n 次独立重复实验与二项分布一、选择题1．某一试验中事件A 发生的概率为p ，则在n 次这样的试验中，A 发生k 次的概率为( )A ．1－p kB ．(1－p )k pn －kC ．(1－p )kD ．C kn (1－p )k p n －k[答案] D[解析] 在n 次独立重复试验中，事件A 恰发生k 次，符合二项分布，而P (A )＝p ，则P (A )＝1－p ，故P (X ＝k )＝C kn (1－p )k pn －k，故答案选D.2．某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为45，那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是( )[答案] B[解析] P ＝C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫452⎝ ⎛⎭⎪⎫152＝96625.3．某电子管正品率为34，次品率为14，现对该批电子管进行测试，设第ξ次首次测到正品，则P (ξ＝3)＝( )A ．C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫142×34B ．C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫342×142×342×14[答案] C4．某射手射击1次，击中目标的概率是，他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响．则他恰好击中目标3次的概率为( )A ．×B ．C ．C 34×× D ．1－ [答案] C[解析] 由独立重复试验公式可知选C.5．每次试验的成功率为(01)p p <<，重复进行10次试验，其中前7次都未成功后3次都成功的概率为（C ）()A 33710(1)C p p - ()B 33310(1)C p p - ()C 37(1)p p - ()D 73(1)p p -6．甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，甲队与乙队实力之比为3:2，比赛时均能正常发挥技术水平，则在5局3胜制中，甲打完4局才胜的概率为（ A ）()A 23332()55C ⋅ ()B 22332()()53C ()C 33432()()55C ()D 33421()()33C7. [2013·河池模拟]高一新生军训时，经过两天的打靶训练，甲每射击10次可以击中9次，乙每射击9次可以击中8次．甲、乙两人射击同一目标(甲、乙两人互不影响)，现各射击一次，目标被击中的概率为( )A. 910 B. 45 C. 89 D. 8990答案：D解析：目标被击中的概率为P ＝1－(1－910)(1－89)＝1－190＝8990.8. [2013·湖北调研]如图，用K 、A 1、A 2三类不同的元件连接成一个系统．当K 正常工作且A 1、A 2至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K 、A 1、A 2正常工作的概率依次是、、，则系统正常工作的概率为( )A. B. C. D.答案：B解析：系统正常工作概率为C 12×××(1－＋××＝，所以选B.9. [2013·大庆模拟]某单位在一次春游踏青中，开展有奖答题活动，从2道文史题和3道理科题中不放回地依次抽2道，在第一次抽到理科题的前提下第二次抽到理科题的概率为( )A. 925 B. 625 C. 310 D. 12答案：D解析：因为第一次抽到的是理科题，此时剩下2道文史题和2道理科题，故第二次抽到理科题的概率为24＝12.10. [2013·北京海淀模拟]已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同，现需一个红球，甲每次从中任取一个不放回，在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率( )A. 310 B. 13 C. 38 D. 29答案：B解析：事件A ：“第一次拿到白球”，B ：“第二拿到红球”，则P (A )＝210＝15，P (AB )＝210·39＝115，故P (B |A )＝P AB P A ＝13. 11．根据历年气象统计资料，某地四月份吹东风的概率为930，下雨的概率为1130，既吹东风又下雨的概率为830.则在吹东风的条件下下雨的概率为( )[答案] D[解析] 设事件A 表示“该地区四月份下雨”，B 表示“四月份吹东风”，则P (A )＝1130，P (B )＝930，P (AB )＝830，从而吹东风的条件下下雨的概率为P (A |B )＝P (AB )P (B )＝830930＝89. 二、填空题1．100件产品中有5件次品，不放回地抽取两次，每次抽1件，已知第一次抽出的是次品，则第2次抽出正品的概率为________．[答案]9599 [解析] 设“第一次抽到次品”为事件A ，“第二次抽到正品”为事件B ，则P (A )＝5100，P (AB )＝5100×9599，所以P (B |A )＝P (AB )P (A )＝9599.准确区分事件B |A 与事件AB 的意义是关键．2. [2013·铜仁模拟]已知某高三学生在2012年的高考数学考试中，A 和B 两道解答题同时做对的概率为13，在A 题做对的情况下，B 题也做对的概率为59，则A 题做对的概率为________．答案：35解析：做对A题记为事件E，做对B题记为事件F，根据题意知P(EF)＝13，又P(F|E)＝P EFP E＝59，则P(E)＝35，即A题做对的概率为35.3、如图4，EFGH 是以O 为圆心，半径为1的圆的内接正方形。

