2015-2016学年四川省乐山市峨眉山市博睿特外国语学校九年级（下）周考数学试卷（4）一．填空题1．已知x为实数，且满足（x2+3x）2+2（x2+3x）﹣3=0，那么x2+3x= ．2．已知=k，a+b+c≠0，则y=kx+b的图象一定经过第象限．3．已知锐角α满足关系式2sin2α﹣9sinα+4=0，则sinα的值为．4．如果关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是．5．某山路的路面坡度为i=0.5，沿此山路向上前进100米，升高了米．6．直线y=kx+6与y轴相交所成的锐角的正切值为，则k= ．7．如图，∠B=∠ACD=90°，AB=4，AC=5，当AD= 时，这两个直角三角形相似．8．为抵御百年不遇的洪水，某市政府决定将1200m长的大堤的迎水坡面铺石加固，堤高DF=4m，堤面加宽2m，则完成这一工程需要的石方数为m3．9．如图，已知AD是等腰△ABC底边上的高，且tanB=．AC上有一点E，满足AE：CE=2：3．那么tan∠ADE的值是．10．设△ABC的重心为G，且AG=6，BG=8，CG=10．则S△ABC= ．二．解答题11．计算：（﹣8）0+（）﹣1++|1﹣tan60°|．12．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．M为AD中点，连接CM交BD于点N，且ON=1．（1）求BD的长；（2）若△DCN的面积为2，求四边形ABNM的面积．13．已知：关于x的方程x2﹣（k+1）+k2+1=0的两根是一个矩形两邻边的长．（1）k取何值时，方程有两个实数根；（2）当矩形的对角线长为时，求k的值；（3）当k为何值时，矩形变为正方形？14．一艘渔船在A处观测到东北方向有一小岛C，已知小岛C周围4.8海里范围内是水产养殖场．渔船沿北偏东30°方向航行10海里到达B处，在B处测得小岛C在北偏东60°方向，这时渔船改变航线向正东（即BD）方向航行，这艘渔船是否有进入养殖场的危险？15．如图1，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC=∠AGF=90°，它们的斜边长为2，若△ABC固定不动，△AFG绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E（点D不与点B重合，点E不与点C重合）．设BE=m，CD=n．（1）求证：△ABE∽△DCA；（2）求m与n的函数关系式，直接写出自变量n的取值范围；（3）以△ABC的斜边BC所在的直线为x轴，BC边上的高所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系（如图2）．在边BC上找一点D，使BD=CE，求出D点的坐标，并通过计算验证BD+CE=DE．16．如图①，矩形ABCD被对角线AC分为两个直角三角形，AB=4，BC=8，现将Rt△ADC绕点C顺时针旋转，点A旋转后的位置为点M，点D旋转后的位置为点N，以C为原点，以BC所在直线为x轴，以过点C垂直于BC的直线为y轴，建立如图②的平面直角坐标系．（1）求直线AM的解析式；（2）将Rt△MNC沿轴的负方向平行移动，如图③，设OC=x（0＜x≤12），Rt△MNC与Rt△ABO的重叠部分面积为S；①当x=2，与x=10时，求S的值；②求S与x之间的函数关系式．2015-2016学年四川省乐山市峨眉山市博睿特外国语学校九年级（下）周考数学试卷（4）参考答案与试题解析一．填空题1．已知x为实数，且满足（x2+3x）2+2（x2+3x）﹣3=0，那么x2+3x= 1 ．【考点】换元法解一元二次方程．【分析】设x2+3x=y，方程变形后，求出解得到y的值，即可确定出x2+3x的值．【解答】解：设x2+3x=y，方程变形得：y2+2y﹣3=0，即（y﹣1）（y+3）=0，解得：y=1或y=﹣3，即x2+3x=1或x2+3x=﹣3（无解），故答案为：1．【点评】此题考查了换元法解一元二次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．2．已知=k，a+b+c≠0，则y=kx+b的图象一定经过第一、三象限．【考点】一次函数图象与系数的关系．【分析】根据比例的性质得=k==，由于k＞0，根据一次函数与系数的关系即可得到图象一定经过第一、三象限．【解答】解：∵ =k，a+b+c≠0，∴=k==，∴一次函数为y=x+b，∴一次函数y=x+b的图象一定经过第一、三象限．故答案为一、三．