2017-2018学年江苏省镇江市丹阳高级中学创新班高一（上）期中数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分.请将答案填写在答题卷相应位置）1．（5分）函数f（x）=cos4x﹣sin4x的最小正周期是．2．（5分）在等差数列{a n}中，若a1+a2+a3+a4=30，则a2+a3=．3．（5分）已知向量=（2，1），=（0，﹣1）．若（+λ）⊥，则实数λ=．4．（5分）在等差数列{a n}中，a6=10，s5=5，求a n=．5．（5分）△ABC中，已知a=5，c=10，∠A=30°，则∠B等于．6．（5分）若sin（α﹣π）=2cos（π+α），则=．7．（5分）一扇形的周长为6，当扇形的弧长为时，它有最大面积？8．（5分）9．（5分），tanα=．10．（5分）函数y=sinπx（x∈R）的部分图象如图所示，设O为坐标原点，P是图象的最高点，B是图象与x轴的交点，则tan∠OPB．11．（5分）5cos2θ=cos2，则tan（θ+1）tan（θ﹣1）的值为．12．（5分）等差数列{a n}中，公差d≠0，a32=a1a13，若a1，a3，…，a kn，…成等比数列，则k n=．13．（5分）“无字证明”，就是将数学命题用简单、有创意而且易于理解的几何图形来呈现，请利用图1、图2中阴影部分的面积关系，写出该图所验证的一个三角恒等变换公式：．14．（5分）在等腰三角形ABC中，已知AB=AC=1，A=120°，E，F分别是边AB，AC上的点，且=m，=n，其中m，n∈（0，1）．若EF，BC的中点分别为M，N，且m+4n=1，则||的最小值为二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答时应写出相应的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）（1）已知=（3，﹣3），=（cosθ，sinθ）（），求的取值范围；（2）已知和互相垂直，且，求向量与的夹角的余弦值．16．（14分）在直角坐标系xOy中，以原点O为圆心作一个单位圆，角α和角β的终边与单位圆分别交于A、B两点，且||=．若0＜α＜，﹣＜β＜0，sinβ=﹣．（1）求△AOB的面积；（2）求sinα的值．17．（14分）如图，在△ABC中，||=3，||=1，l为BC的垂直平分线且交BC于点D，E为l上异于D的任意一点，F为线段AD上的任意一点．（1）求•（﹣）的值；（2）判断•（﹣）的值是否为一常数，并说明理由；（3）若AC⊥BC，求•（+）的最大值．18．（16分）已知数列{a n }的前n 项的和为S n ，且a n =S n •S n ﹣1（n ≥2，S n ≠0），a 1=． （1）求证：{}为等差数列；（2）求数列{a n }的通项公式． （3）设b n =，是否存在正整数m ，n （m ＞n ），使得b m •b n =﹣27成立，若存在求出m ，n ，若不存在，说明理由．19．（16分）已知一列非零向量满足：，（1）证明是等比数列 （2）求向量的夹角（2）设向量，将中所有与共线的向量取出来，按原来的顺序排成一列，组成新的数列，，O 为坐标原点，求B n 的坐标．20．（16分）已知函数g （x ）=ax 2﹣2ax +1+b （a ≠0，b ＜1）在区间[2，3]上有最大值4，最小值1，设．（1）求a ，b 的值；（2）不等式f （sinθ+cosθ）﹣2ksinθcosθ≤0在上恒成立，求实数k 的取值范围； （3）方程，有三个不同的实数解，求实数k 的取值范围．2017-2018学年江苏省镇江市丹阳高级中学创新班高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分.请将答案填写在答题卷相应位置）1．（5分）函数f（x）=cos4x﹣sin4x的最小正周期是π．