一、填空题1．设)(x P 是x 的多项式，且26)(lim 23=-∞→x x x P x ，3)(lim 0=→xx P x ，则=)(x P 2．=-++∞→))(arcsin(lim 2x x x x6π x x x 32623++↑ 3．=⎪⎭⎫⎝⎛-∞→321lim x x x 32-e4．设A x x ax x x =-+--→14lim31，则有=a ，=A 4，－2 5．设xxx x x f sin 2sin )(+=，则=∞→)(lim x f x 26．=⋅+→232031sinsin limx x x x x 31 7．函数)2)(1(1+-+=x x xy 的间断点是 1=x8．为使函数()x x x f tan 1⋅=在点0=x 处连续，应补充定义()=0f 19．设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=00)1(3x Kx x y x 在0=x 处连续，则参数=K 3-e 10．函数⎩⎨⎧>+≤+=010)(x e x a x x f x 在点0=x 处连续，则=a 2二、单项选择题1．设0>n x ，且n n x ∞→lim 存在，则n n x ∞→lim ②①0> ②0≥ ③0= ④0< 2．极限=-→111lim x ex ③①∞ ②1 ③不存在 ④0 3．=++∞→-→xx x x xx 1sinlim )1(lim 10 ④①e ； ②1e -； ③1e +； ④11e -+4．()()213++-=x x x y 的连续区间是__________________ ②①()()()+∞----∞-,11,22, ②[)+∞,3③()()+∞--∞-,22, ④()()+∞--∞-,11,5．函数1211111+----=x x x x y 的不连续点有 ③ ①2个 ②3个 ③4个 ④4个以上6．下列函数中，.当0→x 时，与无穷小量x 相比是高阶无穷小量的是___________；是等价无穷小量的是__________________ ①，②①x cos 1- ②2x x + ③x ④x 2sin7．当+→0x 时，x sin 与||x 相比是 ② ①高阶无穷小量 ②低阶无穷小量 ③同阶但不等价的无穷小量 ④等价无穷小量8．当0→x 时，x 2cos 1-与2x 相比是 ② ①高阶无穷小量 ②同阶但不等价的无穷小量③低阶无穷小量 ④等价无穷小量9．设()⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=00,3sin x k x xx x f 为连续函数，则k =_______________ ② ① 1 ② －3 ③ 0 ④ 310．函数()x f 在点0x 处有定义是()x f 当0x x →时极限存在的 ④ ①充分但非必要条件 ②必要但非充分条件③充分必要条件 ④既非充分又非必要条件11．当0→x 时，下列函数中比x 高阶的无穷小量是 ②①x x sin + ②x x sin - ③()x +1ln ④()x -1ln 12．当0→x 时，下列函数中为无穷小量的是 ② ①x x 1sin+ ②x x 1sin ⋅ ③x x sin 1+ ④x xsin 1⋅ 13．当∞→x 时，下列函数中为无穷小量的是 ③①x x 1sin+ ②x x 1sin ⋅ ③x x sin 1+ ④x xsin 1⋅ 14．设在某个极限过程中函数()x f 与()x g 均是无穷大量，则下列函数中哪一个也必是无穷大量 ③ ① ()()x g x f + ② ()()x g x f - ③ ()()x g x f ⋅ ④()()x g x f 15．设()a x f =0，()b x f x x =-→0lim ，()c x f x x =+→0lim ，则函数()x f 在点0x 处连续的充分必要条件是 ④ ①b a = ②c a = ③c b = ④c b a ==16．1=x 是⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=-10111)(112x x ex x x f x 的 ④ ①连续点 ②跳跃间断点 ③可去间断点 ④无穷间断点三、求下列极限1．)1(lim 2x x x -++∞→011lim2=++=+∞→xx x2．)1(lim 2x x x -+-∞→+∞=3．)2222(lim 22+--+++∞→x x x x x22212214lim22224lim2222=+-+++=+-+++=+∞→+∞→xx x x x x x x xx x4．⎪⎭⎫⎝⎛⋅∞→x x x 1arcsinarctan lim 0=5．)111)(110()110()13()12()1(lim 2222--++++++++∞→x x x x x x x （27=）6．)21(lim 222nn nn n n n n ++++++∞→[解] 记n n nn n n n x n ++++++=22221 因为 222222n nn n n n x n n n n n n n n n n +++≤≤++++++即 11≤≤+n x n n ，由于11lim =+∞→n n n ，所以由夹逼定理，得1lim =∞→n n x7．设2006)1(lim =--∞→ββαn n n n ，求βα,[解] 原式左端⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∞→∞→n o n n n n n n n n 1111lim111limββαββαβββα11lim 1=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-∞→n n o n n n （1-=βα）由于极限存在，故1-=βα。

