与圆有关的证明及计算1．已知，如图，直线MN交⊙O于A，B两点，AC是直径，AD平分∠CAM交⊙O于D，过D作DE⊥MN于E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若DE=6cm，AE=3cm，求⊙O的半径．2．如图，在△ABC，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠CBF=∠CAB．（1）求证：直线BF是⊙O的切线；（2）若AB=5，sin∠CBF=，求BC和BF的长．3．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD，垂足为E，DA 平分∠BDE．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）若∠DBC=30°，DE=1cm，求BD的长．4．如图，已知△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，D是的中点，过点D作直线BC的垂线，分别交CB、CA的延长线E、F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若EF=8，EC=6，求⊙O的半径．5．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB与点E，点P在⊙O上，∠1=∠C，（1）求证：CB∥PD；（2）若BC=3，sin∠P=，求⊙O的直径．6．如图，直线EF交⊙O于A、B两点，AC是⊙O直径，DE是⊙O的切线，且DE⊥EF，垂足为E．（1）求证：AD平分∠CAE；（2）若DE=4cm，AE=2cm，求⊙O的半径．7．如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作半圆⊙O交AC与点D，点E 为BC的中点，连接DE．（1）求证：DE是半圆⊙O的切线．（2）若∠BAC=30°，DE=2，求AD的长．8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径作⊙O交AB于点D点，连接CD．（1）求证：∠A=∠BCD；（2）若M为线段BC上一点，试问当点M在什么位置时，直线DM与⊙O相切？并说明理由．9．如图，已知AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD切⊙O于点D，过点B作BE垂直于PD，交PD的延长线于点C，连接AD并延长，交BE于点E．（1）求证：AB=BE；（2）若PA=2，cosB=，求⊙O半径的长．10．如图AB是⊙O的直径，PA，PC与⊙O分别相切于点A，C，PC交AB的延长线于点D，DE⊥PO交PO的延长线于点E．（1）求证：∠EPD=∠EDO；（2）若PC=6，tan∠PDA=，求OE的长．圆的动态探究题11．如图，⊙O半径为4cm，其内接正六边形ABCDEF，点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm/s速度沿AF，DC向中点F，G运动．连接PB，QE，设运动时间为t（s）．（1）求证：四边形PEQB为平行四边形；（2）填空：①当t=s时，四边形PBQE为菱形；②当t=s时，四边形PBQE为矩形．12．如图，AB为⊙O的直径，点C为AB延长线上一点，动点P从点A出发沿AC方向以lcm/s的速度运动，同时动点Q从点C出发以相同的速度沿CA方向运动，当两点相遇时停止运动，过点P作AB的垂线，分别交⊙O于点M和点N，已知⊙O的半径为l，设运动时间为t秒．（1）若AC=5，则当t=时，四边形AMQN为菱形；当t=时，NQ 与⊙O相切；（2）当AC的长为多少时，存在t的值，使四边形AMQN为正方形？请说明理由，并求出此时t的值．13．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=60°，以边上AC上一点O为圆心，OA为半径作⊙O，⊙O恰好经过边BC的中点D，并与边AC相交于另一点F．