初中数学专题讲义-圆(一)一、课标下复习指南1．圆的有关概念圆、圆心、半径、等圆；弦、直径、弦心距、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧；三角形的外接圆、三角形的内切圆、三角形的外心、三角形的内心、圆心角、圆周角．2．圆的对称性圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴；圆是以圆心为对称中心的中心对称图形．圆具有旋转不变性．3．圆的确定不在同一直线上的三个点确定一个圆．4．垂直于弦的直径垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．推论平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．5．圆心角、弧、弦之间的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等．6．圆周角圆周角定理在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论1 在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．7．点和圆的位置关系设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d＝r；点P在圆内⇔d＜r．8直线和圆相离相切相交的位置图形公共点的0 1 2个数公共点无切点交点名称直线名称无切线割线圆心到直线的距离d＞r d＝r d＜rd与半径r的关系9．切线的判定切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． (会过圆上一点画圆的切线) 10．切线的性质切线的性质定理 圆的切线垂直于过切点的半径． 11．切线长和切线长定理切线长经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长． 切线长定理从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角． 二、例题分析例1 已知：如图14－1，在⊙O 中，弦AB 的中点为C ，过点C 的半径为OD ．图14－1(1)若AB ＝32，OC ＝1，求CD 的长；(2)若半径OD ＝R ，∠AOB ＝120°，求CD 的长．分析 圆的半径、弦长的一半、弦心距三条线段组成一个直角三角形，其中一个锐角为弦所对圆心角的一半，可充分利用它们的关系解决有关垂径定理的计算问题．解 ∵半径OD 经过弦AB 的中点C ， ∴半径OD ⊥AB(1)∵AB ＝32，∴AC ＝BC ＝3． ∵OC ＝1，由勾股定理得OA ＝2． ∴CD ＝OD －OC ＝OA －OC ＝1． (2)∵OD ⊥AB ，OA ＝OB ， ∴∠AOD ＝∠BOD ．∵∠AOB ＝120°，∴∠AOC ＝60°．,2160cos cos R OA AOC OA OC =⋅=∠⋅=οΘ .2121R R R OC OD CD =-=-=∴说明 如图14－1，一般的，若∠AOB ＝2n °，OD ⊥AB 于C ，OA ＝R ，OC ＝h ， 则AB ＝2R ·sin n °＝2h ·tan n °;222h R -=CD ＝R －h ；的长＝⋅180πRn 例2 已知：如图14－2，⊙O 中，半径OA ＝4，弦BC 经过半径OA 的中点P ，∠OPC ＝60°，求弦BC 的长．图14－2分析 要用好60°角，构造直角三角形．在圆中常用的是作出弦的弦心距，由弦心距，半弦长及半径构成直角三角形．解 过O 作OM ⊥BC 于M ，连接OC ． 在Rt △OPM 中，∠OPC ＝60°，,221==OA OP.3,1==∴OM PM在Rt △OMC 中，.1322222=-==OM OC MC BC例3 已知：如图14－3，△ABC 内接于⊙O ，BD ⊥半径AO 于D ．