【点评】本题考查了一次函数与系数的关系：直线y=kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．当k＞0，b＞0⇔y=kx+b的图象在一、二、三象限；k＞0，b＜0⇔y=kx+b的图象在一、三、四象限；k＜0，b＞0⇔y=kx+b的图象在一、二、四象限；k ＜0，b＜0⇔y=kx+b的图象在二、三、四象限．3．已知锐角α满足关系式2sin2α﹣9sinα+4=0，则sinα的值为．【考点】解一元二次方程-因式分解法；锐角三角函数的定义．【分析】把2sin2α﹣9sinα+4=0看作关于sinα的一元二次方程，利用因式分解法解方程得到sinα=或sinα=4，然后根据锐角三角函数的定义确定sinα的值．【解答】解：（2sinα﹣1）（sinα﹣4）=0，2sinα﹣1=0或sinα﹣4=0，解得sinα=或sinα=4（不合题意舍去），所以sinα=．故答案为．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了锐角三角函数．4．如果关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是m ≥0，m≠2 ．【考点】根的判别式．【分析】若一元二次方程有两不等实数根，则根的判别式△=b2﹣4ac≥0，建立关m的不等式，求出m的取值范围．还要注意二次项系数不为0．【解答】解：∵关于x的一元二次方程有实数根，∴△=b2﹣4ac=16m﹣8（m﹣2）≥0，解之得m≥﹣2，且m≠2，m≥0，∴m≥0，m≠2，故答案为：m≥0，m≠2．【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．5．某山路的路面坡度为i=0.5，沿此山路向上前进100米，升高了20米．【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【分析】设出垂直高度，表示出水平宽度，利用勾股定理求解即可．【解答】解：如图：AC=100，AB：BC=1：2，根据勾股定理得：AB2+BC2=AC2，即AB2+（2AB）2=1002，∴AB=20，故答案为：20．【点评】本题主要考查坡度的定义和解直角三角形的应用，注意画出示意图会使问题具体化．6．直线y=kx+6与y轴相交所成的锐角的正切值为，则k= ±．【考点】一次函数图象上点的坐标特征；锐角三角函数的定义．【分析】设直线与x轴、y轴的交点为A、B，可求得A、B的坐标，在Rt△AOB中，由三角函数可得到关于k的方程，可求得k的值．【解答】解：如图，设直线y=kx+6与x轴、y轴的交点为A、B，令y=0可得kx+6=0，解x=﹣，令x=0可得y=6，∴A（﹣，0），B（0，6），∴OA=||，OB=6，在Rt△AOB中，tan∠ABO=，∴=，解得k=±，故答案为：±．【点评】本题主要考查函数图象与坐标轴的交点，利用k表示出三角函数值是解题的关键．7．如图，∠B=∠ACD=90°，AB=4，AC=5，当AD= 或时，这两个直角三角形相似．【考点】相似三角形的判定．【分析】先利用勾股定理计算出BC=3，再分类讨论：由于∠B=∠ACD=90°，则根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，当AB：CD=BC：AC时，△ABC∽△DCA；当AB：AC=BC：CD时，△ABC∽△ACD，然后分别利用比例性质求出CD，再利用勾股定理计算对应的AD的长．【解答】解：在Rt△ABC中，BC==3，∵∠B=∠ACD=90°，∴当AB：CD=BC：AC时，△ABC∽△DCA，即4：CD=3：5，解得CD=，此时AD==；当AB：AC=BC：CD时，△ABC∽△ACD，即4：5=3：CD，解得CD=，此时AD==；综上所述，当AD=或时，这两个直角三角形相似．故答案为或．【点评】本题考查了相似三角形判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；注意利用对应边的变换进行分类讨论．8．为抵御百年不遇的洪水，某市政府决定将1200m长的大堤的迎水坡面铺石加固，堤高DF=4m，堤面加宽2m，则完成这一工程需要的石方数为144000 m3．【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【分析】由题意可知，要求的石方数其实就是横截面为ABCD的立方体的体积．那么求出四边形ABCD的面积即可．