()2, 1.x x x f x x x x ⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩设a ∈R ，若关于x 的不等式()||2x f x a ≥+在R 上恒成立，则a 的取值范围是（A ）47[,2]16-（B ）4739[,]1616- （C）[- （D）39[]16- 【答案】A当1x >时，(*)式为222x x a x x x --≤+≤+，32222x x a x x--≤≤+，又3232()22x x x x--=-+≤-x =时取等号），222x x +≥=（当2x =时取等号），所以2a -≤≤， 综上47216a -≤≤．故选A ． 【考点】不等式、恒成立问题 【名师点睛】首先满足()2xf x a ≥+转化为()()22x x f x a f x --≤≤-去解决，由于涉及分段函数问题要遵循分段处理原则，分别对x 的两种不同情况进行讨论，针对每种情况根据x 的范围，利用极端原理，求出对应的a 的范围.2.【2017天津文，8】已知函数||2,1,()2, 1.x x f x x x x +<⎧⎪=⎨+≥⎪⎩设a ∈R ，若关于x 的不等式()||2x f x a ≥+在R 上恒成立，则a 的取值范围是（A ）[2,2]-（B）[2]-（C）[2,-（D）[- 【答案】A 【解析】【考点】1.分段函数；2.函数图形的应用；3.不等式恒成立.【名师点睛】一般不等式恒成立求参数1.可以选择参变分离的方法，转化为求函数最值的问题；2.也可以画出两边的函数图象，根据临界值求参数取值范围；3.也可转化为()0F x >的问题，转化讨论求函数的最值求参数的取值范围. 本题中的函数()f x 和()2xg x a =+都是比较熟悉的函数，考场中比较快速的方法是就是代入端点，画出函数的图象，快速准确，满足题意时()f x 的图象恒不在函数2xy a =+下方，当a =时，函数图象如图所示，排除C,D 选项；当a =-B 选项，3. 【2015高考新课标1，理12】设函数()f x =(21)xe x ax a --+,其中a 1，若存在唯一的整数0x ，使得0()f x 0，则a 的取值范围是（ ）(A)[-32e ，1） (B)[-32e ，34） (C)[32e ，34） (D)[32e，1）【答案】D【考点定位】本题主要通过利用导数研究函数的图像与性质解决不等式成立问题4.【2015高考四川，文15】已知函数f (x )＝2x，g (x )＝x 2＋ax (其中a ∈R ).对于不相等的实数x 1，x 2，设m ＝1212()()f x f x x x --，n ＝1212()()g x g x x x --，现有如下命题：①对于任意不相等的实数x 1，x 2，都有m ＞0；②对于任意的a 及任意不相等的实数x 1，x 2，都有n ＞0； ③对于任意的a ，存在不相等的实数x 1，x 2，使得m ＝n ； ④对于任意的a ，存在不相等的实数x 1，x 2，使得m ＝－n . 其中真命题有___________________(写出所有真命题的序号). 【答案】①④【解析】对于①，因为f '(x )＝2xln 2＞0恒成立，故①正确【考点定位】本题主要考查函数的性质、函数的单调性、导数的运算等基础知识，考查函数与方程的思想和数形结合的思想，考查分析问题和解决能提的能力.【名师点睛】本题首先要正确认识m ，n 的几何意义，它们分别是两个函数图象的某条弦的斜率，因此，借助导数研究两个函数的切线变化规律是本题的常规方法，解析中要注意“任意不相等的实数x 1，x 2”与切线斜率的关系与差别，以及“都有”与“存在”的区别，避免过失性失误.属于较难题.5.【2016高考新课标1卷】已知函数()()()221xf x x e a x =-+-有两个零点.(I)求a 的取值范围；(II)设x 1,x 2是()f x 的两个零点,证明：122x x +<. 【答案】(0,)+∞试题解析;（Ⅰ）'()(1)2(1)(1)(2)x x f x x e a x x e a =-+-=-+． （i ）设0a =,则()(2)x f x x e =-,()f x 只有一个零点．（ii ）设0a >,则当(,1)x ∈-∞时,'()0f x <；当(1,)x ∈+∞时,'()0f x >．所以()f x 在(,1)-∞上单调递减,在(1,)+∞上单调递增．又(1)f e =-,(2)f a =,取b 满足0b <且ln2ab <,则 223()(2)(1)()022a fb b a b a b b >-+-=->, 故()f x 存在两个零点．（iii ）设0a <,由'()0f x =得1x =或ln(2)x a =-． 若2ea ≥-,则ln(2)1a -≤,故当(1,)x ∈+∞时,'()0f x >,因此()f x 在(1,)+∞上单调递增．又当1x ≤时,()0f x <,所以()f x 不存在两个零点． 若2ea <-,则ln(2)1a ->,故当(1,ln(2))x a ∈-时,'()0f x <；当(ln(2),)x a ∈-+∞时,'()0f x >．因此()f x 在(1,ln(2))a -单调递减,在(ln(2),)a -+∞单调递增．又当1x ≤时,()0f x <,所以()f x 不存在两个零点．综上,a 的取值范围为(0,)+∞．考点：导数及其应用6. 【2016高考山东理数】已知()221()ln ,R x f x a x x a x-=-+∈. （I ）讨论()f x 的单调性；（II ）当1a =时，证明()3()'2f x f x +＞对于任意的[]1,2x ∈成立. 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析（1）20<<a ，12>a， 当)1,0(∈x 或x ∈),2(+∞a时，0)(/>x f ，)(x f 单调递增； 当x ∈)2,1(a时，0)(/<x f ，)(x f 单调递减； （2）2=a 时，12=a，在x ∈),0(+∞内，0)(/≥x f ，)(x f 单调递增； （3）2>a 时，120<<a，当)2,0(ax ∈或x ∈),1(+∞时，0)(/>x f ，)(x f 单调递增； 当x ∈)1,2(a时，0)(/<x f ，)(x f 单调递减. 综上所述，当0≤a 时，函数)(x f 在)1,0(内单调递增，在),1(+∞内单调递减；当20<<a 时，)(x f 在)1,0(内单调递增，在)2,1(a 内单调递减，在),2(+∞a内单调递增； 当2=a 时，)(x f 在),0(+∞内单调递增；当2>a ，)(x f 在)2,0(a 内单调递增，在)1,2(a内单调递减，在),1(+∞内单调递增.即23)()(/+>x f x f 对于任意的]2,1[∈x 恒成立。