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）若BC=2，E是半圆上一动点，连接AE、AD、DE．填空：①当的长度是时，四边形ABDE是菱形；②当的长度是时，△ADE是直角三角形．14．如图，点A，B，C分别是⊙O上的点，且∠B=60°，CD是⊙O的直径，P是CD延长线上的一点，且AP=AC．（1）求证：AP是⊙O的切线；（2）若AC=3，填空：①当的长为时，以A，C，B，D为顶点的四边形为矩形；②当的长为时，△ABC的面积最大，最大面积为．15．四边形ABCD的对角线交于点E，且AE=EC，BE=ED，以AB为直径的半圆过点E，圆心为O．（1）利用图1，求证：四边形ABCD是菱形．（2）如图2，若CD的延长线与半圆相切于点F，且直径AB=8．①△ABD的面积为．②的长．16．在圆O中，AC是圆的弦，AB是圆的直径，AB=6，∠ABC=30°，过点C作圆的切线交BA的延长线于点P，连接BC．（1）求证：△PAC∽△PCB；（2）点Q在半圆ADB上运动，填空：①当AQ=时，四边形AQBC的面积最大；②当AQ=时，△ABC与△ABQ全等．17．如图，AB是⊙O的直径，点P是弦AC上一动点（不与A，C重合），过点P作PE⊥AB，垂足为E，射线EP交于点F，交过点C的切线于点D．（1）求证：DC=DP；（2）若直径AB=12cm，∠CAB=30°，①当E是半径OA中点时，切线长DC=cm：②当AE=cm时，以A，O，C，F为顶点的四边形是菱形．18．如图，⊙O的直径AB=4，点C为⊙O上的一个动点，连接OC，过点A作⊙O的切线，与BC的延长线交于点D，点E为AD的中点，连接CE．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）填空：①当CE=时，四边形AOCE为正方形；②当CE=时，△CDE为等边三角形．19．如图，△ABC是半径为2的⊙O的内接三角形，连接OA、OB，点D、E、F、G分别是CA、OA、OB、CB的中点．（1）试判断四边形DEFG的形状，并说明理由；（2）填空：①若AB=3，当CA=CB时，四边形DEFG的面积是；②若AB=2，当∠CAB的度数为时，四边形DEFG是正方形．20．如图，在△ABC中，AB=AC，点O为边AB的中点，OD⊥BC于点D，AM⊥BC于点M，以点O为圆心，线段OD为半径的圆与AM相切于点N．（1）求证：AN=BD；（2）填空：点P是⊙O上的一个动点，①若AB=4，连结OC，则PC的最大值是；②当∠BOP=时，以O，D，B，P为顶点四边形是平行四边形．1．已知，如图，直线MN交⊙O于A，B两点，AC是直径，AD平分∠CAM交⊙O于D，过D作DE⊥MN于E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若DE=6cm，AE=3cm，求⊙O的半径．【解答】（1）证明：连接OD．∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA．∵∠OAD=∠DAE，∴∠ODA=∠DAE．∴DO∥MN．∵DE⊥MN，∴∠ODE=∠DEM=90°．即OD⊥DE．∵D在⊙O上，OD为⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线．（2）解：∵∠AED=90°，DE=6，AE=3，∴．连接CD．∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC=∠AED=90°．∵∠CAD=∠DAE，∴△ACD∽△ADE．∴．∴．则AC=15（cm）．∴⊙O的半径是7.5cm．2．如图，在△ABC，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠CBF=∠CAB．（1）求证：直线BF是⊙O的切线；（2）若AB=5，sin∠CBF=，求BC和BF的长．