现代控制理论
大作业
*师：***
*名：***
班级：机研141班
学号：s********
2015年1月
一.系统的工程背景及物理描述
超精密机床是实现超精密加工的关键设备，而环境振动又是影响超精密加工精度的重要因素。
为了充分隔离基础振动对超精密机床的影响，目前国内外均采用空气弹簧作为隔振元件，并取得了一定的效果，但是这属于被动隔振，这类隔振系统的固有频率一般在2Hz左右。
上图表示了亚微米超精密车床隔振控制系统的结构原理，其中被动隔振元件为空气弹簧，主动隔振元件为采用状态反馈控制策略的电磁作动器。
上图表示一个单自由度振动系统，空气弹簧具有一般弹性支承的低通滤波特
性，其主要作用是隔离较高频率的基础振动，并支承机床系统；主动隔振
系统具有高通滤波特性，其主要作用是有效地隔离较低频率的基础振动。
主、被动隔振系统相结合可有效地隔离整个频率范围内的振动。
床身质量的运动方程为：
F——空气弹簧所产生的被动控制力
p
F——作动器所产生的主动控制力
a
假设空气弹簧内为绝热过程，则被动控制力可以表示为：
电磁作动器的主动控制力与电枢电流、磁场的磁通量密度及永久磁铁和电磁铁之间的间隙面积有关，这一关系具有强非线性。
由于系统工作在微振动状况，且在低于作动器截止频率的低频范围内，因此主动控制力可近似线性化地表示为：
其中，电枢电流Ia满足微分方程：
1.性能指标：
闭环系统单位阶跃响应的：超调量不大于5%；过渡过程时间不大于0.5秒（∆=0.02）
2.实际给定参数：
某一车床的已知参数
3.开环系统状态空间数学模型的推导过程： 对式
0y s s =-两边求二次导，
..
..
.
011()({1[/()]})
n p a r r r e e e a y s F F c y k y p V V A y A k I m m
==-+=-++-++对上式再求一次导，
()01
e a y cy k y k I m η=-+++
其中1/()r r r e e
p V V A y A η⎧⎫''⎡⎤=-+⎨⎬⎣⎦⎩⎭
则I a
=−
my +cy +k 0y+η
K a
，
又由I a
=−
my +cy +k 0y+η
K a
,代入Li̇a +RI a +E (I a ,ẏ)=u(t)
00(,)()a e e
my cy k y my cy k y L
R E I y u t k k ηη
++++++--+=，即
Lmy ⃛+(Lc +Rm )ÿ+(Lk 0+Rc )ẏ+Rk 0y +Lω+Rω−k 0E (I a ,ẏ)=−k e u(t)
令状态变量为x 1
=y,x 2=ẏ,x 3=ÿ，
得系统开环的状态方程为：1223
003123e x x x x Rk Lk Rc k Lc Rm x x x x u
Lm Lm Lm Lm ⎧
⎪=⎪
=⎨⎪++⎪=----⎩
于是状态空间表达式为：
[]11220033123010
00
010100e x x x x u
Rk
Lk Rc x k Lc Rm x Lm Lm Lm Lm x y x x ⎧⎡
⎤⎡⎤
⎪⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎪⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎪⎣
⎦⎣⎦----⎢⎥⎢⎥
⎨⎣⎦⎣⎦
⎪⎪⎡⎤⎪⎢⎥
=⎪⎢⎥⎪⎢⎥⎣⎦⎩
代入系统参数，
[]112233123010000103157.8910.53315.798.60100x x x x u x x x y x x ⎧⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎪⎣
⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎨
⎡⎤⎪
⎢⎥
⎪=⎢⎥⎪
⎢⎥⎪⎣⎦⎩
二、系统的定性分析
系统的能控能观性根据其能控性矩阵和能观性矩阵是否满秩来判断。
Matalab 代码为：
结果如下所示，该系统能控能观。
判断系统的稳定性，根据系统稳定性的充分必要条件，求出系统的所有极点，并观察实部是否有大于0的极点。
求得的极点中实部有大于0.故系统不稳定。
三．系统的反馈控制器设计
由性能指标超调量小于5%
，即exp 5%⎛⎫
≤，
过渡时间不超过0.5s ，则有4
0.5s n
t ξω≈
≤，得ξ≥0.69.所以θ≤46.36，8n ξω≥。
为留出裕量，取ξ=0.8，Wn=20.
