（5）（3x2-2y2）(9x4+6x2y2+4y4)=(3x2-2y2)[(3x2)2+3x2·2y2+(2y2)2]=(3x2)3-(2y2)3=27x6-8y6说明：1、注意对公式的理解和记忆（1）项数特征：两项乘三项→积为二项，（2）符号特征：二项的因式若两项都为"+"，则三项的因式符号为+，-，+，积的符号与二项因式的符号相同，二项的因式符号若为"+"，"-"，则三项的因式符号为+，+，+，积的符号与二项因式的符号相同，即是说公式在各种条件都相符的情况下，所得的积是两数的"立方和"还是两数的"立方差"，主要看乘积中第一个乘式是"两数和"，还是"两数差"。
2、公式中的字母a、b仍代表任意数或代数式。
第二阶梯[例1]利用乘法公式计算：(1)（x+3）(x-3)(x2+9) (2) (a+b)(a-b)(a2-b2)(3) (x-2)(x+2)(x4+4x2+16) (4) (a-b)(a2+ab+b2)(a6+a3b3+b6)提示：（1）小题可两次使用平方差公式；（2）小题先使用平方差公式，再使用完全平方公式；（3）小题先使用平方差公式，再使用立方差公式（4）小题两次使用立方差公式。
参考答案：(1)(x+3)(x-3)(x2+9)=(x2-9)(x2+9)=(x2)2-92=x4-81(2)(a+b)(a-b)(a2-b2)=(a2-b2)(a2-b2)=(a2-b2)2=(a2)2-2a2b2+(b2)2=a4-2a2b2+b4(3)(x-2)(x+2)(x4+4x2+16)=(x2-4)(x4+4x2+16)=(x2)3-43=x6-64(4)(a-b)(a2+ab+b2)(a6+a3b3+b6)=(a3-b3)(a6+a3b3+b6)=(a3)3-(b3)3=a9-b9说明：遇到多项式的乘法问题，首先应看看是否符合某个乘法公式，若有恰当的公式使用可大大简化运算过程。
[例2]运用乘法公式计算：(1) (a+b+c)(a-b-c) (2) (a-2b+3c)(a+2b-3c)(3) (x+2y+z)2 (4) (2x-3y-4z)2提示：（1）（2）小题可利用平方差公式进行计算；（3）（4）小题可利用完全平方公式进行计算。
参考答案：(1)（a+b+c）(a-b-c)=[a+(b+c)][a-(b+c)]=a2-(b+c)2=a2-(b2+2bc+c2)=a2-b2-2bc-c2(2)(a-2b+3c)(a+2b-3c)=[a-(2b-3c)][a+(2b-3c)]=a2-(2b-3c)2=a2-(4b2-12bc+9c2)=a2-4b2-12bc-9c2(3)（x+2y+z）2=[x+(2y+z)]2=x2+2x(2y+z)+(2y+z)2=x2+4xy+2xz+4y2+4yz+z2(4)(2x-3y-4z)2=[2x-(3y+4z)]2=(2x)2-2·2x·(3y+4z)+(13y+4z)2=4x2-4x(3y+4z)+(19y2+24yz+16z2 )=4x2-12xy-16xz+9y2+24yz+16z2说明：进行多项式乘法运算时，一定要认真仔细地对题目进行观察研究，把不符合公式标准形式的题目加以调整。
适当地添加括号，将有利于应用乘法公式，添加括号方式的不同，可一题多解，如（4）小题还可添加括号为[（2x-3y）-4z]2，但得出的结果均相同。
[例3]利用乘法公式计算：（1）（x+1）(x-1)(x2+x+1)(x2-x+1)（2）(a+b)(a-b)(a2+ab+b2)(a2-ab+b2)提示：（1）小题前两个因式可利用平方差公式计算，后两个因式也可利用平方差公式计算，也可以将第一个因式与第四个因式结合利用立方和公式，第二个因式与第三个因式结合利用立方差公式（2）小题类似。
参考答案：（1）解法一：（x+1）(x-1)(x2+x+1)(x2-x+1)= (x2-1)[(x2+1)2-x2]= (x2-1)(x4+2x2+1-x2)= (x2-1)(x4+x2+1)= (x2-1)[(x2)2+x2-1+12]= (x2)3-13= x6-1解法二：（x+1）(x-1)(x2+x+1)(x2-x+1)= [(x+1)(x2-x+1)[(x-1)(x2+x+1)]=（x3+1）(x3-1)= (x3)2-12= x6-1（2）解法一：（a+b）(a-b)(a2+ab+b2)(a2-ab+b2)= (a2-b2)[(a2+b2)2-(ab)2]= (a2-b2)(a4+2a2b2+b4-a2b2)= (a2-b2)(a4+a2b2+b4)= (a2)3-(b2)3= a6-b6解法二：（a+b）(a-b)(a2+ab+b2)(a2-ab+b2)= [（a+b）(a2-ab+b2)][(a-b)(a2+ab+b2)]= (a3+b3)(a3-b3)= (a3)2-(b3)2=a6-b6说明：进行整式乘法运算时，要注意观察题目的特点，统观全局，恰当地选用所学的乘法公式或用乘法法则进行计算，以上两道小题的解法中，显然解法二先运用立方和，立方差公式，再运用平方差公式，这样做既简便又不易出错。