【解答】（1）证明：连接AE，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=90°，∴∠1+∠2=90°．∵AB=AC，∴∠1=∠CAB．∵∠CBF=∠CAB，∴∠1=∠CBF∴∠CBF+∠2=90°即∠ABF=90°∵AB是⊙O的直径，∴直线BF是⊙O的切线．（2）解：过点C作CG⊥AB于G．∵sin∠CBF=，∠1=∠CBF，∴sin∠1=，∵在Rt△AEB中，∠AEB=90°，AB=5，∴BE=AB?sin∠1=，∵AB=AC，∠AEB=90°，∴BC=2BE=2，在Rt△ABE中，由勾股定理得AE==2，∴sin∠2===，cos∠2===，在Rt△CBG中，可求得GC=4，GB=2，∴AG=3，∵GC∥BF，∴△AGC∽△ABF，∴∴BF==3．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD，垂足为E，DA 平分∠BDE．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）若∠DBC=30°，DE=1cm，求BD的长．【解答】（1）证明：连接OA，∵DA平分∠BDE，∴∠BDA=∠EDA．∵OA=OD，∴∠ODA=∠OAD，∴∠OAD=∠EDA，∴OA∥CE．∵AE⊥CE，∴AE⊥OA．∴AE是⊙O的切线．（2）解：∵BD是直径，∴∠BCD=∠BAD=90°．∵∠DBC=30°，∠BDC=60°，∴∠BDE=120°．∵DA平分∠BDE，∴∠BDA=∠EDA=60°．∴∠ABD=∠EAD=30°．∵在Rt△AED中，∠AED=90°，∠EAD=30°，∴AD=2DE．∵在Rt△ABD中，∠BAD=90°，∠ABD=30°，∴BD=2AD=4DE．∵DE的长是1cm，∴BD的长是4cm．4．如图，已知△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，D是的中点，过点D作直线BC的垂线，分别交CB、CA的延长线E、F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若EF=8，EC=6，求⊙O的半径．【解答】（1）证明：连接OD交于AB于点G．∵D是的中点，OD为半径，∴AG=BG．∵AO=OC，∴OG是△ABC的中位线．∴OG∥BC，即OD∥CE．又∵CE⊥EF，∴OD⊥EF，∴EF是⊙O的切线．（2）解：在Rt△CEF中，CE=6，EF=8，∴CF=10．设半径OC=OD=r，则OF=10﹣r，∵OD∥CE，∴△FOD∽△FCE，∴，∴=，∴r=，即：⊙O的半径为．5．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB与点E，点P在⊙O上，∠1=∠C，（1）求证：CB∥PD；（2）若BC=3，sin∠P=，求⊙O的直径．【解答】（1）证明：∵∠C=∠P又∵∠1=∠C∴∠1=∠P∴CB∥PD；（2）解：连接AC∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°又∵CD⊥AB，∴=，∴∠P=∠CAB，又∵sin∠P=，∴sin∠CAB=，即=，又知，BC=3，∴AB=5，∴直径为5．6．如图，直线EF交⊙O于A、B两点，AC是⊙O直径，DE是⊙O的切线，且DE⊥EF，垂足为E．（1）求证：AD平分∠CAE；（2）若DE=4cm，AE=2cm，求⊙O的半径．【解答】（1）证明：连接OD，∵OD=OA，∴∠ODA=∠OAD，∵DE是⊙O的切线，∴∠ODE=90°，OD⊥DE，又∵DE⊥EF，∴OD∥EF，∴∠ODA=∠DAE，∴∠DAE=∠OAD，∴AD平分∠CAE；（2）解：连接CD，∵AC是⊙O直径，∴∠ADC=90°，在Rt△ADE中，DE=4cm，AE=2cm，∴根据勾股定理得：AD=cm，由（1）知：∠DAE=∠OAD，∠AED=∠ADC=90°，∴△ADC∽△AED，∴，即，∴AC=10，∴⊙O的半径是5．7．如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作半圆⊙O交AC与点D，点E 为BC的中点，连接DE．