图14－3(1)求证：∠C ＝∠ABD ；(2)若BD ＝4.8，sin C ＝54，求⊙O 的半径． 分析 解决圆周角的问题中常用的方法有两种：一是把圆周角转化为同弧所对圆心角的一半的角；二是将圆周角的顶点移动到使其一边经过圆心．解法一：(1)过O 作OE ⊥AB 于E ，连接BO (如图14－4)，则又BOA C ∠=∠21＝∠AOE ．图14－4∵BD ⊥AO ，∴∠ABD ＋∠BAD ＝90°．又∵∠AOE ＋∠BAD ＝90°， ∴∠ABD ＝∠AOE ＝∠C ． 在Rt △ABD 中，,sin ABADABD =∠ ⋅==∴54sin C AB AD 设AD ＝4k ，则AB ＝5k ， BD ＝3k ＝4.8，k ＝1.6． ∴AB ＝8，AE ＝4． ,sin OAAE AOE =∠Θ .5454=∴⋅=∴OA OA解法二：(1)延长AO 交⊙O 于C ′，连接BC ′．(如图14－5)图14－5∴∠C ′＝∠C ．∵AC ′为⊙O 的直径， ∴∠ABC ′＝90°．∴∠C ′＋∠BAD ＝90°． ∵∠BAD ＋∠ABD ＝90°， ∴∠ABD ＝∠C ′＝∠C ． (2)在Rt △BDC ′中，,'sin sin BC BDC C ='= .68.08.4=='∴BC 在Rt △ABC ′中，,54sin ='='AC AB C Θ ∴设AB ＝4k ，则AC ′＝5k ，BC ′＝3k ＝6． ∴k ＝2．.5102121=⨯==∴AC OA 例4 已知：如图14－6所示，AB 是⊙O 的直径，∠BAC ＝30°，M 是OA 上一点，过M 作AB 的垂线交AC 于点N ，交BC 的延长线于点E ，直线CF 交EN 于点F ，且∠ECF ＝∠E ．图14－6(1)求证：CF 是⊙O 的切线；(2)设⊙O 的半径为1，且AC ＝CE ，求MO 的长． 分析 连接OC ，证OC ⊥CF 是证切线的常用方法． (1)证明连接OC ． ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°．∵∠BAC ＝30°，∴∠ABC ＝60°．在Rt △EMB 中，∵∠E ＋∠MBE ＝90°， ∴∠E ＝30°．∵∠E ＝∠ECF ，∴∠ECF ＝30°． ∴∠ECF ＋∠OCB ＝90°．又∵∠ECF ＋∠OCB ＋∠OCF ＝180°， ∴∠OCF ＝90°． ∴CF 为⊙O 的切线． (2)解 在Rt △ACB 中， ∠A ＝30°，∠ACB ＝90°，,323230cos =⨯=⋅=∴οAB AC .121230sin =⨯=⋅=οAB BC ∵AC ＝CE ，∴BE ＝BC ＋CE ＝.31+ 在Rt △BEM 中，∠E ＝30°，∠BME ＝90°， ∴MB ＝BE ·sin30°＝⋅+=⨯+23121)31(∴MO ＝MB －OB ＝⋅-=-+2131231 说明 有关切线的判定，主要有两种类型，若题目已经给出了直线与圆有公共点，可采用“连半径证垂直”的方法(此题就如此)；若要判定的直线与已知圆的公共点没有给出，可采用“过圆心作垂线，证垂线段等于半径”的方法，简称“作垂直证半径”． 三、课标下新题展示例5 (2008荆门市) 如图14－7，⊙O 是Rt △ABC 的外接圆，AB 为直径，∠ABC ＝30°，CD 是⊙O 的切线，ED ⊥AB 于F ．图14－7(1)判断△DCE 的形状；(2)设⊙O 的半径为1，且213-=OF 求证△DCE ≌△OCB ． 解 (1)∵∠ABC ＝30°，∴∠BAC ＝60°． 又∵OA ＝OC ，∴△AOC 是正三角形． ∵CD 是切线，∴∠OCD ＝90°．∴∠DCE ＝180°－60°－90°＝30°． ∴∠DCE ＝∠DEC ．而ED ⊥AB 于F ， ∴∠CED ＝90°－∠BAC ＝30°． 故△CDE 为等腰三角形． (2)证明：在△ABC 中，∵AB ＝2，AC ＝AO ＝1，.3=∴BC ⋅+=+=∴-=213,213OF AO AF OF Θ 又∵∠AEF ＝30°，∴.132+==AF AE .3BC AC AE CE ==-=∴而∠OCB ＝∠ACB －∠ACO ＝30°＝∠ABC ，故△CDE ≌△COB ．