【解答】解：∵f（x）=cos4x﹣sin4x=（cos2x+sin2x）（cos2﹣sin2x）=cos2x﹣sin2x=cos2x，∴f（x）的最小正周期是T==π故答案为：π2．（5分）在等差数列{a n}中，若a1+a2+a3+a4=30，则a2+a3=15．【解答】解：因为数列{a n}是等差数列，根据等差数列的性质有：a1+a4=a2+a3，由a1+a2+a3+a4=30，所以，2（a2+a3）=30，则a2+a3=15．故答案为：15．3．（5分）已知向量=（2，1），=（0，﹣1）．若（+λ）⊥，则实数λ=5．【解答】解：∵向量=（2，1），=（0，﹣1），∴．∵（+λ）⊥，∴2×2+1×（1﹣λ）=0，λ=5．故答案为：5．4．（5分）在等差数列{a n}中，a6=10，s5=5，求a n=3n﹣8．【解答】解：等差数列{a n}的公差设为d，a6=10，s5=5，可得a1+5d=10，5a1+×5×4d=5，解得d=3，a1=﹣5，则a n=a1+（n﹣1）d=﹣5+3（n﹣1）=3n﹣8．故答案为：3n﹣8．5．（5分）△ABC中，已知a=5，c=10，∠A=30°，则∠B等于105°或15°．【解答】解：∵a=5，c=10，A=30°∴根据正弦定理，得到=，可得sinC===∴结合0°≤C≤180°，可得C=45°或135°∵A+B+C=180°，A=30°，∴B=105°或15°故答案为：105°或15°6．（5分）若sin（α﹣π）=2cos（π+α），则=．【解答】解：∵sin（α﹣π）=2cos（π+α），∴sinα=2cosα．∴==．故答案为：．7．（5分）一扇形的周长为6，当扇形的弧长为3时，它有最大面积？【解答】解：设扇形的半径为R，弧长为L，则周长2R+L=6，解得R=3﹣，∴扇形的面积为S=RL=（3﹣）L=﹣L2+L，∴当L=﹣=3时，扇形的面积S有最大值．故答案为：3．8．（5分）【解答】解：由图象可得A=1，周期T满足==﹣，解得ω=2，∴f（x）=sin（2x+φ），又图象过点（，﹣1），∴﹣1=sin（+φ），又∵，∴φ=∴所求函数的解析式为：f（x）=sin（2x+）故答案为：f（x）=sin（2x+）9．（5分），tanα=或．【解答】解：∵，平方可得sin2α+4sinα•cosα+4cos2α=，即==，解得tanα=，或tanα=，故答案为：或．10．（5分）函数y=sinπx（x∈R）的部分图象如图所示，设O为坐标原点，P是图象的最高点，B是图象与x轴的交点，则tan∠OPB8．【解答】解：过P作PQ⊥x轴，如图所示：∵函数y=sinπc，且P是图象的最高点，B是图象与x轴的交点，∴P（，1），B（2，0），即|PQ|=1，|OQ|=，|OB|=2，∴|QB|=|OB|﹣|OQ|=，在Rt△OPQ中，tan∠OPQ==，在Rt△PQB中，tan∠BPQ==，∴tan∠OPB=tan（∠OPQ+∠BPQ）==8．故答案为：811．（5分）5cos2θ=cos2，则tan（θ+1）tan（θ﹣1）的值为．【解答】解：由5cos2θ=cos2，得5cos[（θ+1）+（θ﹣1）]=cos[（θ+1）﹣（θ﹣1）]，即5cos（θ+1）cos（θ﹣1）﹣5sin（θ+1）sin（θ﹣1）=cos（θ+1）cos（θ﹣1）+sin（θ+1）sin（θ﹣1）∴4cos（θ+1）cos（θ﹣1）=6sin（θ+1）sin（θ﹣1）．两边同除以cos（θ+1）cos（θ﹣1），得4=6tan（θ+1）tan（θ﹣1）．∴tan（θ+1）tan（θ﹣1）=．故答案为：．12．（5分）等差数列{a n}中，公差d≠0，a32=a1a13，若a1，a3，…，a kn，…成等比数列，则k n=．