（1）求证：DE是半圆⊙O的切线．（2）若∠BAC=30°，DE=2，求AD的长．【解答】（1）证明：连接OD，OE，BD，∵AB为圆O的直径，∴∠ADB=∠BDC=90°，在Rt△BDC中，E为斜边BC的中点，∴DE=BE，在△OBE和△ODE中，，∴△OBE≌△ODE（SSS），∴∠ODE=∠ABC=90°，则DE为圆O的切线；（2）在Rt△ABC中，∠BAC=30°，∴BC=AC，∵BC=2DE=4，∴AC=8，又∵∠C=60°，DE=CE，∴△DEC为等边三角形，即DC=DE=2，则AD=AC﹣DC=6．8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径作⊙O交AB于点D点，连接CD．（1）求证：∠A=∠BCD；（2）若M为线段BC上一点，试问当点M在什么位置时，直线DM与⊙O相切？并说明理由．【解答】（1）证明：∵AC为直径，∴∠ADC=90°，∴∠A+∠DCA=90°，∵∠ACB=90°，∴∠DCB+∠ACD=90°，∴∠DCB=∠A；（2）当MC=MD（或点M是BC的中点）时，直线DM与⊙O相切；解：连接DO，∵DO=CO，∴∠1=∠2，∵DM=CM，∴∠4=∠3，∵∠2+∠4=90°，∴∠1+∠3=90°，∴直线DM与⊙O相切，故当MC=MD（或点M是BC的中点）时，直线DM与⊙O相切．9．如图，已知AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD切⊙O于点D，过点B作BE垂直于PD，交PD的延长线于点C，连接AD并延长，交BE于点E．（1）求证：AB=BE；（2）若PA=2，cosB=，求⊙O半径的长．【解答】（1）证明：连接OD，∵PD切⊙O于点D，∴OD⊥PD，∵BE⊥PC，∴OD∥BE，∴∠ADO=∠E，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ADO，∴∠OAD=∠E，∴AB=BE；（2）解：由（1）知，OD∥BE，∴∠POD=∠B，∴cos∠POD=cosB=，在Rt△POD中，cos∠POD==，∵OD=OA，PO=PA+OA=2+OA，∴，∴OA=3，∴⊙O半径=3．10．如图AB是⊙O的直径，PA，PC与⊙O分别相切于点A，C，PC交AB的延长线于点D，DE⊥PO交PO的延长线于点E．（1）求证：∠EPD=∠EDO；（2）若PC=6，tan∠PDA=，求OE的长．【解答】（1）证明：PA，PC与⊙O分别相切于点A，C，∴∠APO=∠EPD且PA⊥AO，∴∠PAO=90°，∵∠AOP=∠EOD，∠PAO=∠E=90°，∴∠APO=∠EDO，∴∠EPD=∠EDO；（2）解：连接OC，∴PA=PC=6，∵tan∠PDA=，∴在Rt△PAD中，AD=8，PD=10，∴CD=4，∵tan∠PDA=，∴在Rt△OCD中，OC=OA=3，OD=5，∵∠EPD=∠ODE，∴△DEP∽△OED，∴===2，∴DE=2OE在Rt△OED中，OE2+DE2=OD2，即5OE2=52，∴OE=．11．如图，⊙O半径为4cm，其内接正六边形ABCDEF，点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm/s速度沿AF，DC向中点F，G运动．连接PB，QE，设运动时间为t（s）．（1）求证：四边形PEQB为平行四边形；（2）填空：①当t=2s时，四边形PBQE为菱形；②当t=0或4s时，四边形PBQE为矩形．【解答】（1）证明：∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，，∠A=∠ABC=∠C=∠D=∠DEF∠F，∴AB=BC=CD=DE=EF=FA∵点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm/s速度，运动时间为t（s），∴AP=DQ=t，则PF=QC=4﹣t，在△ABP和△DEQ中∴△ABP≌△DEQ（SAS）∴BP=EQ，同理可证，PE=QB，∴四边形PEQB是平行四边形．