【解答】解：∵Rt△BFD中，∠DBF的坡度为1：2，∴BF=2DF=8，∴S△BDF=BF×FD÷2=16．∵Rt△ACE中，∠A的坡度为1：2.5，∴CE：AE=1：2.5，CE=DF=4，AE=10．S梯形AFDC=（AE+EF+CD）×DF÷2=28．∴S四边形ABCD=S梯形AFDC﹣S△BFD=12．那么所需的石方数应该是12×12000=144000（立方米），故答案为：144000．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，掌握坡度的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．9．如图，已知AD是等腰△ABC底边上的高，且tanB=．AC上有一点E，满足AE：CE=2：3．那么tan∠ADE的值是．【考点】解直角三角形．【分析】作EF⊥AD于F，根据等腰三角形的性质得∠B=∠C，则tanC==，设AD=3t，DC=4t，利用勾股定理计算出AC=5t，由AE：CE=2：3得AE=2t，然后利用EF∥CD得到△AEF ∽△ACD，根据相似比可得到AF=t，EF=t，则FD=AD﹣AF=t，在Rt△DEF中，根据正切的定义得到tan∠FDE==，所以tan∠ADE=．【解答】解：作EF⊥AD于F，如图，∵△ABC为等腰三角形，AD为高，∴∠B=∠C，∴tanC==设AD=3t，DC=4t，∴AC==5t，而AE：CE=2：3，∴AE=2t，∵EF∥CD，∴△AEF∽△ACD，∴==，即==，∴AF=t，EF=t，∴FD=AD﹣AF=t，在Rt△DEF中，tan∠FDE===∴tan∠ADE=．故答案为．【点评】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也考查了三角形相似的判定与性质．10．设△ABC的重心为G，且AG=6，BG=8，CG=10．则S△ABC= 72 ．【考点】三角形的重心．【分析】延长AG到G'，与BC相交于D，使DG=DG′，则△BDG≌△CDG′，所以CG'=BG=8，根据重心的性质可求得DG=DG′=3，则GG'=6，又CG=10，所以△CGG'是直角三角形，并可求得其面积，从而得出△BGC的面积，即可求得△ABC的面积．【解答】解：延长AG到G'，与BC相交于D，使DG=DG′，则△BDG≌△CDG′，∴CG'=BG=8，∵DG=AG=3，∴DG=DG′=3，∴GG'=6，∵CG=10，∴△CGG'是直角三角形，∴S△GBC=S△CGG′=×8×6=24，∴S△ABC=3S△GBC=72．故选C．【点评】此题考查了三角形重心的性质与全等三角形的判定与性质，以及三角形面积问题的求解等知识．此题难度适中，解题时要注意数形结合思想的应用．二．解答题11．计算：（﹣8）0+（）﹣1++|1﹣tan60°|．【考点】二次根式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．【分析】根据零指数幂、负整数指数幂和特殊角的三角函数值得到原式=1+3++1﹣（1﹣），然后去括号合并即可．【解答】解：原式=1+3++1﹣（1﹣）=1+3++1﹣1+=2+4．【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了零指数幂、负整数指数幂和特殊角的三角函数值．12．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．M为AD中点，连接CM交BD 于点N，且ON=1．（1）求BD的长；（2）若△DCN的面积为2，求四边形ABNM的面积．【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【分析】（1）由四边形ABCD为平行四边形，得到对边平行且相等，且对角线互相平分，根据两直线平行内错角相等得到两对角相等，进而确定出三角形MND与三角形CNB相似，由相似得比例，得到DN：BN=1：2，设OB=OD=x，表示出BN与DN，求出x的值，即可确定出BD 的长；（2）由相似三角形相似比为1：2，得到CN=2MN，BN=2DN．已知△DCN的面积，则由线段之比，得到△MND与△CNB的面积，从而得到S△ABD=S△BCD=S△BCN+S△CND，最后由S四边形ABNM=S△ABD﹣S△求解．