流形概念的演变与理论发展一、引言流形是20 世纪数学有代表性的基本概念，它集几何、代数、分析于一体，成为现代数学的重要研究对象。

在数学中，流形作为方程的非退化系统的解的集合出现，也是几何的各种集合和允许局部参数化的其他对象。

〔1〕53物理学中，经典力学的相空间和构造广义相对论的时空模型的四维伪黎曼流形都是流形的实例。

流形是局部具有欧氏空间性质的拓扑空间，粗略地说，流形上每一点的附近和欧氏空间的一个开集是同胚的，流形正是一块块欧氏空间粘起来的结果。

从整体上看，流形具有拓扑结构，而拓扑结构是“软” 的，因为所有的同胚变形会保持拓扑结构不变，这样流形具有整体上的柔性，可流动性，也许这就是中文译成流形（该译名由着名数学家和数学教育学家江泽涵引入）的原因。

流形作为拓扑空间，它的起源是为了解决什么问题？是如何解决的？谁解决的？形成了什么理论？这是几何史的根本问题。

目前国内外对这些问题已有一些研究〔1-7〕，本文在已有研究工作的基础上，对流形的历史演变过程进行了较为深入、细致的分析，并对上述问题给予解答。

二、流形概念的演变流形概念的起源可追溯到高斯（ C.F.Gauss,1777-1855）的内蕴几何思想,黎曼（C.F.B.Riemann,1826-1866）继承并发展了的高斯的想法，并给出了流形的描述性定义。

随着集合论和拓扑学的发展，希尔伯特（D.Hilbert,1862-1943）用公理化方案改良了黎曼对流形的定义，最终外尔（H.Weyl,1885-1955）给出了流形的严格数学定义。

1. 高斯-克吕格投影和曲纹坐标系十八世纪末及十九世纪初，频繁的拿破仑战争和欧洲经济的发展迫切需要绘制精确的地图，于是欧洲各国开始有计划地实施本国领域的大地测量工作。

1817 年，汉诺威政府命令高斯精确测量从哥廷根到奥尔顿子午线的弧长，并绘制奥尔顿的地图，这使得高斯转向大地测量学的问题与实践。

高斯在绘制地图中创造了高斯-克吕格投影，这是一种等角横轴切椭圆柱投影，它假设一个椭圆柱面与地球椭球体面横切于某一条经线上，按照等角条件将中央经线东、西各3°或1.5°经线范围内的经纬线投影到椭圆柱面上，然后将椭圆柱面展开成平面。

采用分带投影的方法，是为了使投影边缘的变形不致过大。

当大的控制网跨越两个相邻投影带，需要进行平面坐标的邻带换算。

高斯-克吕格投影相当于把地球表面看成是一块块平面拼起来的，并且相邻投影带的坐标可以进行换算。

这种绘制地图的方式给出了“流形”这个数学概念的雏形。

大地测量的实践导致了高斯曲面论研究的丰富成果。

由于地球表面是个两极稍扁的不规则椭球面，绘制地图实际上就是寻找一般曲面到平面的保角映射。

高斯利用复变函数，得出两个曲面之间存在保角映射的充要条件是两个曲面的第一类基本量成比例。

高斯关于这一成果的论文《将一给定曲面投影到另一曲面而保持无穷小部分相似性的一般方法》使他获得了1823 年哥本哈根科学院的大奖，也使他注意到当比例常数为 1 时，一个曲面可以完全展开到另一个曲面上。

高斯意识到这个成果的重要性，在论文的标题下面写下了一句话：“这些结果为重大的理论铺平了道路。

”〔8〕189这里重大的理论就是高斯后来建立的内蕴几何学。

全面展开高斯的内蕴几何思想的是他1827 年的论文《关于曲面的一般研究》，这是曲面论建立的标志性论述。

〔2〕163高斯在这篇文章中有两个重要创举：第一，高斯曲率只依赖于曲面的度量，即曲面的第一基本形式；第二，测地三角形内角和不一定等于180°，它依赖于三角形区域的曲率积分。

高斯的发现表明，至少在二维情况下可以构想一种只依赖于第一基本形式的几何，即曲面本身就是一个空间而不需要嵌入到高维空间中去。

〔3〕32,〔4〕308高斯在这两篇论文中都使用曲纹坐标（u,v）表示曲面上的一个点，这相当于建立了曲面上的局部坐标系。

突破笛卡尔直角坐标的局限性是高斯迈出的重要一步，但问题是：曲纹坐标只适用于曲面的局部，如果想使曲面上所有的点都有坐标表示，就需要在曲面上建立若干个局部坐标系，那么这些坐标系是否彼此协调一致？这是高斯的几何的基础。

高斯当时不具备足够的数学工具来发展他的几何构想，但高斯对空间的认识深刻地影响了黎曼。

2. 黎曼的“关于几何基础的假设”黎曼在1851 年的博士论文《单复变函数的一般理论》中，为研究多值解析函数曾使用黎曼面的概念，也就是一维复流形，但流形是什么还没有定义。

在高斯的几何思想和赫巴特（J.F.Herbart,1776-1841）的哲学思想的影响下,黎曼1854 年在哥廷根做了着名演讲《关于几何基础的假设》，演讲中他分析了几何的全部假设，建立了现代的几何观。

〔5〕2全文分三部分，第一部分是n 维流形的概念，第二部分是适用于流形的度量关系，第三部分是对空间的应用。

黎曼在开篇中提到：“几何学事先设定了空间的概念，并假设了空间中各种建构的基本原则。

关于这些概念，只有叙述性的定义，重要的特征则以公设的形态出现。

这些假设（诸如空间的概念及其基本性质）彼此之间的关系尚属一篇空白；我们看不出这些概念之间是否需要有某种程度的关联，相关到什么地步，甚至不知道是否能导出任何的相关性。

