第十章 无穷级数习题解答练习 10.11. 写出下列级数的一般项: (1)1(1)n +- ; (2)1121(1)n n n a +-+-; (3) 21nn+; (4)21n n -+. 2. 用定义判断下列级数的敛散性:(1) 当n 为奇数时, 前n 项和为1; 当为偶数时, 前n 项和为0, 故此级数发散. (2) 前n 项和为ln n , 其极限为+∞, 故此级数发散. (3) 此级数为公比是15的等比级数, 故此级数收敛. (4) 当1x <时, 此级数为公比是x -的等比级数, 故级数收敛; 当1x ≥时, 此级数为公比是x -的等比级数, 故级数发散. (5) 前n 项和为11(1)221n -+, 其极限为12, 故此级数收敛. 练习 10.21. 根据级数收敛的性质判断下列级数的敛散性: (1) 此级数通项的极限为10≠, 故此级数发散. (2) 此级数通项的极限为不存在, 故此级数发散 (3) 此级数通项的极限为10≠, 故此级数发散 (4) 此级数通项的极限为10≠, 故此级数发散 (5) 此级数是两个收敛级数的差, 故此级数收敛(6) 此级数是一个有限数和一个收敛级数的和, 故此级数收敛 (7) 此级数是一个发散级数和一个收敛级数的和, 故此级数发散 2. 若级数1nn u∞=∑ 收敛, 指出下列哪些级数是一定收敛的, 哪些级数是发散的? 哪些不能确定?(1) 此级数是两个收敛级数的差, 故此级数收敛(2) 此级数是由收敛级数删掉有限项后得到, 故此级数收敛 (3) 此级数通项的极限为∞, 故此级数发散 (4) 不一定 (5) 不一定 练习 10.31. 用比较判别法判别下列级数的敛散性: (1) 此级数的通项小于1()2n, 后者对应的级数收敛, 故此级数收敛(2) 此级数的通项小于21n, 后者对应的级数收敛, 故此级数收敛(3) 此级数的通项大于12n +, 后者对应的级数发散, 故此级数发散 (4) 此级数的通项大于111[]b a n a⋅++, 后者对应的级数发散, 故此级数发散 (5) 此级数的通项小于2103n, 后者对应的级数收敛, 故此级数收敛(6) 此级数的通项小于21n, 后者对应的级数收敛, 故此级数收敛(7) 此级数的通项小于321(1)n +, 后者对应的级数收敛, 故此级数收敛2. 用比值或根值判别法判别下列级数的敛散性: (1) 由根值判别法, 此级数收敛 (2) 由比较判别法, 此级数收敛 (3) 由根值判别法, 此级数收敛 (4) 由根值判别法, 此级数收敛 (5) 由根值判别法, 此级数收敛 (6) 由根值判别法, 此级数收敛 (7) 由根值判别法, 此级数收敛 (8) 由根值判别法, 此级数收敛3. 判别下列级数的敛散性, 若收敛, 指出是绝对收敛还是条件收敛:(1) 由交错级数敛散性判别法, 此级数收敛, 但其通项取绝对值后所得级数发散, 故此级数条件收敛(2) 此级数通项的极限不存在, 故此级数发散 (3) 由根值判别法, 此级数绝对收敛 (4) 由根值判别法, 此级数绝对收敛(5) 由交错级数敛散性判别法, 以及调和级数的定义, 可知:1p >时绝对收敛; 01p <≤时条件收敛; 0p ≤时发散 练习 10.41. 求下列幂级数的收敛区间:(1) 此级数收敛半径为1, 中心在0x =, 在1x =处发散, 故其收敛区间为[)1,1- (2) 此级数收敛半径为+∞, 中心在0x =,故其收敛区间为(),-∞+∞ (3) 此级数收敛半径为0, 中心在0x =, 故此级数仅在0x =处收敛 (4) 此级数收敛半径为, 中心在0x =,在x =处发散, 故其收敛区间为(-(5) 此级数收敛半径为12, 中心在1x =, 在32x =处发散, 故其收敛区间为[)12,32 2. 求幂级数!nn n x ∞=∑ 的和函数, 并求级数 1(1)!2n n n +∞=+∑ 的和. 解: 利用xe的展开示,!nn n x∞==∑()12,,;1(1)!2n xn x n e e +∞=∈-∞+∞=-+∑3. 求幂级数2121n n n x+∞=+∑ 的和函数, 并求级数211211()2n n n +∞=+∑ 的和.