pd; dt
pn ddnn t
•积分算子（Integral operator）：
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1 t
p
d
2、算子符号的一般运算规则。
1 .p ( a )p ( b ) x [p 2 (a b ) p a ]x b d d 2 2 x t (a b )d d a x t bx
i(t) L
e(t)
C 2 R r(t)
KCL方程
解：由图列方程
KVL方程
KVL: KCL:
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Ld(it)r(t)e(t).....1(.)... dt
C 2dd (rtt)r(R t)i(t).......2 (.)...
将（2）式两边微分，得
C 2d2 d r(2tt)R 1dd (rtt)dd (it)t.....(.3.)...
ddnnrt an1ddnnt1r1 ....a1ddrta0r bmddmm tebm1ddmm t1e1 ... b1ddetb0e
明显看出：表示方式得到简化。
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例3、由电路得到微分方程
L R 21 d id 12 i tL 1 R d d 2i1 2i tC 1 C 1((ii1 2 ii2 1))d d ff12
第二章 连续时间信号和系统的时域分析
信号分析： 任意信号f(t)分解为无穷多冲激信号的和;
信号的脉冲 分解
t
f(t)0
f()(t)d
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系统分析： 已知系统,已知系统输入,求系统输出.
e(t)
H(p)
r(t)
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时域分析方法: 以时间t为自变量的分析方法.
时域分析方法：
精确制导
雷达 通信系统 信息处理 武器控制
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一般，对于一个线性系统，其输入与输出之间关系， 总可以用下列形式的微分方程来描述：
ddnnrt an1ddnnt1r1 ....a1ddrta0r bmddmm tebm1ddmm t1e1 ... b1ddetb0e
四、用算子电路建立系统数学模型
类似电路分析中向量法 ：L j L ,
C 1 , j C
L pL , C 1 ,
pC
仅适用于正弦稳 态电路中
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例4、用算子法求系统微分方程，输出为2欧姆电阻的电流。
i1
i2
(p25p2 3)i2(t)0.5p(ft)
d d2 2it2(t)5d di2 t(t)2 3i2(t)0 .5d dft(t)
n阶常系数微分方程
e(t)
r(t)
系统
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二、电路系统数学模型的建立
列方程的基本依据： 1、元件特性约束：ＶＣＲ方程。 2、网络拓扑约束：KCL、KVL方程。
列方程的基本方法： 节点分析法和网孔电流法。
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例1：已知电路，求输出电容电压。 • 一阶系统：
电源：
us (t)
L1d d12 2 itR 1d d1itC 1i1C 1i2d d1ft L2d d22 2 itR 2d d2i tC 1i1C 1i2d d2ft
i1(t)
i2(t)
d p
dt
dn dt n
pn
t
• d
1
p
算子方程
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L 1p2i1R 1p1 iC 1i1C 1i2p1f L2p2i2R 2p2iC 1i1C 1i2p2f
电容电压： u c (t )
VCR
Ri 电阻电压：
RCduc(t) dt
KVL
RC ddcu(tt)uc(t)us(t)
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一阶常系数线性微分方程
• 二阶系统：
+
i(t)
Uc
-
***注：同一系统不同变量的系统模型具有同一性。
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例2. 对图示电路，写出激励e(t)和响应r(t)间的微分方程。
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五、传输算子（transfer operator）
e(t)
H(p)
r(t)
D(p)r(t)=N(p)e(t)
rt
Np Dp
et
传输算子
Hp
Np Dp
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例5、系统的输出为2欧姆电阻的电流，求系统的传输算子。
i1
i2
(p25p2 3)i2(t)0.5p(ft)
d d2 2it2(t)5d di2 t(t)2 3i2(t)0 .5d dft(t)
2.P1xd t xdx p dt
3.1P
p
x
t dx
[
d
t]t
d
x(t
)x()
若x()0, 则1Px＝x p
4.PxPy, 其中 P不能消去 dx＝dy 两边积分 x得 yC
dt dt
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引入算子后，可以简化系统模型的表示，如：
一般，对于一个线性系统，其输入与输出之间关系， 总可以用下列形式的微分方程来描述：
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**零输入响应的一般形式：
第一步：建立数学模型； 第二步：运用数学方法处理、运算和求解（t自变量）； 第三步：对所得的数学解给出物理解释，赋予物理意义。
2020/7/15
本章重点： 1、求系统的冲激响应； 2、用卷积积分法求零状态响应。
2020/7/15
２-１ LTI系统的数学模型与传输算子
一、系统数学模型的意义及形式
数学模型
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例6、由模拟框图H(p)
x 2
t
x1d
1 p
x1
x 3
t
x2d
1 p
x2
1 p2
x1
23
x1f(t)2x33x2 f(t)p2 x1px1
p)x2x3 p2 x1 p x1
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y(t) p1 H(p)f(t)p23p2)
将（3）代入（1）
Ld(it)r(t)e(t).......1(.)... dt
得：
d2r(t) Ld(r t)
L2Cd2t
r(t)e(t)
Rdt
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二阶常系数线性微分方程
三、 用算子符号表示微分方程
1、定义：算子作用于某一时间函数时，此时间函数将进行 算子所表示的特定运算。
•微分算子（Differential operator）：
２.2 零输入响应（zero—input response）
（The zero-input response is the system response due to initial conditions.）
Dprz it0
r0,r0, rn10
例、 d d2 2it2(t)5d di2 t(t)2 3i2(t)0 .5d dft(t)