整数的简单性质（一）
（一）知识、技能、方法
一、整数的离散性
任何两个整数,x y 之间的距离至少为1，因此有不等式1x y x y <⇔+≤.
二、整数的奇偶性
将全体整数分为两类，凡是2的倍数的数称为偶数，否则称为奇数.因此，任一偶数可表示为2m （m ∈Z ）的形式，任一奇数可表示为2m+1或2m －1的形式. 奇、偶数具有如下性质：
（1）奇数±奇数=偶数；偶数±偶数=偶数；奇数±偶数=奇数；偶数×偶数=偶数； 奇数×偶数=偶数；奇数×奇数=奇数；
（2）两个整数的和与差具有相同的奇偶性；偶数的平方根若为整数，它必为偶数.
（3）奇数的平方都可表示为8m+1形式，偶数的平方都可表示为8m 或8m+4的形式（m ∈Z ）.
（4）任何一个正整数n ，都可以写成l n m 2=的形式，其中m 为非负整数，l 为奇数.
三、整数的整除性
1．定义：设a ，b 是整数，且b ≠０，若存在整数c ，使a ＝bc ，则称b 整除a 或a 能被b 整除，记作b |a ，并称b 是a 的一个约数（因子），称a 是b 的倍数.若不存在上述c ，则称b 不能整除a ，记为b | a .
显然，１和-1能整除任意整数，任意整数都能整除０.
2．性质：① 若c|b ，b|a ，则c|a . ② 若b|a ，则bc|a c .
③ 若c|a ，c|b ，则对任意整数m 、n ，有c|m a ＋nb . ④ 若b|a c ，且(a ，b)＝1，则b|c . ⑤ 若p 为质数，p | a b ，则p | a 或p | b ，特别地，若p | a n ，*n N ∈，则p | a . ⑥ 若(a ，b)＝1，且a |c ，b|c ，则a b|c .
⑦ 带余除法：设b ＞0，对于任意整数a ，总可以找到一对惟一确定的q ，r 满足a =bq+r ，0≤r ＜b .
⑧ (a －b)|(a n －b n )(n ∈N)，(a ＋b)|(a n ＋b n )(n 为正奇数) .
⑨ 如果在等式11n m i
k i k a a ===∑∑中除开某一项外，其余各项都是c 的倍数，则这一项也是c
的倍数.
⑩ n 个连续整数中有且仅有一个是n 的倍数；任意n 个连续整数之积一定是n ！的倍数.
3．整除的判别法：设整数N ＝121a a a a n n Λ-，
① 2|1a ⇔2|N ，5|1a ⇔ 5|N ； ② 3|1a ＋2a ＋…＋n a ⇔3|N ，9|1a ＋2a ＋…＋n a ⇔9|N ；
③ 4|21a a ⇔4|N ，25|21a a ⇔25|N ； ④ 8|321a a a ⇔8|N ，125|321a a a ⇔125|N ； ⑤ 7||14n n a a a -L
－321a a a |⇔7|N ， 11||14n n a a a -L －321a a a |⇔11|N ， 11|[(a 2n ＋1＋a 2n －1＋…＋a 1)－(a 2n ＋a 2n －2＋…＋a 2)] ⇔11|N ；
⑥ 13||14n n a a a -L －321a a a |⇔13|N . 四、完全平方数及其性质
能表示为某整数的平方的数称为完全平方数，简称平方数.
（1）平方数的个位数字只可能是0，1，4，5，6，9；
（2）偶数的平方数是4的倍数，奇数的平方数被8除余1，即任何平方数被4除的余数只能是0或1；
（3）奇数平方的十位数字是偶数；
（4）十位数字是奇数的平方数的个位数一定是6；
（5）不能被3整除的数的平方被3除余1，能被3整除的数的平方能被3整除.因而，平方数被9除的余数为0，1，4，7，且此平方数的各位数字的和被9除的余数也只能为0，1，4，7；
（6）平方数的约数的个数为奇数；
（7）任何四个连续整数的乘积加1，必定是一个平方数；
（8）奇素数p 能表示成两个正整数的平方和的充要条件是41p m =+；
（9）设正整数p m n 2=，其中p 不再含平方因数，n 能表示成两个整数的平方的充要条件是p 没有形如34+q 的质因数；
（10）每个正整数都能表示成四个整数的平方和.
五、整数的尾数及其性质
整数a 的个位数也称为整数a 的尾数，并记为()G a ，()G a 也称为尾数函数.
（1）(())()G G a G a =； （2）()(()()())G a b c G G a G b G c +++=+++L L ；
（3）()(()()())G a b c G G a G b G c ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅L L ； （4）(10)0G a =，(10)()G a b G b +=；
（5）若10a b c -=，则()()G a G b =； （6）44*()(),,k G a G a a k N =∈；
（7）4*()(),0,04,,,k r r G a
G a k r a k r N +=≥<<∈； （8）211124121212()()()()()()()b n b b b G a b b G a G a b b b b G a b b ⎧⎪=⎨⎪⎩
g g g 当为奇数,为偶数时当为偶数,为奇数或为偶数,为偶数时当为奇数,为奇数时.
（二）例题分析 例1、求,,a b c ，使它们满足不等式222332(,,)a b c ab b c a b c Z +++<++∈.
例2、设,,,a b c d Z ∈，且|a c ab cd -+，求证|a c ad bc -+.
例3、能否将{1,2,,972}L 分成12个互不相交的子集，每个子集中81个元素之和相等？
例4、已知b 为各位数码全是9的31位数，a 为各位数码全是9的1984位数，求证|b a .
例5、设,p q 都是正奇数，11p q -=+，求证|p q p q p q ++.
例6、对于任意整数n ，证明5
5|n n -.
例7、（1）若n 个整数，其和为0，其积为n ，证明：n 是4的倍数；
（2）若n 是4的倍数，证明:可以找到个整数，使其和为0，其积为n .
例8、已知n 为正整数，证明：22120|(1)(526)n n n n --+.
例9、已知,m n 都是正整数，若(21)|(21)m n ++，证明：|m n .
例10、设n 是正整数，k 是不小于2的整数.试证：k n 可表示成n 个相继奇数的和.
例11、求所有这样的自然数n ，使得n 222118++是一个自然数的平方.
例12、设正整数d 不等于2，5，13，证明在集合｛2，5，13，d ｝中可以找到两个元素,a b ，使得ab －1不是完全平方数.
练习：
1、证明：不存在正整数n ，使222
21,31,61n n n +++都是完全平方数.
2、若223|()a b +，证明：3|a 且3|b .
3、已知n 为奇数，若12,,,n a a a L 为1,2,,n L 的一个排列，证明：12(1)(2)()n a a a n ---L 为偶数.
4、求满足2(11)|(92)n n n ++-的正整数n .
5、设n 为小于100的正整数，且324|(23)n +，求满足条件的n .
6、已知m 为正奇数，求证：(12)|(12)m m m n n ++++++L L .
7、证明：20121001L 123
个能被1001整除. 8、设1k ≥是一个奇数，证明对任意正整数n ，数12k k k
n +++L 不能被2n +整除.
9、若正整数,m n 满足2m >，证明(21)m -|(21)n +. 10、当2n ≥时，证明：111123n
++++L 不是整数. 11、设正整数,,,a b c d 满足ab cd =，证明：a b c d +++不是质（素）数.
12、求出有序整数对(,)m n 的个数，其中199m ≤≤，199n ≤≤，2()3m n m n +++是完全平方数.。