解: 21221()211n nn n n x x x+∞∞=='==+-∑∑, 再根据例7, 则21021n n n x+∞=+∑=()11ln ,1,1;21xx x +∈-- 211211()2n n n +∞=+∑1ln 32=练习 10.51. 写出下列函数的n 阶麦克劳林公式:(1) 解: 12311()23(1)n nx Rn x nx x x--++++-, 其中11()1(1)(1)nn n Rn x n x ξ++=⋅+-+.(2) 解: 2(1)(1)(1)12!!nn x n xxαααααα---++++++()Rn x , 其中()Rn x =11(1)()(1)!(1)n n n n x xααααθ--+--++, 01θ<<2. 将下列函数展开成x 的幂级数, 并求收敛区间: (1) 解:()2,,!2n nn x n x +∞=∈-∞+∞⋅∑ (2) 解: ()201,,22(2)!(1)nn n x n x ∞=+∈-∞+∞-∑ (3) 解:()21(21)!!,1,1(2)!!21(1)nn n n x n n x+∞=-⋅∈-++-∑3. 将函数 f(x)=lnx 展开成x -1的幂级数. 解:(]11,0,2(1)(1)nn n x nx ∞-=∈--∑4. 利用函数的幂级数展开式求下列各数的近似值:(1)12e= 1.649(2)1573(1)243=+ 3.017(3) 11ln 3ln 2ln(1)ln(11)ln(1)22=++=+++ 1.0986(4) 20cos cos 18(2)!()18(1)10nnn n ππ∞===-∑0.9848习题十1. 单项选择题:(1) A (2) C (3) A (4) C (5) C (6) D (7) B (8) B (9) A (10) D (11) C (12) C (13) C (14) D (15) D (16) D (17) B (18) B (19) D (20) C 2. 填空: (1)2,2(1)n n +; (2) 12S u -; (3) 0a =; (4) ()(),11,-∞+∞(5) 01a <<; (6) ln 0.9-; (7)1(1cos1)2- 3. 判断正误:(1) F (2) F (3) T (4) F (5) F (6) T (7) F (8) F (9) F (10) F (11) F (12) T (13) T (14) F (15) T (16) F (17) F 4. 根据级数收敛与发散的定义判别下列级数的敛散性: (1) 此级数通项极限不存在, 故发散(2) 此级数为公比是213<的级数, 故收敛 (3) 此级数前n 项和的极限为12, 故收敛5. 已知级数的部分和1n n ns +=, 写出这个级数.解: 11122132(1)n n -----⋅⋅-6. 判别下列级数的敛散性:(1) 此级数通项的极限为108≠, 故此级数发散 (2) 此级数通项的极限为30≠, 故此级数发散(3) 此级数是两个收敛级数的和, 故此级数收敛(4) 此级数是公比是sin11<的级数加有限项, 故此级数收敛 (5) 此级数通项的极限为10≠, 故此级数发散(6) 由根值判别法知此级数收敛7. 用比较判别法判别下列级数的敛散性: (1) sin22nnππ<, 故收敛; (2)22211n an<+,故收敛; (3) 11n >+, 故发散 (4)11(ln )2nn n <, 故收敛; (5) 22111cos 221(sin)2n nn-=<, 故收敛(6)12n>, 故发散 8. 用比值或根值判别法判别下列级数的敛散性:(1) 由根值判别法, 此级数的通项开n 次方的极限为2>1, 故发散 (2) 由根值判别法, 此级数的通项开n 次方的极限为12<1, 故收敛 (3) 由比值判别法, 此级数发散 (4) 由比值判别法, 此级数发散(5) 由根值判别法, 此级数的通项开n 次方的极限为12<1, 故收敛 (6) 由比值判别法, 此级数收敛(7) 由根值判别法, 此级数的通项开n 次方的极限为12<1, 故收敛 (8) 由根值判别法, a b >时级数收敛, a b <时级数发散 (9) 由比值判别法, 此级数收敛 9. 