（2）解：①当四边形PBQE为菱形时，PB=PE=EQ=QB，∴△ABP≌△DEQ≌△PFE≌△QCB，∴AP=PF=DQ=QC，即t=4﹣t，得t=2，故答案为：2；②当t=0时，∠EPF=∠PEF=30°，∴∠BPE=120°﹣30°=90°，∴此时四边形PBQE为矩形；当t=4时，∠ABP=∠APB=30°，∴∠BPE=120°﹣30°=90°，∴此时四边形PBQE为矩形．故答案为：0或4．12．如图，AB为⊙O的直径，点C为AB延长线上一点，动点P从点A出发沿AC方向以lcm/s的速度运动，同时动点Q从点C出发以相同的速度沿CA方向运动，当两点相遇时停止运动，过点P作AB的垂线，分别交⊙O于点M和点N，已知⊙O的半径为l，设运动时间为t秒．（1）若AC=5，则当t=时，四边形AMQN为菱形；当t=时，NQ 与⊙O相切；（2）当AC的长为多少时，存在t的值，使四边形AMQN为正方形？请说明理由，并求出此时t的值．【解答】解：（1）AP=t，CQ=t，则PQ=5﹣2t，∵NM⊥AB，∴PM=PN，∴当PA=PQ时，四边形AMQN为菱形，即t=5﹣2t，解得t=；当∠ONQ=90°时，NQ与⊙O相切，如图，OP=t﹣1，OQ=AC﹣OA﹣QC=5﹣1﹣t=4﹣t，∵∠NOP=∠QON，∴Rt△ONP∽Rt△OQN，∴=，即=，整理得t2﹣5t+5=0，解得t1=，t2=（1≤t≤2.5，故舍去），即当t=时，NQ与⊙O相切；故答案为，；（2）当AC的长为3时，存在t=1，使四边形AMQN为正方形．理由如下：∵四边形AMQN为正方形．∴∠MAN=90°，∴MN为⊙O的直径，而∠MQN=90°，∴点Q在⊙O上，∴AQ为直径，∴点P在圆心，∴MN=AQ=2，AP=1，∴t=AP=1，CQ=t=1，∴AC=AQ+CQ=2+1=3．13．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=60°，以边上AC上一点O为圆心，OA为半径作⊙O，⊙O恰好经过边BC的中点D，并与边AC相交于另一点F．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）若BC=2，E是半圆上一动点，连接AE、AD、DE．填空：①当的长度是π时，四边形ABDE是菱形；②当的长度是π或π时，△ADE是直角三角形．【解答】（1）证明：连接OD，如图，∵∠BAC=90°，点D为BC的中点，∴DB=DA=DC，∵∠B=60°，∴△ABD为等边三角形，∴∠DAB=∠ADB=60°，∠DAC=∠C=30°，而OA=OD，∴∠ODA=∠OAD=30°，∴∠ODB=60°+30°=90°，∴OD⊥BC，∴BD是⊙O的切线；（2）解：①∵△ABD为等边三角形，∴AB=BD=AD=CD=，在Rt△ODC中，OD=CD=1，当DE∥AB时，DE⊥AC，∴AD=AE，∵∠ADE=∠BAD=60°，∴△ADE为等边三角形，∴AD=AE=DE，∠ADE=60°，∴∠AOE=2∠ADE=120°，∴AB=BD=DE=AE，∴四边形ABDE为菱形，此时的长度==π；②当∠ADE=90°时，AE为直径，点E与点F重合，此时的长度==π；当∠DAE=90°时，DE为直径，∠AOE=2∠ADE=60°，此时的长度==π，所以当的长度为π或π时，△ADE是直角三角形．故答案为π；π或π．14．如图，点A，B，C分别是⊙O上的点，且∠B=60°，CD是⊙O的直径，P是CD延长线上的一点，且AP=AC．（1）求证：AP是⊙O的切线；（2）若AC=3，填空：①当的长为π时，以A，C，B，D为顶点的四边形为矩形；②当的长为π时，△ABC的面积最大，最大面积为．【解答】（1）证明：连接OA．∵∠B=60°，∴∠AOC=2∠B=120°，又∵OA=OC，∴∠ACP=∠CAO=30°，∴∠AOP=60°，∵AP=AC，∴∠P=∠ACP=30°，∴∠OAP=90°，∴OA⊥AP，∴AP是⊙O的切线，（2）①连接AD，∵∠ADC=∠B=60°，CD是直径，∴∠DAC=90°，∵AC=3，∴AD=，CD=2，OC=，当AB是直径时，四边形ADBC是矩形，此时==π．