反证法在数学解题中的应用
我们在解决数学问题时，一般是从正面入手，这就是所谓的正向思维，但往往也会遇到从正面入手困难，或出现一些逻辑上的困境的情形，这时就要从辩证思维的观点出发，运用逆向思维克服思维定势的消极面，从习惯思路的反方向去分析问题，运用反证法解决问题。

一、反证法的逻辑基础
证明命题“A B”时如果用这种方法：假设A∧B为真，在A且B的条件下，合乎逻辑地推出一个矛盾的结果(不论是与A矛盾还是与其他已知正确的结论矛盾或自相矛盾)，从而B成立(即A B成立)，这种方法就是反证法。

二、反证法的解题步骤
第一步审题，弄清命题的前提和结论；
第二步否定原命题，由假设条件及原命题构成推理的基础；
第三步由假设出发，根据公理、定义、定理、公式及命题的条件，正确逻辑推理，导出逻辑矛盾；
第四步肯定原命题的正确性。

三、什么情况下考虑应用反证法
1待证命题的结论是唯一存在性命题
例1设方程x=p sin x+a有实根(0＜p＜1，a是实数)，求证实根唯一。

证明：假设方程存在两个不同实根x1，x2，则有
x1=p sin x1+a，x2=p sin x2+a
x1－x2=p sin x1－sin x2=2p cos x1+x22sin x1－x22
由于cos x1+x22│≤1，从而有│x1－x2│≤2p│sin x1－x22│又sin x1－x22≤x1－x22，故x1－x2≤p x1－x2，但x1≠x2，于是p≥1，与0＜p＜1矛盾。

所以方程若有实根，则根唯一。

2采取直接证法，无适宜的定理作为根据，甚至无法证明。

例2已知A、B、C、D是空间的四点，ABGN CD是导向直线，求证AC和BD、AD和BC也都是异面直线。

分析：证AC和BD是异面直线，即证明AC和BD不在同一平面内，考虑反证法。

证明：假定AC和BD不是异面直线，那么AC和BD在同一平面内，因此A、B、C、D不是异面直线，这与已知条件矛盾。

所以AC和BD是异面直线。

3待证命理的结论是以“至少存在”的形式出现的，“至少存在”的反面是“必定不存在”，所以只要证明“必定不存在”不成立即可。

例3设p1p2=2(q1+q2)求证方程x2+p1x+q1=ox2+p2x+q2=0中至少有一个方程有实根。

证明：假设两方程都无实根，则
p12－4q1＜0，p22－4q2＜0，两式相加，有p21+p22＜4(q1+q2)(1)
而p1p2=2(q1+q2)代入(1)得p21+p22＜2p1p2，这与p21+p22≥2p1p2矛盾。