例6 如图14－8，AB 是⊙O 的直径，AF 是⊙O 的弦，AE 平分∠BAF ，交⊙O 于点E ，过点E 作直线ED ⊥AF 于点D ，交AB 的延长线于点C ．图14－8 图14－9(1)求证：CD 是⊙O 的切线；(2)若DE ＝4，53sin =C ，求AE 的长． 解 (1)证明：连接OE ，BF ，交于点G ， 则BF ⊥AF ，BF ∥CD ．∵OA ＝OE ，∴∠OAE ＝∠OEA ．∵∠OAE ＝∠F AE ，∴∠OEA ＝∠F AE ． ∴OE ∥AF ，∵AF ⊥DE ，∴OE ⊥CD ． ∴CD 为⊙O 的切线．(2)解：∵BF ∥DE ，OE ∥AF ，∠D ＝90°， ∴四边形DEGF 为矩形． ∴BF ＝2GF ＝2DE ＝8．∵BF ∥CD ，∴∠C ＝∠ABF ． 可求得OA ＝OB ＝5，OG ＝3．∴DF ＝EG ＝2，AF ＝AB ·sin C ＝6．.5484,822=+==∴AE AD说明 (1)通过挖掘图形的性质，将分散的条件53sin =C ，DE ＝4，集中到一个直角三角形中，使问题最终得到解决；(2)本题第(2)问还可以适当改变后进行变式训练，如改为：若DF ＝2，53sin =C ，求AE 的长；(3)第(2)问还可以过O 作OM ⊥AF 于M 后得OM ＝DE ＝4，sin ∠AOM ＝53sin =C 加以解决(构造半径、半弦、弦心距的直角三角形．)例7 如图14－10，⊙O 的直径AB ＝4，点P 是AB 延长线上的一点，PC 切⊙O 于点C ，连接AC ．PM 平分∠APC 交AC 于M ．图14－10(1)若∠CP A ＝30°，求CP 的长及∠CMP 的度数；(2)若点P 在AB 的延长线上运动，你认为∠CMP 的大小是否发生变化?若变化，说明理由；若不变化，请求出∠CMP 的度数；(3)若点P 在直径BA 的延长线上，PC 切⊙O 于点C ，那么∠CMP 的大小是否变化?请直接写出你的结论．提示 (1)当题目条件中有“PC 切⊙O 于点C ”时，可连接半径OC ，利用切线的性质得出∠OCP ＝90°，这也是解题的基本方法．解 (1)连接OC ，则∠OCP ＝90°．∵OA ＝OC ，∴∠COP ＝2∠CAP ＝60°．,3260tan 2160tan =⋅=⋅=οοΘAB OC CP .32=∴CP∵PM 平分∠CP A ，)90(2121COP CPA MPA ∠-=∠=∠∴ο .15)6090(21οοο=-=∴∠CMP ＝∠CAP ＋∠MP A ＝45°． (2)设∠CP A ＝α，∵PM 平分∠CP A ，.2121α=∠=∠∴CPA MPA ∵∠OCP ＝90°，∴∠COP ＝90°－α． 又∵OA ＝OC ，).90(21α-=∠∴οCAP ∴∠CMP ＝∠CAP ＋∠MP A .4521)90(21οο=+-=αα (3)∠CMP 的大小______，并且∠CMP ＝______(请读者自己填写)．说明 本题是将株洲市2008初中毕业学业考试中的21题做了适当改编得到的．一方面第(1)小题增加了求∠CMP ，为第(2)小题做了铺垫；另一方面添加了第(3)小题，让读者研究点P 在直径BA 的延长线上的条件下，相应∠CMP 的结论．解第(2)小题时，引用“设∠CP A ＝α”这一方法，用代数方法计算得出结论，减少了解题的难度．三、课标考试达标题 (一)选择题1．在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，CD ⊥AB 于点D ，若以C 为圆心，2.3cm 为半径作⊙O ，则点D 与⊙O 的位置关系是( )． A ．点D 在⊙O 外 B ．点D 在⊙O 上 C ．点D 在⊙O 内 D ．无法确定2．如图14－11，有一圆弧形桥拱，拱形的半径OA ＝10m ，桥拱的跨度AB ＝16m ，则拱高CD 为( )．图14－11A ．4mB ．