②∵∠B=60°，∴当BA=BC时，△ABC的面积最大，此时△ABC是等边三角形，∴==π，S△ABC=×32=．15．四边形ABCD的对角线交于点E，且AE=EC，BE=ED，以AB为直径的半圆过点E，圆心为O．（1）利用图1，求证：四边形ABCD是菱形．（2）如图2，若CD的延长线与半圆相切于点F，且直径AB=8．①△ABD的面积为16．②的长π．【解答】解：（1）∵AE=EC，BE=ED，∴四边形ABCD是平行四边形．∵AB为直径，且过点E，∴∠AEB=90°，即AC⊥BD．∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是菱形．（2）①连结OF．∵CD的延长线与半圆相切于点F，∴OF⊥CF．∵FC∥AB，∴OF即为△ABD中AB边上的高．∴S△ABD=AB×OF=×8×4=16，∵点O是AB中点，点E是BD的中点，∴S△OBE=S△ABD=4．②过点D作DH⊥AB于点H．∵AB∥CD，OF⊥CF，∴FO⊥AB，∴∠F=∠FOB=∠DHO=90°．∴四边形OHDF为矩形，即DH=OF=4．∵在Rt△DAH中，sin∠DAB==，∴∠DAH=30°．∵点O，E分别为AB，BD中点，∴OE∥AD，∴∠EOB=∠DAH=30°，∴的长度==π．故答案为：16，π．16．在圆O中，AC是圆的弦，AB是圆的直径，AB=6，∠ABC=30°，过点C作圆的切线交BA的延长线于点P，连接BC．（1）求证：△PAC∽△PCB；（2）点Q在半圆ADB上运动，填空：①当AQ=3时，四边形AQBC的面积最大；②当AQ=3或3时，△ABC与△ABQ全等．【解答】（1）证明：如图1所示，连接OC．∵PC是圆O的切线，OC是半径，∴OC⊥PC，∴∠PCO=90°∴∠PCA+∠ACO=90°，∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴∠B+∠CAB=90°，∵OC=OA，∴∠OAC=∠OCA，∴∠B+∠OCA=90°，∴∠PCA=∠B，又∵∠P=∠P，∴△PAC∽△PCB；（2）解：①当点Q运动到OQ⊥AB时，四边形AQBC的面积最大；如图2所示：连接AQ、BQ，∵OA=OB，OQ⊥AB，∴OQ=BQ，∵AB是直径，∴∠AQB=90°，∴△ABQ是等腰直角三角形，∴AQ=AB=3，故答案为：3；②如图3所示：∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，∴AC=AB=3，BC=AC=3，分两种情况：a．当AQ=AC=3时，在Rt△ABC和Rt△ABQ中，，∴△ABC≌△ABQ（HL）；b．当AQ=BC=3时，同理△ABC≌△BAQ；综上所述：当AQ=3或3时，△ABC与△ABQ全等．17．如图，AB是⊙O的直径，点P是弦AC上一动点（不与A，C重合），过点P作PE⊥AB，垂足为E，射线EP交于点F，交过点C的切线于点D．（1）求证：DC=DP；（2）若直径AB=12cm，∠CAB=30°，①当E是半径OA中点时，切线长DC=4cm：②当AE=3cm时，以A，O，C，F为顶点的四边形是菱形．【解答】解：（1）连接OC．∵CD是⊙O的切线，∴∠OCD=90°，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∵PE⊥AB，∴∠PEA=90°，∴∠OAC+∠APE=90°，∠OCA+∠PCD=90°，∴∠APE=∠PCD，∵∠APE=∠CPD，∴∠PCD=∠CPD，∴DC=DP．（2）①连接BC，∵AB是直径，∴∠ACB=90°∵∠A=30°，AB=12，∵AC=AB?cos30°=6，在Rt△APE中，∵AE=OA=3，∴AP=AE÷cos30°=2，∴PC=AC﹣AP=4，∵∠APE=∠DPC=60°，DP=DC，∴△DPC是等边三角形，∴DC=4，故答案为4．②当AE=EO时，四边形AOCF是菱形．理由：连接AF、OF．