那么共轭极点11612j λ=-+，21612j λ=--，取第三个极点为3100λ=-，则系统的期望特征多项式为：
32()(1612)(1612)(100)132360040000f j j λλλλλλλ=+++-+=+++
设状态反馈控制律为：[]11
2
323x u k k k x x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
于是，闭环系统的状态空间表达式：
[]112212333123010000103157.898.610.538.6315.798.68.60100x x x x u k k k x x x y x x ⎧⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-------⎪⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎨
⎡⎤⎪
⎢⎥
⎪=⎢⎥⎪
⎢⎥⎪⎣⎦⎩
可得系统的特征多项式为：
32321()(315.798.6)(10.538.6)(3157.898.6)f k k k λλλλ=++++++ 两式对比，得321315.798.613210.538.636003157.898.6=40000
k k k +=⎧⎪
+=⎨
⎪+⎩，
解得1234284.0
417.3821.37k k k =⎧⎪
=⎨⎪=-⎩
Matalab 程序为：
求得状态反馈矩阵结果为：
单位阶跃响应的仿真曲线为：
各状态变量变化曲线：
x的变化曲线
1
x的变化曲线
2
x的变化曲线
3
四．系统的状态观测器设计
因为该系统的能观测性矩阵满秩，所以该系统是能观测的。
因为系统是能观测的，所以，可以设计状态观测器。
而系统又是能控的，因此可以通过状态观测器实现状态反馈。
在极点配置法的基础上，设观测器的期望极点为
V=[ -1 -1+0.0088j -1-0.0088j].
Matlab程序如下：
算的结果，观测器增益矩阵L=[-283.8 9.0e+4 -2.8e+07].
五．系统的二次型最优控制器设计
因为平衡车的平衡重点是角度和位置的迅速稳定和，所以令车体倾角和位移的加
权量为1000，即选取加权矩阵为 Q=[100000 010000
001
],R=1.
Matlab程序如下：计算结果为：
六．闭环系统的全状态响应仿真
假设存在某一初始振动状态51(0)110m x -=⨯，52(0)110m/s x -=⨯，523(0)110m/s x -=-⨯。
根据闭环状态方程
112233010001400003600132x x x x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦
编写matlab 程序：
源文件aa ：
function dx=aa(t,x)
A=[0,1,0; 0,0,1; -40000,-3600,-132];
dx=A*x;
仿真结果程序：
[t,x]=ode45('aa',[0,1],[6*10^-5,2*10^-5,-0.8*10^-5]);
subplot(3,1,1);
plot(t,x(:,1),'r-');
legend('x_1');
grid;
subplot(3,1,2);
plot(t,x(:,2),'b-');
legend('x_2');
grid;
subplot(3,1,3);
plot(t,x(:,3),'k-');
legend('x_3');
grid;
从图中可见振动抑制效果很理想，已满足设计指标。
七．总结
从以上的设计可总结出状态空间的控制器的设计思路。
1.首先对观测器的能观性与能控性进行判断；
2.如果完全能观或能控，则进行以下分析；如果不是，可以进行能控与能观分
解出来；
3.如果使用原系统状态反馈，可以根据系统要求进行极点配置，进而设计出控
制器；如果还需要设计观测器，可合理配置观测器极点，进而设计整个系统。
4.如果使用观测器状态反馈，由于分离定理，观测器与反馈可分别设计，所以
设计过程基本和上面一样；
5.对于以上系统都存在较大的余差，故需设计参考输入，或者采取积分控制器
都可以很好的消除稳态余差。