判定下列级数的敛散性: (1) 由根值判别法, 此级数收敛(2) 此级数是一个发散级数和一个收敛级数的差, 故发散 (3) 由比较判别法, 此级数发散 (4) 由比值判别法, 此级数收敛 (5) 由根值判别法, 此级数收敛 (6) 由比较判别法, 此级数收敛 (7) 由比较判别法, 此级数发散(8) 此级数通项极限不为0, 故此级数发散 (9) 由根值判别法, 此级数收敛 (10) 由比较判别法, 此级数收敛 (11) 由比较判别法, 此级数收敛 (12) 由比较判别法, 此级数收敛10. 下列级数哪些是绝对收敛、条件收敛或发散的: (1) 由交错级数的莱布尼兹判别法, 此级数条件收敛 (2) 此级数通项极限不为0, 故此级数发散 (3) 由比较判别法, 此级数绝对收敛 (4) 由比较判别法, 此级数绝对收敛(5) 此级数通项极限不存在, 故此级数发散(6) 由交错级数的莱布尼兹判别法, 此级数条件收敛 (7) 由比较判别法, 此级数绝对收敛 (8) 由比较判别法, 此级数绝对收敛(9) 由交错级数的莱布尼兹判别法, 此级数条件收敛 (10) 由交错级数的莱布尼兹判别法, 此级数条件收敛 (11) 由根值判别法, 此级数绝对收敛 (12) 由比较判别法, 此级数绝对收敛(13) 1x <时绝对收敛, 1x =且1p >时绝对收敛, 1x =且01p <<时条件收敛 (14) 由比较判别法, 此级数绝对收敛(15) 由交错级数的莱布尼兹判别法, 此级数条件收敛 11. 讨论级数1()1nn an n ∞=+∑(a >0) 的敛散性. 解: 1a ≥时发散, 01a <<时收敛12. 讨论级数 11(1)nn n np∞+=-∑ 的敛散性 (p >0).解: 1p >时绝对收敛, 1p =时条件收敛, 01p <<时发散13. 证明当∣x ∣≠1时, 级数 211nnn x x ∞=+∑ 绝对收敛. 证明: a) 当0x =时结论显然成立; b) 当1x <时,21nnxx +11nnxx=+nx<, 结论成立;c) 当1x >时, 21nnx x+1nx<,结论成立.14. 证明: (1) 设正项级数1nn u∞=∑ 收敛, 证明级数21nn u∞=∑ 也收敛; 试问反之是否成立?(2) 设n a ≥0, 且数列 {n n a } 有界, 证明级数21nn a∞=∑ 收敛;(3) 若级数21nn a∞=∑,21nn b∞=∑ 收敛, 证明1n nn a b∞=∑ 绝对收敛;(4) 设级数21n n u ∞=∑ 收敛, 证明级数1(0)nn n u u n∞=>∑ 也收敛.证明: (1) 由正项级数1n n u ∞=∑ 收敛, 则其前n 项和n S 的极限存在, 从而2()n S 的极限存在, 设级数 21nn u∞=∑的前n 项和为nT, 显然nT<2()n S , 故级数21nn u∞=∑ 也收敛, 但反之不成立;(2) 由n a ≥0, 且数列 {n n a } 有界, 故存在固定常数c , 使得n n a c ≤, 从而()22n c n a ≤, 因此级数 21nn a∞=∑ 收敛;(3) 由级数21nn a∞=∑,21nn b∞=∑ 收敛, 又有222nnn n a ba b ≤+, 故1n n n a b ∞=∑ 绝对收敛;(4) 由级数21n n u ∞=∑ 收敛,211n n∞=∑收敛, 由(3)知级数 1(0)nn n u u n ∞=>∑ 也收敛. 15. 设1nn u∞=∑是绝对收敛的级数, 试证: 由1nn u∞=∑的一切正项组成的级数1nn p∞=∑是收敛的; 由1nn u∞=∑的一切负项组成的级数1nn q∞=∑是收敛的.证明: 由题设知nnp u≤,nnq u≤, 故级数1nn p∞=∑收敛, 级数1nn q∞=∑也收敛16. 证明 lim 0!nn c n →∞= (c >1, 常数) 证明: 由0!n xn n x e ∞==∑, 则0!ncn n c e ∞==∑, 故lim 0!nn cn →∞= (c >1, 常数) 17. 