∵AE=EO，FE⊥OA，∴FA=FO=OA，∴△AFO是等边三角形，∴∠FAO=60°，∵∠CAB=30°，∴∠FAC=30°，∠FOC=2∠FAC=60°，∴△FOC是等边三角形，∴CF=CO=OA=AF，∴四边形AOCF是菱形，∴AE=3cm时，四边形AECF是菱形．故答案为3．18．如图，⊙O的直径AB=4，点C为⊙O上的一个动点，连接OC，过点A作⊙O的切线，与BC的延长线交于点D，点E为AD的中点，连接CE．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）填空：①当CE=2时，四边形AOCE为正方形；②当CE=时，△CDE为等边三角形．【解答】（1）证明：连接AC、OE，如图（1），∵AB为直径，∴∠ACB=90°，∴△ACD为直角三角形，又∵E为AD的中点，∴EA=EC，在△OCE和△OAE中，，∴△OCE≌△OAE（SSS），∴∠OCE=∠OAE=90°，∴CE⊥OC，∴CE是⊙O的切线；（2）解：①C在线段BD的中点时，四边形AOCE为正方形．理由如下：当C为边BD的中点，而E为AD的中点，∴CE为△BAD的中位线，∴CE∥AB，CE=AB=OA，∴四边形OAEC为平行四边形，∵∠OAE=90°，∴平行四边形OCEA是矩形，又∵OA=OC，∴矩形OCEA是正方形，∴CE=OA=2，故答案为：2；②连接AC，如图（2），∵△CDE为等边三角形，∴∠D=60°，∠ABD=30°，CE=CD，在Rt△ABC中，AC=AB=2，在Rt△ACD中，∵tan∠D=，∴CD===，∴CE=，故答案为：．19．如图，△ABC是半径为2的⊙O的内接三角形，连接OA、OB，点D、E、F、G分别是CA、OA、OB、CB的中点．（1）试判断四边形DEFG的形状，并说明理由；（2）填空：①若AB=3，当CA=CB时，四边形DEFG的面积是；②若AB=2，当∠CAB的度数为75°或15°时，四边形DEFG是正方形．【解答】解：（1）四边形DEFG是平行四边形．∵点D、E、F、G分别是CA、OA、OB、CB的中点，∴DG∥AB，DG=AB，EF∥AB，EF=AB，∴DG∥EF，DG=EF，∴四边形DEFG是平行四边形；（2）①连接OC．∵CA=CB，∴=，∴DG⊥OC，∵AD=DC，AE=EO，∴DE∥OC，DE=OC=1，同理EF=AB=，∴DE⊥DG，∴四边形DEFG是矩形，∴四边形DEFG的面积=．故答案为；②当C是优弧AB的中点时，四边形DEFG是正方形，此时∠CAB=75°，当C是劣弧AB的中点时，四边形DEFG是正方形，此时∠CAB=15°，故答案为75°或15°．20．如图，在△ABC中，AB=AC，点O为边AB的中点，OD⊥BC于点D，AM⊥BC于点M，以点O为圆心，线段OD为半径的圆与AM相切于点N．（1）求证：AN=BD；（2）填空：点P是⊙O上的一个动点，①若AB=4，连结OC，则PC的最大值是2+；②当∠BOP=45°或135°时，以O，D，B，P为顶点四边形是平行四边形．【解答】（1）证明：如图1中，连接ON．∵AM是⊙O的切线，∴ON⊥AM，∵OD⊥BC，AM⊥BC，∴∠ODM=∠ONM=∠DMN=90°，∴四边形ODMN是矩形，∵OD=ON，∴四边形ODMN是正方形，∴OD=ON=DM=MN，∵OA=OB，OD∥AM，ON∥BM，∴BD=DM，AN=MN，∴BD=AN；（2）①如图2中，连接OC、PC．∵PC≤OC+OP，∴当点P在CO的延长线时，P、O、C共线时，PC的值最大，最大值为OC+OP．由（1）可知，BM=AM，∠AMB=90°，∴∠B=45°，∵AB=AC=4，∴△ABC是等腰直角三角形，BM=AM=MC=2，OP=OD=BD=DM=，∴OA=2，OC==2，∴PC的最大值为2+；②如图3中，由题意以O，D，B，P为顶点四边形是平行四边形当OB为对角线时，OP∥BD，可得∠BOP=∠ABC=45°，﹣∠ABC=135°．当OB为边时，OP′∥BC，可得∠BOP′=180°综上所述，当∠POB=45°或135°时，以O，D，B，P为顶点四边形是平行四边形；。