金山区2017学年第一学期质量监控高三数学试卷(满分：150分，完卷时间：120分钟)（答题请写在答题纸上）一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1–6题每题4分，第7–12题每题5分） 考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．1．若全集U =R ，集合A ={x |x ≤0或x ≥2}，则U A = ． 2．不等式01<-xx 的解为 ． 3．方程组⎩⎨⎧=+=-532123y x y x 的增广矩阵是 ．4．若复数z =2–i （i 为虚数单位），则z z z +⋅= ．5．已知F 1、F 2是椭圆192522=+y x 的两个焦点，P 是椭圆上的一个动点，则|PF 1|⨯|PF 2|的最大值是_______．6．已知x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≥-+≥+-20301x y x y x ，则目标函数k =2x +y 的最大值为 ．7．从一副混合后的扑克牌（52张）中随机抽取1张，事件A 为“抽得红桃K ”，事件B 为“抽得为黑桃”，则概率P (A ∪B )= （结果用最简分数表示）．8．已知点A (2，3)、点B (–2，3)，直线l 过点P (–1，0)，若直线l 与线段AB 相交，则直线l 的倾斜角的取值范围是 ．9. 数列{a n }的通项公式是a n =2n –1(n ∈N *)，数列{b n }的通项公式是b n =3n (n ∈N *)，令集合A ={a 1，a 2，…，a n ，…}，B ={b 1，b 2，…，b n ，…}，n ∈N *．将集合A ∪B 中的所有元素按从小到大的顺序排列，构成的数列记为{c n }．则数列{c n }的前28项的和S 28= ．10．向量i 、j 是平面直角坐标系x 轴、y 轴的基本单位向量，且|a –i |+|a –2j |=5，则|2|i a +的取值范围为 ．11．某地区原有森林木材存有量为a ，且每年增长率为25%，因生产建设的需要，每年年末要砍伐的木材量为101a ，设a n 为第n 年末后该地区森林木材存量，则a n = ． 12．关于函数()1xf x x =-，给出以下四个命题：(1)当x >0时，y=f (x )单调递减且没有最值；(2)方程f (x )=kx+b (k ≠0)一定有实数解；(3)如果方程f (x )=m (m 为常数)有解，则解的个数一定是偶数；(4) y=f (x )是偶函数且有最小值．其中假命题的序号是 ．二、选择题（本大题共4小题，满分20分，每小题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．若非空集合A 、B 、C 满足A ∪B =C ，且B 不是A 的子集，则( )．(A) “x ∈C ”是“x ∈A ”的充分条件但不是必要条件(B) “x ∈C ”是“x ∈A ”的必要条件但不是充分条件(C) “x ∈C ”是“x ∈A ”的充要条件(D) “x ∈C ”既不是“x ∈A ”的充分条件也不是“x ∈A ”的必要条件14．将如图所示的一个Rt △ABC （∠C =90°）绕斜边AB 旋转一周，所得到的几何体的主视图是下面四个图形中的( )．第14题图(A) (B) (C)(D) C B A15．二项式(3i –x )10(i 为虚数单位)的展开式中第8项是( )．(A) –135x 7 (B)135x 7 (C)3603i x 7 (D)–3603i x 716．给出下列四个命题：(1)函数y =arccos x (–1≤x ≤1)的反函数为y =cos x (x ∈R )；(2)函数12-+=m m x y (m ∈N )为奇函数；(3)参数方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=2221211t t y t t x (t ∈R )所表示的曲线是圆；(4)函数f (x )=sin 2x –21)32(+x ，当x >2017时，f (x )>21恒成立．其中真命题的个数为( )． (A) 4个 (B) 3个 (C) 2个 (D) 1个三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．(本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分)如图，已知正方体ABCD –A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E ，F 分别是BB 1、CD 的中点．(1) 求三棱锥F –AA 1E 的体积；(2) 求异面直线EF 与AB 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．18．(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)已知函数f (x )=3sin2x+cos2x –1 (x ∈R )．(1) 写出函数f (x )的最小正周期以及单调递增区间；(2) 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若f (B )=0，23=⋅BC BA ，且a+c =4，求b 的值．B 1 B E19．(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)设P (x , y )为函数f (x )=a x x -2(x ∈D ，D 为定义域)图像上的一个动点，O 为坐标原点，|OP |为点O 与点P 两点间的距离．(1) 若a =3，D =[3，4]，求|OP |的最大值与最小值；(2) 若D =[1，2]，是否存在实数a ，使得|OP |的最小值不小于2？若存在，请求出a 的取值范围；若不存在，则说明理由．20．(本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分)给出定理：在圆锥曲线中， AB 是抛物线Γ：y 2=2px (p >0)的一条弦，C 是AB 的中点，过点C 且平行于x 轴的直线与抛物线的交点为D ，若A 、B 两点纵坐标之差的绝对值||B A y y -=a (a >0)，则△ADB 的面积 S △ADB =pa 163．