第五章 矩阵的特征值与特征向量
5.1矩阵的特征值与特征向量
5.1.1矩阵的特征值与特征向量的概念
设A 是n 阶矩阵，若存在数λ及非零的n 维列向量α，使得：λαα=A (0≠α)成立，则称λ是矩阵A 的特征值，称非零向量α是矩阵A 属于特征值λ的特征向量.
5.1.2矩阵的特征值与特征向量的求法
把定义公式λαα=A 改写为()0=-αλA E ,即α是齐次方程组()0=-x A E λ的非零解.根据齐次方程组有非零解的充分条件可得：0=-A E λ.
所以可以通过0=-A E λ求出所有特征值，然后对每一个特征值i
λ，分别求出齐
次方程组()0=-x A E i λ的一个基础解系，进而再求得通解.
【例5.1】求⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡------=324262423A 的特征值和特征向量.
解：根据()()0273
2
4
26
24
23
2
=+-=---=
-λλλλλλA E ，可得71=λ，22-=λ. 当7=λ时，⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡≅
⎥⎥⎥
⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-0000002124242124247A E ，
所以()07=-x A E 的一个基础解系为：()T 0,2,11-=α,()T 1,0,12-=α，则相应的特征向量为2211ααk k +，其中21,k k 是任意常数且()()0,0,21≠k k .
当2-=λ时，⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡--≅
⎥⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=--00012014152428242
52A E ，所以()02=--x A E 的一个基础解系为()T
2,1,23=α，则相应的特征向量为33αk ，其中3k 是任意常数且
03≠k .
5.1.3矩阵的特征值与特征向量的性质
(1)特征值的和等于矩阵主对角线上元素之和，特征值的积等于A ； (2)n 阶矩阵A 和T A 有相同的特征值；
(3)若λ是矩阵A 的特征值，则对任何正整数k ，k λ是k A 的特征值；
(4)属于不同特征值的特征向量是线性无关的，并且当i λ是矩阵A 的k 重特征值
时，矩阵A 属于i λ的线性无关的特征向量的个数不超过k 个.
5.2相似矩阵
5.2.1相似矩阵的概念
设A ，B 是n 阶矩阵，如存在可逆矩阵P ,使B AP P =-1,则称矩阵A 和B 相似，记为B A ~.
5.2.2相似矩阵的性质 若B A ~,则：
(1)A ，B 有相同的特征值；
证：由于A 与B 相似，所以必有可逆矩阵，使B AP P =-1，
那么()A E P A E P P A E P AP P EP P B E -=-=-=-=-----λλλλλ1
111.
所以A ，B 有相同的特征值. (2)B A ≅； (3)B A =；
(4)相似矩阵都可逆或都不可逆，当它们可逆时，它的逆矩阵一定相似； (5)T T B A ~；
(6)当C B ~时，C A ~. 5.3矩阵的相似对角化
5.3.1矩阵可相似对角化的概念
如果n 阶矩阵A 与对角矩阵Λ相似，则称A 可以相似对角化，记为Λ~A ，并称
Λ是A 的相似标准型.
5.3.2矩阵可相似对角化的性质
(1)n 阶矩阵A 可相似对角化的充要条件为： ①矩阵A 有n 个线性无关的特征向量；
②每个i k (1≥i k )重特征值i λ对应i k 个线性无关的特征向量.；
(2)设可逆矩阵()n P ααα,,,21 =，且⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢
⎢
⎣
⎡=-n AP P λλλ
2
11
，则列向量i
α是
矩阵A 属于特征值i λ的特征向量. 5.3.3实对称矩阵的特征 (1)实对称矩阵必可对角化；
(2)特征值全是实数，特征向量都是实数； (3)不同特征值的特征向量互相正交；
证：设1λ，2λ是对称矩阵A 的两个特征值，1P ，2P 是对应的特征向量,则：
111Ap P =λ，222Ap P =λ，21λλ≠.
因为A 对称，即T A A ≠，
所以()()A P A P AP P P T
T T T T T 1111111====λλ,同理A P P
T T 222=λ， 于是()21222121211P P P P AP P P P T T T T λλλ===， 所以()02121=-P P T λλ,
又因为21λλ≠,所以021=P P T
，则1P 和2P 正交.
【例5.2】设矩阵⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡---=24242221a A 的特征值有重根，试求正交矩阵Q ,使AQ Q T 为对角形.
解：()()()[]
0203322
=+--+-=-a a A E λλλλ，
由于()()()222033k a a -≠+--+λλλ，所以只能2=λ是特征重根， 于是必有2=λ使得()()020332=+--+a a λλ成立， 即：()()02033222=+--+a a ，得2-=a ， 从而得到矩阵A 的特征值221==λλ，73-=λ.
对于2=λ，由()02=-x A E ，()⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-≅⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=-0000002214424422212A E ， 所以得到线性无关的特征向量()T 0,1,21-=α，()T 1,0,22=α. 用Schmidt 正交化方法先正交化，有：
()T
0,1,211-==αβ,()()()T
5,4,25
1,,1111222=-
=ββββααβ.
再将1β，2β单位化，得：
()T 0,1,251
111-=
=
ββγ,()T 5,4,25
31222==ββγ. 对于7-=λ，由()07=--x A E ，()⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡--≅⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-------=--0001104525424522287A E ， 所以得到特征向量()T
2,2,13-=α，单位化为：()T
2,2,13
1333-==
ααγ. 那么，令()⎥⎥⎥⎥
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢
⎢⎢⎣
⎡--
==325
3503253451
3153252,,321γγγQ ， 则有⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-==-7221
AQ Q AQ Q T .。