一．填空：1．优化设计的数学模型由：设计变量，目标函数，约束条件三部分组成。

2．最优化设计的方法归纳起来，可分两步。

即建立数学模型，求解数学模型。

3．数学规划的两个重要分支是：线性规划和非线性规划；工程设计问题一般属于非线性规划。

4．取泰勒展开式的前两项时，可得到函数的泰勒线性近似式为：f(t)≈f（X（k））+[▽f（X（k））]T[X-X（k）] 。

5．对于无约束优化问题多元函数在点X（k）取得极小值的条件是：函数在该点的梯度为零，二阶导数矩阵为正定。

6．一个下降迭代算法的构成需解决的三个基本问题是：选择搜索方向，确定步长因子，给定收敛准则.。

7．下降迭代算法的收敛准则通常有三种：点距准则，值差准则，梯度准则，黄金分割法（二次插值法）的收敛准则为区间长度足够小。

8．根据搜索方向的不同构成方式，可将无约束优化方法分为：导数法（解析法）和模式法（直接法）两大类。

9．求解非线性约束优化问题时，根据处理约束条件的不同方式可将优化方法分为：直接法，间接法两大类。

10．可靠性学科的主要理论基础是：概率统计。

11．若失效时间随机变量可用指数分布来描述，则可靠度函数为R（t）=e-λt=e-t/θ。

12．某产品的失效时间随机变量服从指数分布，则其平均无故障工作时间为θ；故障率为1/θ。

13．用“相关检验”法进行回归方程的显著性检验时，引用一相关系数γ，当γ=1 时，说明变量之间完全线性相关；当γ=0 时，说明变量之间无内在的关系。

14．在进行系统的可靠性预测时，常把系统的可靠性模型分为两大类，即串联系统和并联系统。

15．在进行可靠性设计时“应力”的含义是指：凡是引起零件（系统）失效的一切因素；“强度”的含义是指凡是阻止零件（系统）失效的一切因素16．最优化问题也称为数学规划问题，根据数学模型中是否包含约束条件，可将其分为约束优化问题和无约束优化问题。

17．对极小化问题来说，目标函数的值越小，对应的设计方案越好。

设计问题的最优解即目标函数的最小值及其对应的设计变量的取值。

二、判断题：1．优化计算所谓的最优解只是数学模型的最优解。

（T）2．一个工程问题的设计变量可以选择常量，独立变量和因变量（F）。

3．对极小化问题来说，目标函数的值越小，对应的设计方案越好（T）。

4．函数在一点的梯度是函数在该点变化率的全面描述（T）。

5．函数在点X（k）的梯度为零，是函数在该点取得的极值的充要条件（F）。

6．具有超线性收敛性的算法是收敛速度最快的算法（F）。

7．在无约束优化方法中，导数法的收敛性和收敛速度较模式法好（T）。

8．对于非正定函数，基本牛顿法不能始终保持函数的下降性（T）。

9．阻尼牛顿法具有二阶收敛性，在所有无约束优化方法中是收敛性最好的算法（T）。

10．以相同的安全系数所设计出的零件其安全程度相同（F）11．零件设计时安全系数越大，则安全效果必然最好（F）。

12．随机变量t与标准随机变量z线性相关，则失效概率分布为正态分布（T）。

13．每一可靠度函数仅有一故障率函数与之对应（T）。

14．两个设计在规定时间内具有相同的可靠度，则其故障率也相等（F）。

三．名词解释：1．最优化设计：借助最优化设计方法和计算机技术，求取工程问题的最优设计方案。

进行最优化设计时，首先必须将实际问题加以数学描述，形成一组由数学表达式组成的数学模型，然后选择一种最优化数值计算方法和计算机程序，在计算机上运算求解，得到一组最佳的设计参数。

这组设计参数就是设计的最优解。

2．等值线（面）：令函数f（X）等于常数c，即使f（X）=c，则满足此式的点X在设计空间中定义了一个点集。

当n=2时，该点集是设计平面中的一条直线或曲线；当n=3时，该点集是设计空间中的一个平面、曲面或超曲面。

在这种线或面上所有点的函数值均相等。

因此，这种线或面就称为函数的等值线或等值面。

3．多元函数的梯度：函数在点X（k）的梯度是由函数在该点的各个一阶偏导数组成的向量。

函数的梯度具有以下性质：1）函数在一点的梯度是一个向量。

梯度的方向是该点函数值上升得最快的方向，梯度的大小就是它的模长。

2）一点的梯度方向与过该点的等值线或等值面的切线或切平面相垂直，或者说是该点等值线或等值面的法线方向。

3）梯度是函数在一点邻域内局部性态的描述。

在一点上升得快的方向，离开该邻域后就不一定上升得快，甚至可能下降。

4．线性规划问题的基本解：在约束方程中，若令n-m个变量为零，就可以求得另外m个不全为零的变量。

于是这m个不全为零的变量和n-m个为零的变量共同组成一个解向量，称为线性规划问题的基本解。

5．可靠度：零件（系统）在规定的运行条件下，规定的工作时间内，能正常工作（满意运行）的概率。

它包含了5个要素，即：对象、规定的工作条件、规定的工作时间、正常运行及概率。

6．故障率：在某一时间段，，在提供可能失效的产品数下，单位时间内的失效数。

7．零件的可靠性预测：是根据对零件以往的失效调查，或对零件进行寿命试验所得的数据，将它们整理分析出一定的统计规律；然后，运用该规律对同种零件在相同的工作环境中的可靠度进行估计的一种方法。