6mC ．8mD ．10m 3．如图14－12，AB 是⊙O 的直径，若∠C ＝26°，则∠ABD 等于( )．图14－12A ．36°B ．38°C ．52°D ．64°4．如图14－13，P 是⊙O 外一点，P A ，PB 切⊙O 于点A ，B ，点C 在优弧AB 上，若∠P ＝68°，则∠ACB 等于( )．图14－13A ．22°B ．34°C ．56°D ．68°5．如图14－14，⊙O 是△ABC 的外接圆，AD 是⊙O 的直径，若⊙O 的半径23=r ，AC ＝2，则cos B 的值为( )．图14－14A ．23 B ．35 C ．25 D ．32(二)填空题6．若圆外一点到圆的最大距离是18cm ，到圆的最小距离是5cm ，则圆的半径是______． 7．如图14－15，在△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，AE 是△ABC 外接圆的直径，则图中与∠BAE 相等的角是______．图14－158．在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝5cm ，BC ＝3cm ，若以A 为圆心，4cm 为半径作⊙A ，则直线BC 与⊙A 的位置关系是______．9．如图14－16，在平面直角坐标系中，点A 在第一象限，⊙A 与x 轴相切于B ，与y 轴交于C (0，1)，D (0，4)两点，则点A 的坐标是______．图14－1610．已知：如图14－17，⊙O 的半径为3cm ，B 为⊙O 外一点，OB 交⊙O 于点A ，AB ＝OA ，动点P 从点A 出发，以πcm/s 的速度在⊙O 上按逆时针方向运动一周回到点A 立即停止．当点P 运动的时间为______s 时，BP 与⊙O 相切．图14－1711．(2006宁波)已知∠BAC＝45°，一动点O在射线AB上运动(点O与点A不重合)，设OA＝x，如果半径为1的⊙O与射线AC只有一个公共点，那么x的取值范围是______．(三)解答题12．如图14－18，M是的中点，过点M的弦MN交AB于点C，设⊙O的半径为4cm，MN．4cm3图14－18(1)求圆心O到弦MN的距离；(2)求∠ACM的度数．2长为半径作⊙M 13．如图14－19，在平面直角坐标系中，以点M(0，3)为圆心，以3交x轴于A，B两点，交y轴于C，D两点，连接AM并延长交⊙M于P点，连接PC 交x轴于E点．图14－19(1)求出CP所在直线的解析式；(2)连接AC，求△ACP的面积．14．如图14－20，梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2cm，CD＝4cm，以BC上一点O为圆心的⊙O经过A，D两点，且∠AOD＝90°，求圆心O到弦AD的距离．图14－2015．如图14－21，等腰三角形ABC中，AC＝BC＝10，AB＝12，以BC为直径作⊙O交AB 于D，交AC于G，DE⊥AC于E．图14－21(1)求证：直线ED是⊙O的切线；(2)求GE的长．参考答案圆(一)1．A ． 2．A ． 3．D ． 4．C 5．B ．6．6.5cm ． 7．∠CAD ． 8．相切． 9．)25,2(10．1或5．11．0＜x ＜1或2=x ，注意直线AC 与⊙O 相交时，⊙O 与射线AC 也只有一个公共点．12．(1)2cm ；(2)60°．13．(1)).3,0(),32,3(-C P 解析式：.33-=x y (2).36,6,32===∆PCA S PC AC14．BO ＝CD ＝4cm ，OC ＝AB ＝2cm ．cm 52==∴OD OA ∵∠AOD ＝90°，∴O 到AD 的距离是cm.1015．解(1)连接OD ，CD ，∴DO ∥AC ．∵DE ⊥AC ，∴DO ⊥DE ．∴DE 是⊙O 切线．(2)连接BG ，∴BG ⊥AC ，∴DE ∥BG ．∵D 为AB 中点，∴AE ＝GE ．在Rt △ADC 中，AD ＝6，AC ＝10，∴AE ＝3.6，∴GE ＝3.6．。