第七节n次独立重复试验与二项分布A组基础题组1.打靶时甲每打10次,可中靶8次;乙每打10次,可中靶7次.若两人同时射击一个目标,则他们都中靶的概率是( )A. B. C. D.答案 D 由题意知甲中靶的概率为,乙中靶的概率为,两人打靶相互独立,同时中靶的概率P=×=.2.(2018福建厦门二模,6)袋中装有2个红球,3个黄球,有放回地抽取3次,每次抽取1球,则3次中恰有2次抽到黄球的概率是( )A. B. C. D.答案 D 袋中装有2个红球,3个黄球,有放回地抽取3次,每次抽取1球,每次取到黄球的概率P1=,∴3次中恰有2次抽到黄球的概率P=-=.3.如图,元件Ai(i=1,2,3,4)通过电流的概率均为0.9,且各元件是否通过电流相互独立,则电流能在M,N之间通过的概率是( )A.0.729B.0.882 9C.0.864D.0.989 1答案 B 电流能通过A1,A2的概率为0.9×0.9=0.81,电流能通过A3的概率为0.9,故电流不能通过A1,A2,且也不能通过A3的概率为(1-0.81)×(1-0.9)=0.019.故电流能通过元件A1,A2,A3的概率为1-0.019=0.981,而电流能通过A4的概率为0.9,故电流能在M,N之间通过的概率是0.981×0.9=0.882 9.4.甲、乙两名羽毛球运动员要进行三场比赛,且这三场比赛可看作三次独立重复试验,若甲至少取胜一次的概率为,则甲恰好取胜一次的概率为( ) A.B.C.D.答案 C 假设甲取胜为事件A,每次甲胜的概率为p,由题意得,事件A 发生的次数X~B(3,p),则有1-(1-p)3= ,得p=,则事件A恰好发生一次的概率为 ×× - = .5.甲、乙两人同时解答某一问题,解答成功的概率是0.8,已知甲单独解答成功的概率是0.6,甲、乙单独解答成功与否互不影响,则乙单独解答成功的概率是 . 答案 0.5解析 设乙单独解答成功的概率是p, 则0.6(1-p)+(1-0.6)p+0.6p=0.8, 解得p=0.5.6.甲、乙两个狙击手对同一个目标各射击一次,其命中率分别为0.9,0.95.现已知目标被击中,则它被乙击中的概率是 .(精确到小数点后第三位) 答案 0.955解析 设“目标被击中”为事件A,“被乙击中”为事件B,则P(A)=0.9×(1-0.95)+(1-0.9)×0.95+0.9×0.95=0.995,P(AB)=P(B)=0.95, 所以P(B|A)= ( ) ( )= .. ≈0.955.7.某气象站天气预报的准确率为80%,计算(结果保留到小数点后两位): (1)5次预报中恰有2次准确的概率; (2)5次预报中至少有2次准确的概率;(3)5次预报中恰有2次准确,且其中第3次预报准确的概率.解析令X表示5次预报中预报准确的次数,则X~B,.(1)“5次预报中恰有2次准确”的概率为P(X=2)=××-=10××≈0.05.(2)“5次预报中至少有2次准确”的概率为P(X≥2)=1-P(X=0)-P(X=1)=1-××--××-=1-0.000 32-0.006 4≈0.99.(3)“5次预报中恰有2次准确,且其中第3次预报准确”的概率为××-×≈0.02.8.甲、乙两支排球队进行比赛,约定先胜3局者获得比赛的胜利,比赛随即结束.除第五局甲队获胜的概率是外,其余每局比赛甲队获胜的概率都是.假设各局比赛结果相互独立.(1)分别求甲队以3∶0,3∶1,3∶2获胜的概率;(2)若比赛结果为3∶0或3∶1,则胜利方得3分、对方得0分;若比赛结果为3∶2,则胜利方得2分、对方得1分.求乙队得分X的分布列.解析(1)记“甲队以3∶0获胜”为事件A1,“甲队以3∶1获胜”为事件A2,“甲队以3∶2获胜”为事件A3,又各局比赛结果相互独立,故P(A1)==,P(A2)=-×=,P(A3)=-×=.所以,甲队以3∶0获胜、以3∶1获胜的概率都为,以3∶2获胜的概率为.(2)设“乙队以3∶2获胜”为事件A4,又各局比赛结果相互独立,所以P(A4)=-××-=.