将一颗豆子随机地扔到该图内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”， B表示事件“豆子落在扇形OHE（阴影部分）内”，则P（B|A）= ．144．(2010·湖北文，13)一个病人服用某种新药后被治愈的概率为，则服用这种新药的4个病人中至少3人被治愈的概率为________(用数字作答)．[答案][解析] 本题主要考查二项分布．C34··＋4＝.5．如果X～B(20，p)，当p＝12且P(X＝k)取得最大值时，k＝________.[答案] 10[解析] 当p＝12时，P(X＝k)＝C k20⎝⎛⎭⎪⎫12k·⎝⎛⎭⎪⎫1220－k＝⎝⎛⎭⎪⎫1220·C k20，显然当k＝10时，P(X＝k)取得最大值．6、红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A、B、C进行围棋比赛，甲对A，乙对B，丙对C 各一盘，已知甲胜A，乙胜B，丙胜C的概率分别为,,，假设各盘比赛结果相互独立。

则红队至少两名队员获胜的概率：_________________()()()()0.60.50.50.60.50.50.40.50.50.60.50.50.55.P P DEF P DEF P DEF P DEF=+++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=三、解答题1.已知某种疗法的治愈率是90%，在对10位病人采用这种疗法后，正好有90%被治愈的概率是多少(精确到[解析] 10位病人中被治愈的人数X 服从二项分布，即X ～B (10,，故有9人被治愈的概率为P (X ＝9)＝C 910××≈.2. [2013·淮北模拟]美国NBA 是世界著名的篮球赛事，在一个赛季结束后，分别从东部联盟和西部联盟各抽出50名NBA 篮球运动员，统计他们在这一赛季中平均每场比赛的得分，统计结果如下表：东部联盟(1)分别估计东部联盟和西部联盟球员的优秀率；(2)东部联盟现指定5位优秀球员作为某场比赛出场的队员，假设每位优秀球员每场比赛发挥稳定的概率均为23(球员发挥稳定与否互不影响)，记该场比赛中这5位优秀球员发挥稳定的人数为X ，求X 的分布列和数学期望．解：(1)由题意知，东部联盟优秀球员的频率为5＋2＋150＝，西部联盟优秀球员的频率为4＋2＋150＝，所以可估计东部联盟球员的优秀率为16%.西部联盟球员的优秀率为14%.(2)由题意可知，X ～B (5，23)，即P (X ＝k )＝C k 5(23)k (13)5－k，k ＝0,1,2,3,4,5.∴X 的分布列为∴E (X )＝np ＝5×3＝3.3．9粒种子分种在3个坑中，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为.若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种；若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种．假定每个坑至多补种一次，每补种1个坑需10元，用X 表示补种的费用，写出X 的分布列．[解析] 因为一个坑内的3粒种子都不发芽的概率为(1－3＝18，所以一个坑不需要补种的概率为1－18＝78.3个坑都不需要补种的概率为C 03×⎝ ⎛⎭⎪⎫180·⎝ ⎛⎭⎪⎫783≈，恰有1个坑需要补种的概率为C 13×⎝ ⎛⎭⎪⎫181×⎝ ⎛⎭⎪⎫782≈，恰有2个坑需要补种的概率为C 23×⎝ ⎛⎭⎪⎫182×⎝ ⎛⎭⎪⎫781≈，3个坑都需要补种的概率为C 33×⎝ ⎛⎭⎪⎫183×⎝ ⎛⎭⎪⎫780≈.补种费用X 的分布列为4两位初审专家的评审，则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用．设稿件能通过各初审专家评审的概率均为，复审的稿件能通过评审的概率为.各专家独立评审．(1)求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率；(2)记X 表示投到该杂志的4篇稿件中被录用的篇数，求X 的分布列．[分析] 本题主要考查等可能性事件、互斥事件、独立事件、相互独立试验、分布列、数学期望等知识，以及运用概率知识解决实际问题的能力，考查分类与整合思想、化归与转化思想．(1)“稿件被录用”这一事件转化为事件“稿件能通过两位初审专家的评审”和事件“稿件能通过复审专家的评审”的和事件，利用加法公式求解．(2)X 服从二项分布，结合公式求解即可．[解析] (1)记A 表示事件：稿件能通过两位初审专家的评审；B 表示事件：稿件恰能通过一位初审专家的评审；C 表示事件：稿件能通过复审专家的评审；D 表示事件：稿件被录用．则D ＝A ＋B ·C ，而P (A )＝×＝，P (B )＝2××＝，P (C )＝故P(D)＝P(A＋B·C)＝P(A)＋P(B)·P(C)＝＋×＝. *+2***=(2)随机变量X服从二项分布，即X～B(4,，X的可能取值为0,1,2,3,4，且P(X＝0)＝(1－4＝ 296 P(X＝1)＝C14××(1－3＝ 456P(X＝2)＝C24××(1－2＝ 456P(X＝3)＝C34××(1－＝ 536P(X＝4)＝＝ 256故其分布列为。