论文编码：O1-0摘要反证法是数学证明方法中很重要的一部分，本文主要介绍了反证法再出等数学中的应用。

首先阐述反证法的概念、逻辑根据和一般步骤。

然后讨论了反正法的适用范围，这也是本文的重点内容，任何一种方法都要以应用为首要任务，我们学习它、了解它、掌握它，学会用反证法解决更多的实际问题才是我们的目的。

其次研究了反证法的教学，反证法的这种数学思想在课堂教学中的渗透是很有必要的。

最后讨论了应用反证法应注意的问题，真正用好反证法并非一件易事，所以我们的研究学习是很有必要的。

关键词：反证法逻辑基础教学方法适用范围；AbstractApagoge is an important part of math demonstration.This article introduces the application of Apagoge in elementary math.First,expounds the Apagoge's concept,logic ground and the general steps.Next,discusses the range of application,which is highlighted.Whatever methods we use,we should base on application.So we must study the method and use it to help us solve many practical problem.Then,studies how to teach the Apagoge's thinking into people's minds in the st,talks about the problem which should pay attention to in Apagoge's application.It is difficult to make a good use of the Apagoge,so we are supposed to study continuously.Keywords：Apagoge ;Logical basis;Teaching methods; Scope;目录第 1 章反证法概解1.1反证法的由来 (3)1.2 反证法的定义 (3)1.3 反证法的逻辑基础 (3)1.3.1 反证法的出发点 (3)1.3.2 反证法的推理过程 (4)1.3.3 反证法的逻辑基础 (4)1.4 反证法的分类 (4)第 2 章反证法在中学数学的适用范围以及例题2.1 基本定理或初始命题的证明 (6)2.2 否定性命题 (6)2.3 关于唯一性、存在性、至多至少命题 (6)2.4 无穷型命题 (8)第 3 章应用反证法应注意的问题3.1 反设要正确 (9)3.2 明确推理特点 (9)3.3 善于灵活运用 (9)第 4 章反证法的教学价值及建议4.1 反证法的教学价值 (10)4.2 反证法的教学建议 (11)第 5 章总结致谢 (14)参考文献 (15)前言世界上任何一个生命的诞生就不由自主的与数学有了扯不清的关系，有可能成为学习的主体、还有可能变成被统计的对象。

数学反证法是非常常见的数学证明方法之一。

在证明一个命题的时候，从命题结论的反面入手，先假设结论的反面成立，通过一系列正确的结论推理导出与已知条件、已知公理、定理、定义之一相矛盾的结果或者两个相矛盾的结果，肯定了‘结论反面成立’的假设是错误的，从而达到了证明结论正确的目的，这就是反证法。

反证法的优势在于把要证明的结论当做已知条件，在我们证明过程中冥冥中就多了一个条件。

显而易见的，一道证明题，当我们无法从正面入手的时候反证法就发挥出了它天生的威力。

反证法不但在初等数学中有着广泛的应用，而且在高等数学中也具有特殊作用。

数学中的一些重要结论，从最基本的性质、定理，到某些难度较大的世界名题，往往是用反证法证明的。

反证法的美在于它思考问题的方式，对于任何一个没接触的人来说这种方法是非常巧妙的。

第 1 章反证法概解1.1反证法的由来反证法顾名思义是一种证明方法，在数学和逻辑上是统一的。

早期古希腊的数学在毕达哥拉斯学派的影响下认为万物皆数，用整数和几何图形构建了一个宇宙图式。

万物皆数这个思想当时在数学家的脑海里是根深蒂固的。

随着2的出现，希腊人渐渐开始重新审视他们的数学，图形和直观并不是万能的，推理和逻辑走上了数学的舞台。

此时西方数学成为以证明为主的证明数学,他们要的是准确的数学,或者说他们的数学推崇准确性。

表现形式就是:逻辑、演绎的体系。

可见它是指证明的数学与算的数学正好相反。

希腊人重视逻辑和演绎的证明，反证法最早应用在欧几里得的《几何原本》中。

法国数学家J·阿达玛在其所著《初等数学教程》（平面几何卷）中作了最准确、最简明扼要、最精辟的描述：“反证法在于表明，若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾”。

反证法作为一种最重要且基本的数学证明方法，在数学命题的证明中被广泛应用。

欧几里得证明“素数有无穷多”的结论，欧多克斯证明“两个正多边形的面积比等于其对应线段比的平方”的结论，“最优化原理”的证明，伽利略推翻“不同重量的物体从高空下落的速度与其重量成正比”的断言，“上帝并非全能”的证明，都用了反证法。

在我们自身学习的各个阶段，反证法一直伴随着我们。

1.2 反证法的定义反证法有多种不同的描述，其本质都是一样的。

最早的法国数学家J·阿达玛在其所著《初等数学教程》（平面几何卷）中作了如下的描述：“反证法在于表明，若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾”。

维基百科中这样描述“反证法()又称归谬法、被理法是一种论证方式，他首先假设某命题不成立即在原命题的条件下，结论不成立，然后推理出明显矛盾的结果，从而下结论说原假设不成立，原命题成立。