【解答】解：等差数列{a n}中，公差d≠0，a32=a1a13，可得（a1+2d）2=a1（a1+12d），化简可得d=2a1，则a n=a1+（n﹣1）d=2na1﹣a1，a1，a3，…，a kn，…成等比数列，可得公比q为==5，即有a kn=2k n a1﹣a1=a1•5n﹣1，解得k n=，故答案为：．13．（5分）“无字证明”，就是将数学命题用简单、有创意而且易于理解的几何图形来呈现，请利用图1、图2中阴影部分的面积关系，写出该图所验证的一个三角恒等变换公式：sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．【解答】解：在左边的图中大矩形的面积S=（cosβ+cosα）（sinβ+sinα）=sinβcosβ+cosβsinα+cosαsinα+sinβcosα+sinαcosα=sin（α+β）+sinβcosβ+sinαcosα．用大矩形的面积S减去4个直角三角形的面积就等于阴影部分的面积S1 ．空白部分的面积等于4个直角三角形的面积，即2×（sinβcosβ+sinαcosα）=sinβcosβ+sinαcosα．故阴影部分的面积S1 =S﹣sinβcosβ+sinαcosα=sin（α+β）．而在右边的图中阴影部分的面积S2等于2个阴影小矩形的面积之和，即S 2=sinαcosβ+cosαsinβ．在右边的图中大矩形的面积也等于S，S2等于大矩形得面积S 减去2个小空白矩形的面积，而2个空白矩形的面积之和，即sinβcosβ+sinαcosα，故左图中空白部分的面积等于右图中空白部分的面积．故左右图中阴影部分的面积也相等，即S1 =S2 ，故有sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ，故答案为：sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．14．（5分）在等腰三角形ABC中，已知AB=AC=1，A=120°，E，F分别是边AB，AC上的点，且=m，=n，其中m，n∈（0，1）．若EF，BC的中点分别为M，N，且m+4n=1，则||的最小值为【解答】解：连接AM、AN，∵等腰三角形ABC中，AB=AC=1，A=120°，∴=||•||cos120°=﹣∵AM是△AEF的中线，∴=（）=（+）同理，可得=（+），由此可得=﹣=（1﹣m）+（1﹣n）∴=[（1﹣m）+（1﹣n）]2=（1﹣m）2+（1﹣m）（1﹣n）•+（1﹣n）2=（1﹣m）2﹣（1﹣m）（1﹣n）+（1﹣n）2，∵m+4n=1，可得1﹣m=4n∴代入上式得=×（4n）2﹣×4n（1﹣n）+（1﹣n）2=n2﹣n+∵m，n∈（0，1），∴当n=时，的最小值为，此时的最小值为．故答案为：二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答时应写出相应的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）（1）已知=（3，﹣3），=（cosθ，sinθ）（），求的取值范围；（2）已知和互相垂直，且，求向量与的夹角的余弦值．【解答】解：（1）由题意知═（3﹣2cosθ，﹣3﹣2sinθ）则，∵，∴﹣＜θ﹣＜，∴﹣＜sin（θ﹣）＜，∴﹣12＜12sin（θ﹣）＜12，∴10＜22+12sin（θ﹣）＜34，∴．（2）∵，∴，∴又∵，∴∴两个向量的夹角的余弦值为16．（14分）在直角坐标系xOy中，以原点O为圆心作一个单位圆，角α和角β的终边与单位圆分别交于A、B两点，且||=．若0＜α＜，﹣＜β＜0，sinβ=﹣．（1）求△AOB的面积；（2）求sinα的值．【解答】解：（1）根据题意设=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），∴=﹣=（cosβ﹣cosα，sinβ﹣sinα），∴||2=（cosβ﹣cosα）2+（sinβ﹣sinα）2=，即2﹣2（cosβcosα+sinβsinα）=，∴cos（α﹣β）=cosβcosα+sinβsinα=；∵0＜α＜，﹣＜β＜0，∴0＜α﹣β＜π，∴sin∠AOB=sin（α﹣β）==，又∵|OA|=1，|OB|=1，∴S=|OA|•|OB|sin∠AOB==．