第三阶梯[例1]（1）化简化求值：（x+2）(x2-2x+4)+(x-1)(x2+x+1)，其中（2）解方程：（2x+1）2-(x+1)(x-1)-3x(x-1)=0提示：用乘法公式进行化简参考答案：（1）（x+2）(x2-2x+4)+(x-1)(x2+x+1)= x3+8+x3-1= 2x3+7当时，（2）（2x+1）2-(x+1)(x-1)-3x(x-1)=0解：（4x2+4x+1）-(x2-1)-3x2+3x=04x2+4+1-x2+1-3x2+3x=07x=-2说明：在化简求值和解方程的过程中，如果遇到多项式的乘法，应先观察能否运用乘法公式，如果能运用，很多乘法就可直接应用公式写出结果，这充分简化了计算过程。
[例2]已知a+b=3,ab=-8,求下列各式的值。
（1）a2+b2 (2) a2-ab+b2 (3) (a-b)2 (4) a3+b3提示：由完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2,可知a2+b2=(a+b)2-2ab,利用已知条件可求出a2+b2的值，再分别代入（2），（3），（4），可求出（2），（3），（4）式的值。
注意，第（4）小题应逆用立方和公式。
参考答案：(1) a2+b2=(a+b2)-2ab=32-2×(-8)=9+16=25(2) a2-ab+b2=a2+b2-ab=25-(-8)=25+8=33(3) (a-b)2=a2-2ab+b2=a2+b2-2ab=25-2×(-8)=25+16=41(4) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=(a+b)(a2+b2-ab)=3×[25-(-8)]=3×33=99说明：灵活运用公式变形和逆用公式，这些都是常用的解题技巧。
[例3]若两个连续自然数的平方差是17，求这两个自然数的和提示：设一个自然数为x,另一个自然数为x+1，根据题意，列出方程，求出这两个自然数，进而求出它们的和参考答案：解：设这两个连续自然数是x,x+1根据题意得，(x+1)2 -x2 =17x2+2x+1-x2=172x+1=172x=16x=8∴x+1=8+1=9∴x+(x+1)=8+9=17答：这两个自然数的和是17。
说明：解方程时还可逆用平方差公式(x+1)2-x2 =（x+1+x）(x+1-x)=2x+1四、检测题A组选择题1．下列各式能用平方差公式进行计算的是（）A.（a+2）(-a-2)B.(-x-y)(y-x)C.D.(2x+y)(x-2y)2．若16x2+mxy+81y2是一个完全平方式，则m的值为（）D.±72 3．a3-27b3的一个因式是（）+3ab+9b2+3ab+9b2+b2+b24．若x+y=9,xy=16，则 x2+y2=( )填空题1、（3x+2y）=( ) = 9x2-4y22、（-1+2a）(-1-2a) =( )3、（+y）2=( )4、x2+x+( )=5、9x2-( )+49y2=(3x-7y)26、(2a+3b)(4a2-6ab+9b2) =( )7、( )(m4-m2+1)=m6+18、a2+b2=(a+b)2- ( )9、(a+b)2=(a-b)2+ ( )10、(p2-q) ( )=p6-q3B组1、计算：(1)（x+2）(x-2)(x2+4)(2)(x-y+1)(x+y-1)(3)(a+b+c)2(4)(x+3)(x-3)(x2-3x+9)(x2+3x+9)(5)(6)20222、化简求值：3、解方程：4(x-3)2-(2x+1)2=(3x+1)(1-3x)+9x2答案：A组答案：选择题1、B2、D3、A4、C填空题1、3x-2y2、1-4a23、++y24、5、42xy6、8a3+27b37、m2+18、2ab9、4ab10、p4+p2q+q2B组答案：1、(1)x4-16 (2)x2-y2+2y-1 (3) a2+2ab+b2+c2+2ac+2bc (4)x6-729 (6)408042、-393、4、。