由题意,随机变量X的所有可能的取值为0,1,2,3.P(X=0)=P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)=,P(X=1)=P(A3)=,P(X=2)=P(A4)=,P(X=3)=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=2)==.故X的分布列为B组提升题组1.(2018江西名校联考)有一个公用电话亭,在观察使用这个电话亭的人流量时,设在某一时刻,有n(n∈N)个人正在使用或等待使用电话的概率为P(n),且P(n)与时刻t无关,统计得到P(n)=·()(),(),那么P(0)的值是( )A.0B.1C.D.答案 C 由题意知,在任意时刻,该公用电话亭不超过5人正在使用或等待使用电话,∴“有0,1,2,3,4或5个人正在使用或等待使用电话”是必然事件.∵P(1)=P(0),P(2)=P(0),P(3)=P(0),P(4)=P(0),P(5)=P(0),∴P(0)=1-[P(1)+P(2)+P(3)+P(4)+P(5)]=1--P(0),∴P(0)=.故选C.2.(2018江西南昌模拟,14)口袋中装有大小、形状相同的红球2个,白球3个,黄球1个,甲从中不放回地逐一取球,已知第一次取得红球,则第二次取得白球的概率为.答案解析设事件A表示“第一次取得红球”,事件B表示“第二次取得白球”,则P(A)==,P(AB)=×=,∴第一次取得红球后,第二次取得白球的概率为P(B|A)=()()==.3.(2018惠州第二次调研)某学校为了丰富学生的课余生活,以班级为单位组织学生开展古诗词背诵比赛,随机抽取一首,背诵正确加10分,背诵错误减10分,且背诵结果只有“正确”和“错误”两种.其中某班级学生背诵正确的概率p=,记该班级完成n首背诵后的总得分为Sn.(1)求S6=20且Si≥0(i=1,2,3)的概率;(2)记ξ=|S5|,求ξ的分布列.解析(1)当S6=20时,即背诵6首后,正确的有4首,错误的有2首.由Si≥0(i=1,2,3)可知,若第一首和第二首背诵正确,则其余4首可任意背诵正确2首;若第一首背诵正确,第二首背诵错误,第三首背诵正确,则其余3首可任意背诵正确2首.则所求的概率P=××+×××××=.(2)由题意知ξ=|S5|的所有可能的取值为10,30,50,又p=,∴P(ξ=10)=×+×=,P(ξ=30)=×+×=,P(ξ=50)=×+×=,∴ξ的分布列为4.某生物产品每一个生产周期的成本为20万元,此产品的产量受气候影响、价格受市场影响,二者均具有随机性,且互不影响,该产品在一个生产周期的具体情况如下表:(1)设X(单位:万元)表示1个生产周期此产品的利润,求X的分布列;(2)连续生产3个周期,求这3个生产周期中至少有2个生产周期的利润不少于10万元的概率.解析(1)设A表示事件“产品产量为30吨”,B表示事件“产品市场价格为0.6万元/吨”,则P(A)=0.5,P(B)=0.4,∵利润=产量×市场价格-成本,50×1-20=30,50×0.6-20=10,30×1-20=10,30×0.6-20=-2,∴X的所有可能取值为30,10,-2,则P(X=30)=P()P()=(1-0.5)×(1-0.4)=0.3,P(X=10)=P()P(B)+P(A)P()=(1-0.5)×0.4+0.5×(1-0.4)=0.5,P(X=-2)=P(A)P(B)=0.5×0.4=0.2,则X的分布列为(2)设Ci 表示事件“第i个生产周期的利润不少于10万元”(i=1,2,3),则C1,C2,C3相互独立,由(1)知,P(Ci)=P(X=30)+P(X=10)=0.3+0.5=0.8(i=1,2,3),∴3个生产周期的利润均不少于10万元的概率为P(C1C2C3)=P(C1)P(C2)P(C3)=(0.8)3=0.512,3个生产周期中有2个生产周期的利润不少于10万元的概率为P(C2C3)+P(C1C3)+P(C1C2)=3×(0.8)2×0.2=0.384.∴3个生产周期中至少有2个生产周期的利润不少于10万元的概率为0.512+0.384=0.896.。