3
3 例1 计算 3阶实矩阵 A = 2 4 和特征向量.
解 第一步
2 0 2
4 2 的全部特征值 3
计算 A 的特征多项式
λ−3 −2 f ( λ ) = λE − A = − 2 λ
−4
= (λ − 8) (λ + 1) .
2
−4 −2 −2 λ−3
4
第二步
求出特征多项式 f ( λ )的全部根 ,即 A
9
1 其解为λ1 = 1，k1 = −2；λ2 = ，k2 = 1. 4 −1 故k = −2或1时，α 是A 的特征向量。
2 1 1 1 例3.设矩阵A = 1 2 1 可逆，向量α = b 是 1 1 a 1 矩阵A∗的一个特征向量，λ是α 对应的特征值， 其中A∗是矩阵A的伴随矩阵，试求a, b和λ的值。
11
A 3+b = λ A 由此，得方程组 2 + 2b = b λ A a + b + 1 = λ
解方程组得a = 2, b = 1或b = 2。
12
2 1 1 由于 A = 1 2 1 = 3a − 2 = 4， 1 1 a 由方程组的第一个方程知， 4 特征向量α 所对应的特征值λ = = 。 3+b 3+b
8
2 1 1 T 例2.已知向量α = 1, k ,1) 是矩阵A = 1 2 1 的逆阵 （ 1 1 2 −1 A 的特征向量，试求常数k的值。（ 1991年数学5）
解：设λ是α 所属的A 的特征值，即A α = λα，
−1 −1
于是λ Aα = α，即
2 1 1 1 1 λ 1 2 1 k = k 1 1 2 1 1
1 2 1 2 1 2 4 由此得 A A α = A α, 3 3 3 3
−1 −1
3 3 1 2 所以 A α = α, 故λ = 4 4 3 −1 1 2 为矩阵 A 的一个特征值。 3
−1
16
T
= ( −1) E − A = − E − A
n
由此知 E − A = 0,即1为A的特征值。
例5.设λ = 2是非奇异矩阵A的一个特征值， 1 2 试求矩阵 A 的一个特征值。 3
−1
15
解：设α是A的对应于λ = 2的一个特征向量， 即Aα = 2α, 于是 1 2 1 2 4 A α = A ⋅ 2α = Aα = α 3 3 3 3
下面求 A − 5E .
方法一
令 g ( A) = A − 5 E , 因为A 因为 的所有特征值为 λ 1 = 1, λ 2 = −1, λ 3 = 2,
所以g ( A)的所有特征值为 g (λ 1), g (λ 2 ), g (λ 3 ),
22
∴ A − 5 E = g( A) = g (1) g ( −1) g ( 2) = −72.
∴ λ 1 , λ 2 ,⋯, λ n 就是 P −1 AP的全部特征值 .
其次求 P −1 AP属于 λ i 的特征向量 .
∵ Aα i = λ i α i , 即 (λ i E − A)α i = 0,
又 (λ i E − P −1 AP )α i = (λ i P −1 P − P −1 AP )α i
10
λ (3 + k ) = 1 由此得方程组 λ (2 + 2k ) = k
解：矩阵A 的属于特征值λ的特征向量为α，
∗
由于矩阵A可逆，故A 可逆。
∗

于是λ ≠ 0， ≠ 0，且A α = λα . A
∗
两边同时左乘矩阵A，得AA * α = λ Aα， 即Aα = A
λ
α，亦即
2 1 1 1 1 A 1 2 1 b = b 1 1 a 1 λ 1
解
(1) ∵ A2 = E ,
∴ A的特征值为 λ 1 = 1, λ 2 = −1,
故k = 8不是 A的特征值 , 从而 8 E − A可逆 . 一般地 , 对k ≠ ±1, kE − A均可逆 . ( 2)因为 λ ≠ ±1, 所以 ± 1不是 A的特征值 , 于是
1 ⋅ E − A ≠ 0, ( −1) ⋅ E − A ≠ 0.
化简求得此方程组的一 个基础解系 2 α 1 = 1 . 2
属于 λ 1 = 8的全部特征向量为 k 1α 1 ( k 1 ≠ 0为实 数 ).