MND【解答】解：（1）∵平行四边形ABCD，∴AD∥BC，AD=BC，OB=OD，∴∠DMN=∠BCN，∠MDN=∠NBC，∴△MND∽△CNB，∴=，∵M为AD中点，∴MD=AD=BC，即=，∴=，即BN=2DN，设OB=OD=x，则有BD=2x，BN=OB+ON=x+1，DN=x﹣1，∴x+1=2（x﹣1），解得：x=3，∴BD=2x=6；（2）∵△MND∽△CNB，且相似比为1：2，∴MN：CN=DN：BN=1：2，∴S△MND=S△CND=1，S△BNC=2S△CND=4．∴S△ABD=S△BCD=S△BCN+S△CND=4+2=6∴S四边形ABNM=S△ABD﹣S△MND=6﹣1=5．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．13．已知：关于x的方程x2﹣（k+1）+k2+1=0的两根是一个矩形两邻边的长．（1）k取何值时，方程有两个实数根；（2）当矩形的对角线长为时，求k的值；（3）当k为何值时，矩形变为正方形？【考点】根的判别式；正方形的判定．【分析】（1）根据根的判别式找出△=2k﹣3，结合方程有两个实数根即可得出关于k的一元一次不等式，解不等式即可得出k的取值范围；（2）设方程x2﹣（k+1）+k2+1=0的两根分别为a、b，由根与系数的关系即可得出a+b=k+1、ab=k2+1，再根据a2+b2=5即可得出关于k的一元二次方程，解方程即可求出k的值，结合（1）的结论即可确定k值；（3）当矩形变为正方形时，方程的两根相等，即△=2k﹣3=0，解方程即可得出k的值．【解答】解：（1）△=[﹣（k+1）]2﹣4×1×（k2+1）=2k﹣3，∵方程有两个实数根，∴△≥0，即2k﹣3≥0，解得：k≥，∴当k≥时，方程有两个实数根．（2）设方程x2﹣（k+1）+k2+1=0的两根分别为a、b，则a+b=k+1，ab=k2+1，∵矩形的对角线长为，即a2+b2=5，∴a2+b2=（a+b）2﹣2ab=（k+1）2﹣2×（k2+1）=5，整理得：k2+4k﹣12=0，解得：k=2或k=﹣6（舍去）．∴当矩形的对角线长为时，k的值为2．（3）当矩形为正方形时，方程两根相等，∴△=2k﹣3=0，解得：k=．∴当k为时，矩形变为正方形．【点评】本题考查了根的判别式、根与系数的关系以及正方形的性质，解题的关键是：（1）根据根的判别式得出关于k的一元一次不等式；（2）结合根与系数的关系得出关于k的一元二次方程；（3）结合正方形的性质得出关于k的一元一次方程．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的个数结合根的判别式找出方程（或不等式）是关键．14．一艘渔船在A处观测到东北方向有一小岛C，已知小岛C周围4.8海里范围内是水产养殖场．渔船沿北偏东30°方向航行10海里到达B处，在B处测得小岛C在北偏东60°方向，这时渔船改变航线向正东（即BD）方向航行，这艘渔船是否有进入养殖场的危险？【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．【分析】过点B作BM⊥AH于M，过点C作CN⊥AH于N，利用直角三角形的性质求得CK的长，若CK＞4.8则没有进入养殖场的危险，否则有危险．【解答】解：解法一，过点B作BM⊥AH于M，∴BM∥AF．∴∠ABM=∠BAF=30°在△BAM中，AM=AB=5，BM=5过点C作CN⊥AH于N，交BD于K在Rt△BCK中，∠CBK=90°﹣60°=30°设CK=x，则BK=x在Rt△ACN中，∵在A处观测到东北方向有一小岛C，∴∠CAN=45°，∴AN=NC．∴AM+MN=CK+KN又NM=BK，BM=KN∴x+5=5+x．解得x=5∵5海里＞4.8海里，∴渔船没有进入养殖场的危险答：这艘渔船没有进入养殖场危险；解法二，过点C作CE⊥BD，垂足为E，如图：∴CE∥GB∥FA．∴∠BCE=∠GBC=60°，∠ACE=∠FAC=45°∴∠BCA=∠BCE﹣∠ACE=60°﹣45°=15°又∠BAC=∠FAC﹣∠FAB=45°﹣30°=15°∴∠BCA=∠BAC，∴BC=AB=10在Rt△BCE中，CE=BCcos∠BCE=BCcos60°=10×=5（海里）∵5海里＞4.8海里，∴渔船没有进入养殖场的危险答：这艘渔船没有进入养殖场的危险．【点评】解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．15．如图1，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC=∠AGF=90°，它们的斜边长为2，若△ABC固定不动，△AFG绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E（点D不与点B重合，点E不与点C重合）．