试运用上述定理求解以下各题： (1) 若p =2，AB 所在直线的方程为y =2x –4，C 是AB 的中点，过C 且平行于x 轴的直线与抛物线Γ的交点为D ，求S △ADB ；(2) 已知AB 是抛物线Γ：y 2=2px (p >0)的一条弦，C 是AB 的中点，过点C 且平行于x 轴的直线与抛物线的交点为D ，E 、F 分别为AD 和BD 的中点，过E 、F 且平行于x 轴的直线与抛物线Γ：y 2=2px (p >0)分别交于点M 、N ，若A 、B 两点纵坐标之差的绝对值||B A y y -=a (a >0)，求S △AMD 和S △BND ；(3) 请你在上述问题的启发下，设计一种方法求抛物线：y 2=2px (p >0)与弦AB 围成的“弓形”的面积，并求出相应面积．21．(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分)若数列{a n }中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，则称{a n }为“等比源数列”．(1) 已知数列{a n }中，a 1=2，a n +1=2a n –1．求数列{a n }的通项公式；(2) 在(1)的结论下，试判断数列{a n }是否为“等比源数列”，并证明你的结论；(3) 已知数列{a n }为等差数列，且a 1≠0，a n ∈Z (n ∈N *)，求证：{a n }为“等比源数列”．金山区2017学年第一学期期末考试高三数学试卷评分参考答案(满分：150分，完卷时间：120分钟)一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1–6题每题4分，第7–12题每题5分）1．A ={x |0<x<2}；2．0<x <1；3． ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-513223；4．7–i ；5．25；6．7；7．726； 8 [4π，32π]．；9．820；10．⎤⎥⎦；11. a a a n n 52)45(53+=；12．(1)、(3) 二、选择题（本大题共4小题，满分20分，每小题5分）13．B ； 14．B ； 15．C ； 16．D三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17． 解：（1）因为△AA 1E 的面积为S =2，……………………………………………2分 点F 到平面ABB 1A 1的距离即h=2，……………………………………………………4分 所以E AA F V 1-=h S ⋅31=34；………………………………………………………………7分 （2）连结EC ，可知∠EFC 为异面直线EF 与AB 所成角，…………………………10分 在Rt △EFC 中，EC =5，FC =1，所以tan ∠EFC =5，…………………………13分 即∠EFC =arctan 5，故异面直线EF 与AB 所成角的大小为arctan 5．…………14分18．解：(1)f (x )=2sin(2x+6π)–1，………………………………………………………2分 所以，f (x )的最小正周期T = π，………………………………………………………4分f (x )的单调递增区间是[k π–3π，k π+6π]，k ∈Z ；………………………………………6分 (2) f (B )=2sin(2B +6π)–1=0，故sin(2B +6π)=21，………………………………………8分 所以，2B +6π=2k π+6π或2B +6π=2k π+65π，k ∈Z ， 因为B 是三角形内角，所以B =3π；…………………………………………………10分而BC BA ⋅=ac cos B =23，所以，ac =3，又a+c =4，所以a 2+c 2=10，………………12分 所以，b 2=a 2+c 2–2ac cos B =7，所以b=7．…………………………………………14分19．解：(1) 当a =3，D =[3，4]，|OP |=]4,3[,3)1(363)3(2222∈--=-=-+x x x x x x x ，……………………4分 3||min =OP ，62||max =OP ； ………………………………………………………6分(2) ]2,1[,2||2∈-+=x a x x x OP ，因为|OP |的最小值不小于2，即x 2+2x |x –a |≥4对于x ∈[1，2]恒成立，……………………………………………………………………8分 当a ≥2时,a ≥)4(21x x +对于x ∈[1,2]恒成立，所以a ≥25，………………………10分 当1≤a <2时，取x=a 即可知，显然不成立，………………………………………11分当a <1时，a ≤)43(21x x -对于x ∈[1,2]恒成立，所以a ≤21-，……………………13分 综上知，a ≤21-或a ≥25………………………………………………………………14分 (2)或解：]2,1[,2||2∈-+=x a x x x OP ，…………………………………………7分 当a ≥2时, 222)(2||a a x ax x OP +--=+-=在[1,2]为增函数，12||min -=a OP ≥2，所以a ≥25，…………………………………………………9分 当1≤a <2时，取x=a ，|OP |=a 不可能大于或等于2，………………………………11分 当a <1时，22231)3(323||a ax ax x OP --=-=在[1,2]为增函数， a OP 23||min -=≥2 ，a ≤21-……………………………………………………13分 综上知，a ≤21-或a ≥25………………………………………………………………14分 20．解：(1) 联立直线与抛物线方程⎩⎨⎧=-=x y x y 4422，解得|y A –y B |=6，………………2分S △ADB =827；……………………………………………………………………………4分 (2)设点D 、M 、N 的纵坐标分别为y D 、y M 、y N ，易知AD 为抛物线Γ：y 2=2px (p >0)的一条弦，M 是AD 的中点，且A 、D 两点纵坐标之差为定值，|y A –y D |=2a (a >0)，……6分 由已知的结论，得S △AMD =pa p a 168116)2(33⋅=，…………………………………………8分 同理可得S △BND =pa p a 168116)2(33⋅=；……………………………………………………9分 (3) 将(2)的结果看作是一次操作，操作继续下去，取每段新弦的中点作平行于x 轴的直线与抛物线得到交点，并与弦端点连接，计算得到新三角形面积。