反证法从属于间接证明法的范畴，是从反面考虑问题的证明方法，既方便又实用。

1.3 反证法的逻辑基础反证法是一种简单却又行之有效的证明方法，从其创立至今就一直被广泛应用。

它的优点是，即使不知道怎样直接证明，也能辨别该命题的真伪。

最基本得事实便是，一个命题的反命题导致了矛盾，则原命题是正确的。

1.3.1 反证法的出发点第一步就是要否定论题，构造与原论题具备矛盾关系的矛盾论题。

然后从矛盾论题q→出发。

p→，或pqp∧出发，进行推理。

而不是从q，或qp→，或q1.3.2 反证法的推理过程反证法的推理过程，必须保证是合乎逻辑的，并且要用否定的结论q 作为推理的前提依据，否则便不会倒出矛盾。

另外，还必须要求题设p 作为真命题，在推理过程中作为前提使用，或者与推理结果相矛盾而发生作用。

综上反证法即指从“题设p 与假设q ”出发，推出结果记为r ，或者写成“r q p →∧”成立，r 可以是与公理、定义、已证明的定理或当作真命题题设p 相矛盾；r 也可以本身包含两个结果互相矛盾。

1.3.3反证法的逻辑基础反证法由导出矛盾“r r ∧”，而判定矛盾论题“q p ∧”不成立，从而肯定论题q p →正确。

其逻辑依据是形式逻辑中的两个基本规律——矛盾律和排中律。

矛盾律的内容是在同一推理过程中，成矛盾关系或反对关系的两个判断不能同真，必有一假。

若已知其中一个为真，则可判断另一个必假。

所谓推出“矛盾”是指推出结果r 与已知真命题之间的矛盾，这时r 与已知真命题之间成立是矛盾关系或反对关系，故根据矛盾律必有r 假。

由“q p ∧”和“r 假”这两个真判断出发，可推出q p ∧假。

排中律的内容是在同一推理过程中，成矛盾关系的两个判断，不能同为假，必有一真。

若已知其中一个为假，则必有q p →为真。

这里，我们指出论题q p →和反论题q p ∧、假设q 和结论q 间的矛盾 ，导出结果r 和真命题间的矛盾()包含的两个结果相矛盾或r 是有区别的。

原因在于作出假设q 与推出结果r 的目的不同，为达到论证目的所根据的逻辑规律——矛盾律与排中律的适用范围也不尽相同。

矛盾律对矛盾关系和反对关系的判断都适用，所以结果r 与已知真命题既可以是矛盾关系，也可以是反对关系，推出与已知真命题相矛盾的结果r ，就是为了依据矛盾律由已知真命题断定r 为假，从而达到矛盾论题q p ∧为假。

排中律只使用于具有矛盾关系的判断，所做出的假设q 与结论q ，反论题q p ∧与论题q p →只能是矛盾关系，借依排中律由q p ∧假推q p ∧真。

1.4 反证法的分类⎩⎨⎧穷举法归谬法反证法 1.4.1 归谬法若命题的反面只有一种情形，则只需把这一种情形驳倒，便可达到反正的目的。

例 1 两条直线同时平行于第三条直线，则原两条直线互相平行。

已知：EF CD EF AB //,//,求证：.//CD AB 现用反证法予以证明。

图1.4.1A FEC D B假设AB 与CD 不平行，则{}()，义利用平行定义的反面意P CD AB =⋂()EF AP EF AB ////即 、()()，题设即EF CP EF CD ////()。

平行公理矛盾平行。

但这与平行公理点有两条不同的直线与过EF P ∴临时假设CD AB 不平行()矛盾律。

故()排中律CD AB //。

1.4.2 穷举法若命题题段反面不止一种情况，则必须将其逐一驳倒，才能间接证明梯段的正面成立。

这就叫穷举反正。

例 2 若,121≥>x x 则有.21n n x x > 证明：假若不然，则有(),12121x x x x n n =⇒=与题设矛盾；(),22121x x x x n n <⇒<与题设矛盾。

因此，.21n n x x >第 2 章 反证法在中学数学的适用范围以及例题在上一章中我们主要介绍了一些反证法的概念，对于反正法的定义、历史及逻辑基础有了一定的了解，反证法这种间接证明方法理论上可以用于证明任何题目，但是它像直接证明一样总有局限性，在这一章中我们主要介绍常用反证法的几类题目。

2.1 基本定理或初始命题的证明在各数学分支中，按照公理化方法最初建立的是不多的定义、公理，某些基本定理或初始命题难以找到直接证明的论据，在这种情况下，反证法是我们的首选。

例 1 求证：在一个三角形中，不能有两个角 是钝角.证明：已知C B A ∠∠∠、、是三角形ABC 的 三个内角.（如图1）求证：C B A ∠∠∠、、中不能有两个钝角.证明：假如C B A ∠∠∠、、 中有两个钝角，不妨设︒︒>∠>∠90,90B A 且，则︒>∠+∠+∠180C B A .这与“三角形内角和为︒180”这一定理相矛盾.故B A ∠∠,均大于︒90不成立.所以，一个三角形不可能有两个钝角.2.2 否定性命题结论以“没有……”、“不是……”、“不能……”等形式出现的命题，直接证法不容易入手，反证法可以发挥它的作用。