从欧几里得到几何学最着名的变革家雷建德，这一领域无论是数学家还是哲学家都无法打破这个僵局。

这无疑是因为大家对于多元延伸量的概念仍一无所知。

因此我首先要从一般量的概念中建立多元延伸量的概念。

”〔9〕411从开篇中我们可以看到黎曼演讲的目的所在：建立空间的概念，因为这是几何研究的基础。

黎曼为什么要建立空间的概念？这与当时非欧几何的发展有很大关系。

罗巴切夫斯基（N.L.Lobatchevsky,1793-1856）和波约（J.Bolyai,1802-1860）已经公开发表了他们的非欧几何论文，高斯没有公开主张非欧几何的存在，但他内心是承认非欧几何并做过深入思考的。

然而就整个社会而言，非欧几何尚未完全被人们接受。

黎曼的目的之一，是以澄清空间是什么这个问题来统一已经出现的各种几何；并且不止如此，黎曼主张一种几何学的全局观：作为任何种类的空间里任意维度的流形研究。

黎曼在第一部分中引入了n 维流形的概念。

他称n 维流形为n 元延伸量，把流形分为连续流形与离散流形，他的研究重点是把连续流形的理论分为两个层次，一种是与位置相关的区域关系，另一种是与位置无关的大小关系。

用现代术语来讲，前者是拓扑的理论，后者是度量的理论。

黎曼是如何构造流形呢？他的造法类似于归纳法，n+1 维流形是通过n 维流形同一维流形递归地构造出来的；反过来，低维流形可以通过高维流形固定某些数量简缩而成。

这样每一个n 维流形就有n 个自由度，流形上每一点的位置可以用n 个数值来表示，这n 个数值就确定了一个点的局部坐标。

黎曼这种构造流形的方法显然是受到赫巴特的影响。

赫巴特在《论物体的空间》中提到：“ 从一个维度前进到另一个维度所依据的方法，很明显是一个始终可以继续发展的方法，然而现在还没有人会想到按空间的第三个维度去假设空间的第四个维度。

”〔10〕197可看出黎曼受到赫巴特的启发并突破了三维的限制按递归的方法构造了n 维流形，这种构造方法体现了几何语言高维化的发展趋势。

从本质上讲，黎曼的“流形” 概念与当时格拉斯曼（H.G.Grassmann,1809-1877）的“ 扩张” 概念和施莱夫利（L. Schlafli,1814-1895）的“连续体”概念基本一致.〔6〕83流形应具有哪些特征呢？黎曼提到：“把由一个标记或者由一条边界确定的流形中的特殊部分称为量块（Quanta），这些量块间数量的比较在离散情形由数数给出，在连续情形由测量给出。

测量要求参与比较的量能够迭加，这就要求选出一个量，作为其他量的测量标准。

”〔9〕413黎曼在此使用的量块体现了现在拓扑学中的邻域概念的特征，“参与比较的量能够迭加”则是要求两个量块重叠的部分有统一的测量标准，即保证任意两个局部坐标系的相容性，这在后来由希尔伯特发展为n 维流形局部与n 维欧氏空间的同胚。

黎曼这种引入点的坐标的方法并不是很清晰的，这种不清晰来自他缺乏用邻域或开集来覆盖流形进而建立局部坐标系的思想。

11〕8在文章第二部分黎曼讨论了流形上容许的度量关系。

他在流形的每一点赋予一个正定二次型，借助高斯曲率给出相应的黎曼曲率概念。

进一步，黎曼陈述了一系列曲率与度量的关系。

曲面上的度量概念，等价于在每一点定义一个正定的二次型，亦称为曲面的第一基本形式。

自高斯以来，第一基本形式的内蕴几何学几乎一直占据着微分几何的中心位置。

从后来的希尔伯特和外尔的流形的定义可看出，他们都延续了高斯的内蕴几何思想。

3. 希尔伯特的公理化方法从19 世纪70 年代起，康托尔（G. Cantor,1845-1918）通过系统地研究欧几里得空间的点集理论，创立了一般集合论，给出了许多拓扑学中的概念。

康托尔的研究为点集拓扑学的诞生奠定了基础，这使得希尔伯特能够利用一种更接近于拓扑空间的现代语言发展流形的概念。

希尔伯特在1902 年的着作《几何基础》中引进了一个更抽象的公理化系统，不但改良了传统的欧几里得的《几何原本》，而且把几何学从一种具体的特定模型上升为抽象的普遍理论。

在这部着作中他尝试以邻域定义二维流形（希尔伯特称之为平面，而把欧氏平面称为数平面），提出了二维流形的公理化定义：“平面是以点为对象的几何，每一点A 确定包含该点的某些子集，并将它们叫做点的邻域。

（1）一个邻域中的点总能映射到数平面上某单连通区域，在此方式下它们有唯一的逆。

这个单连通区域称为邻域的像。

（2）含于一个邻域的像之中而点A 的像在其内部的每个单连通区域，仍是点 A 的一个邻域的像。

若给同一邻域以不同的像，则由一个单连通区域到另一个单连通区域之间的一一变换是连续的。

（3）如果B 是A 的一个邻域中的任一点,则此邻域也是B 的一个邻域。

（4）对于一点A 的任意两个邻域,则存在A 的第三个邻域，它是前两个邻域的公共邻域。

（5）如果A 和B 是平面上任意两点,则总存在A 的一个邻域它也包含B. ”〔12〕150可以看出在希尔伯特的定义中，（1）和（2）意味着在平面（二维流形）的任意一点的邻域到数平面（欧氏平面）的某单连通区域上都能建立同胚映射。