故假设不成立，原命题正确。

4待正命题含有涉及各种“无限形式”的结论，由于中学没有直接证明“无限”的手段。

而结论的反面却是“有限”，故常常借助于反证法。

例4证明实数lg3是无理数。

证明：假设lg3是有理数。

则它可以表示成lg3=mn(m，n是互质的正整数，由对数的定义，得10=3″)。

但10是偶数，而3″是奇数，矛盾。

因此实数lg3是无理数。

5待证命题的结论是以否定形式出现的，而否定的对象又是具体的，则结论的反面是肯定判断。

四、反证法的应用
1在代数中的应用
例5设x为任一实数证明：x，2x，…，nx中必有一个数，它与某整数之差的绝对值不大于1n+1。

分析：如果能够证明x，2x，…，nx中的每个数与某整数之差的绝对值的和不大于1n+1。

则x，2x，…，nx中必有一个数，它与某整数之差的绝对值不大于1n+1。

但由于某整数不确定要么是［ix］，或者是［ix］+1，对于这些差的绝对值求和要是分类讨论情况太多，直接处理不太好入手，不妨考虑反证法。

证明略。

2在数论中的应用
例6已知p是一个三位数，且是质数，又p的百位数是a，十位数是b，个位数是c。

证明：关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0无整数解。

分析：若用一元二次方程的求根公式－b±b2－4ac2a验证该式不是整数，已知条件不好用；若直接验证，将所有的三位质数罗列出来，太麻烦。

可考虑用反证法。

证明略。

3在几何中的应用
例7平面上有n(n≥3)个点，若经过其中任意两个点的直线必过这n个点中的第三个点，则这n个点都在同一条直线上。

分析：直接利用条件不知如何建构解题思路，若换个角度，用反证法，在有了n个点不共线这个条件以后，情况就大不一样了。

反证法的难点在于提出与结论相反的假设后，如何合理地展开思路。

“特殊化”有时是反证法得以成功的一个重要突破口。

五、反证法中常用手法
1特殊位置
(1)极端位置
例8能否在平面上放置2008条线段，使得每一条线段的端点都严格地位于其他线段的内部？
证明：假设可以放置2008条线段，使得它们的4016个端点全部严格地位于其他线段的内部，现取一定点O，并找出4016个端点中离点O最远的点A，于是，平面上再没有比点A到点O的距了更远的点了，由于点A严格位于另一线段BC内部，从而，点A是的边OBC的边BC上的点，故OA＜max{OB，OC}与点A是离O最远的点矛盾，故平面上不能放置满足题目要求的2008条线段。

(2)典型位置
例9将正整数1至100随意填入10×10的方格表中，且生个方格填一个数。

证明：必有某两个相邻方格(即具有公共边的方格)中所填数字之差不小于6。

证明：假设可以找到一种填法使每两个相邻方格中所填数字之差都不超过5，观察与1在同一行、与100在同一列的方格内的数字a，由于a与1之间至多间隔8个方格，故a≤100－9×5=46①
又a与100之间也于多间隔8个方格，故a≥100－9×5=55与式①矛盾，从而原命题成立。

2特殊值特殊的数字，个性化的特征，看似偶然，却蕴含着正确解释。

例10设f(x)、g(x)是［0，1］上的函数。

证明：存在x0、y0∈［0，1］，使得x0y0－f(x0)－g(y0)≥14
分析：要找出具体的x0、y0，难以下手，不妨考虑用反证法。

证明：设这样的x0、y0不存在，取特殊值x0=0，y0=0，得f(0)+g(0)＜14
同理，f(0)+g(1)＜14，f(1)+g(0)＜14，1－f(1)+g(1)＜14
故1=〔1－f(1)－g(1)〕+〔f(1)+g(0)〕+〔f(0)+g(1)〕－〔f(0)+g(0)〕＜14+14+14+14=1这不可能，故原命题成立。

3特殊运算相对独立的某些对象各有各的特点，不足以发现问题的本质，而通过特殊运算使之形成一个整体，矛盾便暴露无遗了，如求和、求积、求商等。

例11今有有限个砝码，它们的总重量是1kg，将它们分别编号为1，2，…，证明：从这有限个的砝码中必可找出一个编号为n的砝码，它的重量大于12n kg
证明：假设不存在这样一个编号n，使得相应的砝码重量f(n)＞12n，假设共有m个砝码，m＞0，从而，有f(1)≤12，f(1)≤122，…，f(1)≤12m
累加求和得：1=f(1)+f(2)+L+f(m)≤1－12m矛盾。

因此，所证命题成立。

4特殊图形图形是文字语言与符号语言的一种直观反映，而特殊图形所蕴含的直观特征，往往有助于对解题方向作出正确而迅捷的判断，如特殊点、特殊三角形、特殊四边形等。

例12空间中给出了8个已知点，其中任意四点都不共面，现知以它们为端点连有17条线段。

求证：这些线段至少形成了一个三角形。

分析：无法具体找出一个三角形，因此从反面来考虑为宜。

证明：假设这17条线段都没有形成三角形，并设点A是这8个点中连出线段条数最多的点，令从点A共连出n 条线段：AB1，AB2，…，AB n，于是，在B1，B2，…，B n中的任意两点之间都没有线段相连(否则，易发现，它们就会形成三角形)。

这样一来，即使其余的7－n个点中的每个点也都连出了n条线段，但线段的总条数为n+(7－n)n=n(8－n)≤(n+8－n2)2=16，其最在值仅为16，与已知条件的17条相矛盾。

因此，这些线段至少形成了一个三角形。

［参考文献］
［1］陈凤仁：《谈谈反证法》，《大庆高等专科学校学报》2000年第4期。

［2］王明魁：《浅谈反证法》，《开封教育学院学报》1988年第1期。

［3］吴玮：《高等数学中反证法的证题技巧》，《青岛远洋船员学院学报》2000年第2期。