6
同理对 λ 2 = λ 3 = −1, 求相应线性方程组 (λ 2 E − A) x = 0的一个基础解系 : − 4 x 1 − 2 x 2 − 4 x 3 = 0, − 2 x 1 − x 2 − 2 x 3 = 0, − 4 x − 2 x − 4 x = 0, 1 2 3 求解得此方程组的一个 基础解系 : 1 α 2 = 0 , − 1 1 α 2 = − 2 . 0
证：由题意，可设A的特征值为λ（n重）， 则 λE − A = 0.
由此可知nλ = trA
所以 nA − trAE = nA − nλE = (−n)n λE − A = 0, 即nA − trAE是奇异矩阵。
26
三、矩阵的相似及对角化
b c a 例11．设a, b, c均为复数，令A = c a b , a b c c a b a b c B = a b c ,C = b c a b c a c a b (1)证明：A, B, C 彼此相似 （2）若BC = CB，则A, B, C的特征根至少有两个等于零．
第四章 习题课
1
典 型
例 题
一、特征值与特征向量的求法 二、特征值与特征向量的应用 三、矩阵的相似及对角化 四、证明所给矩阵为正交矩阵 五、将线性无关向量组化为正 交单位向量组 六、利用正交变换将实对称 矩阵化为对角阵
2
一、特征值与特征向量的计算
的特征多项式； 第一步 计算 A 的特征多项式； 求出特征多项式的全部根， 第二步 求出特征多项式的全部根，即得 A 的全部 特征值； 特征值； 将每一个特征值代入相应的线性方程组， 第三步 将每一个特征值代入相应的线性方程组， 求出基础解系，即得该特征值的特征向量． 求出基础解系，即得该特征值的特征向量．
又 − E − A = − ( E + A) = ( −1) A + E ,
n
∴ A + E ≠ 0;
E − A = − ( A − E ) = ( −1) A − E ,
n
∴ A − E ≠ 0,
故A ± E均为可逆矩阵 .
25
例10.设n阶方阵A的n个特征值相同， 求证：nA − trAE为奇异阵。
3 2
解 利用A的行列式与特征值的重 要关系 A = λ 1 λ 2
⋯ λ n 来计算 A .
令f ( x ) = x 3 − 5 x 2 ,
因为 λ 1 , λ 2 , λ 3 是 A 的全部特征值 ,
21
B = f ( A) = f ( λ 1 ) f ( λ 2 ) f ( λ 3 )
= ( −4)( −6)( −12) = −288.
17
1 4 −6 1 2 −2 故A = 2 −4 −3 2 −2 −1 2 2 6 2 1 2
−1
7 3 1 4 −6 1 2 2 1 = 2 −4 −3 2 −2 1 = 0 9 2 2 6 −2 −1 2 − 2 3
T
( -1) E − A
T
= ( −1) A A − A
T
= ( −1) A − E A = = ( −1) E − A ( −1)
( ( −1) A − E )
T
A
14
由此得 ( −1) E − A = 0, 即 − 1是A的一个特征值。
（2）当 A = 1且n = 2k + 1时，
E − A = A A− A = A− E A = A− E
方法二
因为A 因为 的所有特征值为 λ 1 = 1, λ 2 = −1, λ 3 = 2,
所以 f A ( λ ) = λE − A = (λ − 1)(λ + 1)(λ − 2),
5 E − A = f A (5) = (5 − 1)(5 + 1)(5 − 2) = 72,
A − 5 E = ( −1) 5 E − A = −72.
的全部特征值 . 令f (λ ) = 0, 解之得 λ 1 = 8, λ 2 = λ 3 = −1, 为A的
全部特征值 .
第三步 求出 A的全部特征向量
对 λ 1 = 8, 求相应线性方程组 (λ 1 E − A) x = 0 的一个基础解系 .
5
5 x 1 − 2 x 2 − 4 x 3 = 0, − 2 x1 + 8 x 2 − 2 x 3 = 0, − 4 x − 2 x + 5 x = 0, 1 2 3
所以，当b = 1时λ = 1；当b = −2时λ = 4.
A
13
例4.设n阶方阵A满足A A = E , 试证：
T
（）当 A = −1时， 1是A的一个特征值； 1 − （2）当 A = 1, 且n = 2k + 1时， A的一个特征值。 1是 证：
（）由A A = E 及 A = −1知， 1
7
于是 A的属于 λ 2 = λ 3 = −1 的全部特征向量为 k 2α 2 + k 3α 3 , k 2 , k 3 是不全为零的实数 .