设BE=m，CD=n．（1）求证：△ABE∽△DCA；（2）求m与n的函数关系式，直接写出自变量n的取值范围；（3）以△ABC的斜边BC所在的直线为x轴，BC边上的高所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系（如图2）．在边BC上找一点D，使BD=CE，求出D点的坐标，并通过计算验证BD+CE=DE．【考点】相似形综合题．【分析】（1）∠BAE=∠BAD+45°，∠CDA=∠BAD+45°得∠BAE=∠CDA，可证明△ABE∽△DCA；（2）由△ABE∽△DCA，得=，由题意可知CA=BA=，则=，从而得出m=．进而得出自变量n的取值范围为1＜n＜2；（3）由BD=CE可得BE=CD，即m=n，再根据m=，得m=n=．可求得点D坐标为（1﹣，0）得出BD，DE，由BD+CE=2BD，得CE的长，从而得出BD+CE=DE．【解答】（1）证明：在△ABE和△DCA中，∵∠BAE=∠BAD+45°，∠CDA=∠BAD+45°．∴∠BAE=∠CDA．又∵∠B=∠C=45°∴△ABE∽△DCA．（2）解：∵△ABE∽△DCA，∴=．由题意可知CA=BA=，∴=，∴m=．自变量n的取值范围为1＜n＜2．（3）解：由BD=CE可得BE=CD，即m=n∵m=，∴m=n=．∵OB=OC=BC=1，∴OE=OD=﹣1，∴D（1﹣，0）．∴BD=OB﹣OD=1﹣（﹣1）=2﹣=CE，DE=BC﹣2BD=2﹣2（2﹣）=2﹣2．∵BD+CE=2BD=2（2﹣）=12﹣8，∴CE=（2﹣2）=12﹣8．∴BD+CE=DE．【点评】本题考查了相似形综合题以及函数问题，是难度较大的题目，解答时要认真审题，相似三角形的判定和性质是解决问题的关键．16．如图①，矩形ABCD被对角线AC分为两个直角三角形，AB=4，BC=8，现将Rt△ADC绕点C顺时针旋转，点A旋转后的位置为点M，点D旋转后的位置为点N，以C为原点，以BC所在直线为x轴，以过点C垂直于BC的直线为y轴，建立如图②的平面直角坐标系．（1）求直线AM的解析式；（2）将Rt△MNC沿轴的负方向平行移动，如图③，设OC=x（0＜x≤12），Rt△MNC与Rt△ABO的重叠部分面积为S；①当x=2，与x=10时，求S的值；②求S与x之间的函数关系式．【考点】一次函数综合题．【分析】（1）根据旋转的性质，求出A（﹣8，4），M（4，8）的坐标，再根据待定系数法求出一次函数解析式；（2）①当x=2时，如图1，重叠部分为△POC，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方进行解答；②当x=10时，如图2，重叠部分为梯形NQAB，根据梯形的面积公式解答；②通过图形的面积公式和相似三角形的性质分段进行计算从当0＜x≤4，4＜x≤8，8＜x≤10及10＜x≤12四个不同的取值范围表示出S就可以求出结论．【解答】解：（1）AB=4，BC=8，根据旋转的性质可得：A（﹣8，4），M（4，8），设函数解析式为y=kx+b（k≠0），把A（﹣8，4），M（4，8）分别代入解析式得：，解得：，则直线AM解析式为y=x+；（2）①当x=2时，如图1，重叠部分为△POC，∵Rt△POC∽Rt△BOA，且S△AOB= ABOB=16，OC=2，OA==4，∴=（）2，即=（）2=，解得：S=；②当x=10时，如图2，重叠部分为梯形NQAB，可得：ON=OC﹣CN=10﹣4=6，BN=OB﹣ON=8﹣6=2，又∵△ONQ∽△OBA，∴=，即=，∴NQ=3，∴S=（QN+AB）BN=×（3+4）×2=7；（3）如图所示：①如图1，当0＜x≤4时，S=S△POC，∵Rt△POC∽Rt△BOA，∴，∴，S=，②如图5，当4＜x≤8时，S=S△POC﹣S△NHO，S=﹣=﹣，③如图4，当8＜x≤10时，S=S△FCO﹣S△BCG﹣S△ENO，=﹣﹣，=﹣x2+18x﹣68④如图2，10＜x≤12时，CO=x，NO=x﹣4，NQ=（x﹣4），BN=12﹣x∴S=S四边形ABNQ=，=﹣x2+2x+12．∴S与x的函数关系式为：S=．【点评】本题考查了一次函数的综合问题，涉及动点问题及二次函数的最值、三角形的面积及梯形面积的计算，相似三角形的判定及性质的运用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，综合性较强，灵活运用相似三角形的性质是关键．。