第六章 矩阵特征值与 特征向量的计算方法
引言
A (aij ) Rnn
a 1


a

1

a
a 1


a

1

a
( a)n 0
( a)n

j
(
)

a


1 n
ei
2 j n
( j 1,2,, n)
Th1 (1)设为A的特征值，且Ax x，其中x 0；

1k (1x1 k ) max(1k (1x1 k ))
1x1 k
x1
max(1x1 k ) max(x1)
(**)
vk

Ak v0 max( Ak1v0 )

1k (1x1 k ) max(1k1(1x1 k1))
R11 QT AQ
R12 R1n
R22

R2n


Rnn
其中对角块Rii (i 1,2,, m)为一阶或二阶方阵，
且每个一阶Rii 是A的实特征值，每个二阶对角
块的两个特征值是A的一对共轭复特征值。
Def
设A Rnn为对称矩阵，x 0，称
幂法的其本思想
任取初始向量 v0 Rn


v1 v2

Av0 Av1

A2v0


vk 1

Avk

Ak 1v0

现分析 1、x1 与{vk }的关系：
Th7
(1)设A (aij ) Rnn有n个线性无关的特征向量；
(2)设A的特征值满足
| 1 || 2 | | n |
(2)设P(x) r0 r1x rm xm为任一m次多项式； 定义矩阵 P( A) r0I r1A rm Am 则：
(1) P()为P( A)的特征值，即P( A)x P()x； (2) P()且x为P( A)的特征向量。
Th2 设A与B为相似矩阵，即B P1AP，则
(3)幂法：v0 0(且1 0)
vk Avk1(k 1,2,)
(1)
lim
k
vk
1k
1x1；
则：
(2) lim (vk1)i k (vk )i
1
若A的主特征值为实的重根
| 1 || 2 | | r || r1 | | n |
三个孤立圆盘
Th4 (Schur定理)
设A Rnn，则存在酉阵U使
r11 r12 r1n
U H AU

r22
r2n


R

(上三角阵)



rnn
其中i rii (i 1,2,, n)为A的特征值。
Th5 (实Schur分解)
设A Rnn，则存在正交矩阵Q使
设A有n个线性无关的特征向量，x1, x2 ,, xn，
且Axi 1xi (i 1,2,, r) Axi i xi (i r 1,, n)
n
任取初始向量 v0 i xi (且1,,r不全为零)
由幂法有
i 1
vk Akv0
lim
k
vk

uk

vk max(vk )
改进的幂法
设u0 v0 0(1 0)
迭代：vk Auk1
k max(vk ) 规范化：uk vk / k
k 1,2,
迭代序列
v1 Au0
v2

A2v0 max(Av0 )

规范化序列
u1 u2

Av0
maxA(2Avv00 ) max( A2v0
R(x) ( Ax, x) (x, x)
为对应向量x的瑞利(Rayleigh)商。
Th6 设A Rnn为对称矩阵，其特征值为
1 2 n , 其对应的特征向量 x1, x2 ,, xn
组成规范化正交组，则
(1)ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
n

( Ax, x) (x, x)
1
(x Rn , x 0)
例：设
4 1 A 1 0
1 1
D1：| z 4 | 1 孤立圆盘
0 1
D2：| z | 2 D3：| z 4 | 2
3 1 5
4 D diag(1,1,109)
A D1AD
D1：| z 4 | 1
D2：| z | 199 D3：| z 4 | 1.8
(2)
1
max R(x) xR n
x0
(3)
n
min R(x) xR n
x0
幂法及反幂法 幂法 主特征值
A (aij ) Rnn，有一组完全的特征向量组， Axi i xi (i 1,2,, n)
{ x1, x2 ,, xn}线性无关
| 1 || 2 | | n |
(1) A与B有相同的特征值； (2) 若y是B的特征向量，则Py是A的特征向量。
Th3 (Gerschgorin圆盘定理)
(1)设A (aij )nn , 则A的每一个特征值必属于下述
某个圆盘；| aii | ri | aij | ( j 1,2,, n) ji
(2)若A的m圆盘组成并集S (连通的)且与余下的 n m个圆盘是分离的(即不相交)，则S内恰包含 m个A的特征值。特别，当S是由一个圆盘组成 且与其他n 1个圆盘是分离的(即为孤立圆盘)， 则S中精确地包含A的一个特征值。
1k

r
1k (
i 1
r
i xi
i 1
i xi

n
i
ir 1
( i 1
)k
xi
)
εk
非零向量的规范化
v u v max(v)
u0 v0 0
迭代序列
v1 Au0

vk Auk1
max(v )表示向量v 绝对值最大的分量
规范化序列
u1

v1 max(v1 )
)

（*）
vk

Ak v0 max( Ak1v0 )

uk

Ak v0 max(Akv0 )

n
v0 i xi i 1
n
Akv0 iik xi 1k (1x1 k ) i 1
k

i
n 2

i
(
i 1
)
k
xi
0
(k )
uk

Ak v0 max(Akv0 )