△AOB（2）∵sinβ=﹣，∴cosβ==，则sinα=sin[（α﹣β）+β]=sin（α﹣β）cosβ+cos（α﹣β）sinβ=×﹣×=．17．（14分）如图，在△ABC中，||=3，||=1，l为BC的垂直平分线且交BC于点D，E为l上异于D的任意一点，F为线段AD上的任意一点．（1）求•（﹣）的值；（2）判断•（﹣）的值是否为一常数，并说明理由；（3）若AC⊥BC，求•（+）的最大值．【解答】解：（1）=．（2）=4．∴的值是一常数．（3）∵AC⊥BC，；∴，；∴，设，则；∴==；∴时，取最大值．18．（16分）已知数列{a n}的前n项的和为S n，且a n=S n•S n﹣1（n≥2，S n≠0），a1=．（1）求证：{}为等差数列；（2）求数列{a n}的通项公式．（3）设b n=，是否存在正整数m，n（m＞n），使得b m•b n=﹣27成立，若存在求出m，n，若不存在，说明理由．【解答】解：（1）证明：当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，S n﹣S n﹣1=S n•S n﹣1，，数列为等差数列；（2）由（1）知，，当n≥2时，，∴；（3）由（2）中，，则b n=11﹣2n，若b m b n=﹣27，则（11﹣2m）（11﹣2n）=﹣27，∵m，n∈N+∴11﹣2m，11﹣2n∈Z∵﹣27=（﹣1）×27=（﹣27）×1=（﹣9）×3=（﹣3）×9∵m＞n，则．19．（16分）已知一列非零向量满足：，（1）证明是等比数列（2）求向量的夹角（2）设向量，将中所有与共线的向量取出来，按原来的顺序排成一列，组成新的数列，，O为坐标原点，求B n的坐标．【解答】（1）证明：≠，∴||=≠0，∵||=====||，∴=，∴是以||为首项，为公比的等比数列，（2）解：设向量的夹角为θ，2）=||2，1∴cosθ==，∴θ=，即向量的夹角，（3）解：由（2）知相邻两向量夹角为，∴每相隔3个向量的两向量必共线并方向相反，即=，设=λ，由（1）知λ=﹣=﹣（）4=﹣，∴=•（﹣）n﹣1=（﹣）n﹣1•（1，2），∴=（[1﹣（﹣）n，[1﹣（﹣）n]）∴B n的坐标为=（[1﹣（﹣）n，[1﹣（﹣）n]）20．（16分）已知函数g（x）=ax2﹣2ax+1+b（a≠0，b＜1）在区间[2，3]上有最大值4，最小值1，设．（1）求a，b的值；（2）不等式f（sinθ+cosθ）﹣2ksinθcosθ≤0在上恒成立，求实数k的取值范围；（3）方程，有三个不同的实数解，求实数k的取值范围．【解答】解：（1）g（x）=ax2﹣2ax+1+b，函数的对称轴为直线x=1，由题意得：①得②得（舍去）（2）由（1）可知g（x）=x2﹣2x+1，∴f（x）=x+﹣2，设sinθ+cosθ=t，则sin（θ+）=t，∵，∴θ+∈[，]，∴≤sin（θ+）≤1，xw∴1≤t≤∴2sinθcosθ=t2﹣1，∵不等式f（sinθ+cosθ）﹣2ksinθcosθ≤0在上恒成立，∴f（t）﹣k（t2﹣1）≤0在t∈[1，]上恒成立，当t=1时，f（t）=1+1﹣2=0，此时f（t）﹣k（t2﹣1）≤0在t∈[1，]上恒成立，当1＜t≤时，∴k≥===设h（x）=，则h′（x）=﹣=＞0恒成立，∴h（x）在（1，]上单调递增，∴h（x）max=h（）==∴k≥，（3）设|sinθ﹣cosθ|=m，则2|sin（θ﹣）|=m，∵，∴m∈[0，2）∵方程，有三个不同的实数解∴+k（﹣3）=0，∴m2﹣（2+3k）m+1=0，当m=0时，此时不成立，方程的两个根一个在（0，1），一个在（1，2），可得，解得：k∈（0，）．。