四．简答题：1．简述优化问题的具体步骤。

答：首先必须将实际问题加以数学描述，形成一组由数学表达式组成的数学模型，然后选择一种最优化数值计算方法和计算机程序，在计算机上运算求解，得到一组最佳的设计参数。

2．试述下降迭代算法的基本格式。

答：1）给定一个初始点X（k）和收敛精度ε；2）选取一个搜索方向S（k）；3）确定步长因子a k，得到新的迭代点X（k+1）；4）收敛判断：若X（k+1）满足收敛精度，则以X（k+1）作为最优点，终止计算；否则，以X（k+1）作为新的起点，转2）进行下一轮迭代。

3．按安全系数进行机械零件的设计有何局限性.答：1）在选择安全系数上具有很大的“主观”因素。

不同的设计者设计相同的机械零件时，其结果是不相同的，有时相差悬殊，故它带着较大的经验色彩。

2）把设计的参数都看成固定不变的常量，忽略了各种随机因素对它的影响，因而设计结果不可能更好地接近实际工作情况。

3）设计结果的安全程度如何，一开始设计者心中还是处于模糊状态，往往需经过实际运行之后设计者心中才有底。

4．零件的可行性设计有何优点？答：1）将参加设计的应力与强度参数都视为随机变量，这是一种符合实际情况的思想，因而设计结果也将更加接近于实际运行状态的要求。

2）在设计过程中引入可靠度指标，使设计者对其设计结果的风险程度有一个定量的概念，作到心中有“数”。

“可靠度”参加设计过程，基本上避免了以前的安全系数设计方法中人的主观因素的影响。

3）利用应力-强度“干涉”模型进行设计的机械零件，可以充分发挥其材料的固有性能。

可以尽量做到使零件的重量轻、结构合理、成本低等…，使产品具有更强的竞争能力。

4）用可靠性指标参加设计过程，同样也可以用可靠性指标去控制零件在选材、处理工艺、加工等工序上的质量，使它们都在统一的可靠性指标下得到控制，从而有利于产品质量的进一步改进与提高。

5．简述优化问题的图解步骤。

答：1）确定设计空间；2）作出约束可行域；3）画出目标函数的一簇等值线；4）判断确定最优点。

五．计算题：1．求函数f(t)=X 12+X 22－6X 1 在点X (1)=[1 2]的梯度及模，并作图表示。

解：根据定义，梯度⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂=∇2121262/)(/)()(x x x X f x X f X f⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=∇⎥⎦⎤⎢⎣⎡44262)(2121)1(x x X f梯度的模244)4()(22)1(=+-=∇X f单位梯度向量⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=∇∇=2/22/244241)()()1()1()1(X f X f S在设计平面x1ox2内标出点（-4，4）并将点与原点相连得到向量[-4，4]T。

将向量平移至点X（1），所得新的向量就是点X（1）的梯度。

如图所示。

2．求函数f(t)=5X13+4X12X2+4X22－32X1－16X2 在点X(1)=[2 1]的泰勒展开二次式。

3．将函数f(t)=X14－2X12X2+X22+X12－2X1+5 在点X=[1,2]简化为二次函数。

六．分析应用题：1．用薄钢板制造一体积等于1m3的贷箱，各边的长度不小于0.5m，要求确定贷箱的长、宽、高尺寸。

以使钢板的用量最省，试写出该问题的数学模型。

解：min f（x）=2x1x2+2x1x3+2x2x3s.t. x1x2x3=1x1≥0.5x2≥0.5x3≥0.52．某继电器的失效时间随机变量(F·T·R·V)服从指数分布，其MTBF为106次。

求故障率是多少？解：h ee t R tf t h t t/10)()()(6---====λλλλ3． 某设备的F·T·R·V 服从以下分布：f (t)=t·e -t/2 (t>0) 试求可靠度函数R(t)？故障率函数h(t)？ 解：t t R t f t h e t e t d e dt e t t R t t t t t t ===∞-===--∞-∞-⎰⎰)()()()21(.)(2222/2/22224． 某设备的F·T·R·V 服从指数分布时，要使 寿命为1000小时的可靠度在0.8以上，问故障率必须低于多少？解：h e e et R t /000223.018.0)(10001000.====--λλλλ。