确定下列幂级数的收敛区间:(1) 此级数收敛半径为1, 中心在3x =, 故其收敛区间为[]2,4(2) 此级数收敛半径为1, 中心在0x =, 在1x =处发散, 故其收敛区间为[)1,1- (3) 此级数收敛半径为0, 故其收敛区间为0(4) 此级数收敛半径为1, 中心在0x =, 在1x =-处发散, 故其收敛区间为(]1,1- (5)中心在0x =,故其收敛区间为⎡⎣(6) 此级数收敛半径为e , 中心在1x =, 在1x e =-处发散, 故其收敛区间为(]1,1e e -+(7) 无收敛域(8) 此级数收敛半径为1, 中心在0x =, 在1x =±处发散, 故其收敛区间为()1,1- 18. 将下列函数展开成关于x 的幂级数, 并求收敛区间: (1)[]21,1,121(1)n nn x n x +∞=∈-+-∑(2) 13211113(23)32(21)(1)!(1)2n n n n x n n xx ---⋅--+++⋅---, []1,1x ∈-(3)111ln (1)()nn n a nx a∞-=+-∑, (],x a a ∈- (4)()20,,!nn x n x ∞=∈-∞+∞∑ (5)[]21(21)!!,1,1(2)!!(21)n n n x n n x ∞+=-⋅∈-+∑ (6) 1231113(23)1,2!(1)22n nnn x n x x-⋅-+-+++⋅-(]1,1x ∈-19. 将函数13x- 展开成 x -1 的幂级数. 解:10111,1313212(1)2nn n x x x x∞+==⋅=-<<----∑ 20. 将 展开成x 的幂级数. 解: 21011ln ,112121n n xx x n x +∞=-==--<<++∑21. 将 21()32f x x x =++ 在x =1 处展开成幂级数.解:11201111111()(),32122(1)3(1)(1)(1)23n n n n n f x x x x x x x x ∞++===-=-=-+++++-+---∑13x -<<22. 求下列函数在 x=1 处的泰勒展开式. (1) 23815(1)177(1)(1)x x x +-++--(2)(1)(1)n nn x ∞=--∑23. 求和函数:(1) ()S x =1ln(1)111,01100xx x x x x x -⎧-+-≤<≠⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩(2) 先求导, 再积分,11ln ,121x x x+<- (3) 先除以x, 再积分, 然后求导,2,1(1)xx x <-24. 求幂级数 21121n n x n -∞=-∑ 在 (-1, 1) 内的和函数并求级数2111(21)3n n n ∞-=-∑ 的和.解: 先求导, 再积分, ()S x=211111,ln 2(21)3n n x n ∞-=-<<=-∑ 25. 判定下列级数的敛散性:(1) 此级数是两个发散级数的差, 故发散 (2) 由比较判别法, 此级数收敛 (3) 由比较判别法, 此级数发散 26. 设q >0, 级数1(1)(3)nn n q ∞=+∑ 收敛, 试决定q 的取值范围.解: 视此级数为幂级数1(1)n n n x ∞=+∑, 求其收敛域, 得103q <<27. 判定下列级数是绝对收敛, 条件收敛, 还是发散: (1) 由交错级数的莱布尼兹判别法, 此级数条件收敛(2) 当1x >时绝对收敛, 01x <≤时条件收敛, 0x ≤时发散(3) 当1a <时绝对收敛, 1a >时发散, 1a =且1k >时绝对收敛, 1a =且1k ≤时发散, 1a =-且1k ≤时条件收敛.28. 设 p >0, 讨论 p 取何值时, 级数 11(1)nn n n p∞+=-⋅∑ (1) 绝对收敛; (2) 条件收敛; (3) 发散. 解: (1)1p >; (2)1p =;(3) 1p <29. 将函数 1()arctan1xf x x+=- 展开成x 的幂级数. 解: 由于1arctan 1x x +-的导函数为12121(1)n n n xx x∞++=-=+-∑ 故2101()arctan,111421(1)nn n x f x x x n xπ∞+=+==+-≤<-+-∑30. 求级数1(1)2nnn n∞=-∑ 的和. 解: 考察1(1)nn n n x ∞=-∑的和, 先积分, 再求导, 得21111(1)(1)(1)n n n n x x x x x ∞=-=-+++∑+, 故12(1)29nn n n ∞=-=-∑。