20061=β ∴20061=β，200620051200611-=-=-=βα 四、分析题1．讨论极限x x x |sin |lim 0→[解] 因为1|sin |lim 0=+→x x x ，1|sin |lim 0-=-→x x x ，故原极限不存在。

2．求23122+--=x x x y 的间断点，并判别间断点的类型。

[解] 因为)2)(1(232--=+-x x x x ，而2231lim 221-=+--→x x x x ，∞=+--→231lim 222x x x x 因此有间断点：1=x 为可去间断点，2=x 为无穷间断点。

.3．求函数xx y 16+=的连续区间，若有间断点，试指出间断点的类型。

[解] 函数的连续区间为),0()0,(+∞-∞ ，点0=x 为函数的第二类无穷间断点。

4．讨论函数tx t x t t x x f -→⎪⎭⎫⎝⎛--=11lim )(的连续性。

[解] ()1)1(011lim 11lim 11lim )(--+→--=-→-→=+⎪⎭⎫⎝⎛--+=⎪⎭⎫ ⎝⎛--==x xx y yx y t tx y tx t x t tx t x t e y t t x t x x f 令 在点1=x 处没有定义，是间断点，故)(x f 的连续区间为),1()1,(+∞-∞ ，点1=x 为)(x f 的第二类无穷间断点。

5．讨论函数⎩⎨⎧<+≥=010cos )(x x x x x f 在点0=x 处的连续性。

[解] 1cos lim )(lim 0==++→→x x f x x ，1)1(lim )(lim 0=+=--→→x x f x x∴ )(x f 在点0=x 处连续性。

6．设函数()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+<--==02cos 0x x x x x xa a x f y （0>a ）（1）当a 取何值时，点0=x 是函数()x f 的间断点？是何种间断点？（2）当a 取何值时，函数()x f 在()∞+∞-，上连续？为什么？ [解]（1）在点0=x 处，21)0(=f ，212cos lim )(lim 00=+=++→→x x x f x x ，ax a a x x a a x f x x x 211lim lim )(lim 000=-+=--=---→→→ 当0>a 且1≠a 时，由于)(lim )(lim 0x f x f x x -+→→≠，所以点0=x 是()x f 的跳跃间断点。

（2）当1=a 时，由于)0()(lim )(lim 0f x f x f x x ==-+→→，则()x f 在点0=x 处连续。

又因为在)0,(-∞或),0(∞+上，()x f 为初等函数，所以连续。

故当1=a 时，函数()x f 在()∞+∞-，上连续。

7．设函数()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<≤<≤<+==4110011x a x x x x x f y（1）求函数()x f 的定义域；（2）讨论函数()x f 在点0=x 处的极限是否存在？为什么？（3）a 为何值时，函数()x f 在点1=x 处连续？并求函数()x f 的连续区间；（4）画出函数()x f y =的图形。

[解]（1）]4,1()1,(---∞= f D（2）因为111lim )(lim 00=+=--→→x x f x x ，0lim )(lim 00==-+→→x x f x x ，所以)(lim 0x f x →不存在（3）在点1=x 处，a f =)1(，1lim )(lim 11==--→→x x f x x ，a a x f x x ==++→→11lim )(lim ， 所以，当1=a 时，)1()(lim )(lim 11f x f x f x x ==-+→→，即函数()x f 在点1=x 处连续。

此时，()x f 的连续区间为：]4,1()1,(---∞ （4）略 五、证明题1．证明方程475=-x x 在区间)2,1(内至少有一个实根。

[证] 设47)(5--=x x x f ，)(x f 在]2,1[上连续，又010)1(<-=f ，014)2(>=f ，由零点定理知，在)2,1(内至少存在一点ξ，使得0)(=ξf ，即0475=--ξξ，故方程475=-x x 在区间)2,1(内至少有一个实根。

2．证明：方程k x x =-sin 2（0>k ）至少有一个正根。

[证] 设),0[sin 2)(∞+∈--=C k x x x f因为0)0(<-=k f ，0)3sin(23)3(>+-=+k k f故由零点定理知，)3,0(+∈∃k ξ，使得0)(=ξf ，所以方程k x x =-sin 2至少有一正根。

3．证明方程2sin +=x a x （0>a ）至少有一个正根，并且不超过2+a 。

[证] 设2sin )(--=x a x x f ，下面分两种情形来讨论：情形1 若 1)2sin(=+a ，则因为0>a ，故2+a 是方程2sin +=x a x （0>a ）的正根，并且不超过2+a 。