2021年高二寒假作业数学（理）试题4 含答案
班级 座号 姓名 等级
一、选择题（每小题5分，共60分）
1. “”是“方程表示双曲线”的 ( )
A.必要不充分条件
B.充分不必要条件
C.充要条件
D.非充分非必
要条件
2.椭圆的两个焦点和它在短轴上的两个顶点连成一个正方形，则此椭圆的离心
率为( )
A .12
B .22
C .32
D .33
3. 已知椭圆x 24
＋y 2＝1的焦点为F 1、F 2，点M 在该椭圆上，且MF 1→·MF 2→＝0，则点M 到y 轴的距离为( ) A .233 B .263 C .33
D . 3 4. k>1，则关于x 、y 的方程(1－k)x 2＋y 2＝k 2－1所表示的曲线是( )
A ．焦点在x 轴上的椭圆
B ．焦点在y 轴上的椭圆
C ．焦点在y 轴上的双曲线
D ．焦点在x 轴上的双曲线
5. 设F 1、F 2分别是双曲线
x 2－y 29
＝1的左、右焦点．若P 在双曲线上，且PF 1→·PF 2→＝0，则|PF 1→＋PF 2→|等于( )
A ．2 5
B . 5
C ．210
D .10 6. 直线y ＝k(x ＋2)与双曲线x 24－y 2＝1有且只有一个公共点，则k 的不同取值有( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
7. 若抛物线的焦点与椭圆x 26＋y 22
＝1的左焦点重合，则的值为( ) A ．2 B ．4 C ．－ 8 D ．－4
8. 设过抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点的弦为AB ，则|AB|的最小值为( )
A .p 2
B ．p
C ．2p
D ．无法确定 9. 对于空间的任意三个向量，它们一定是( )
A ．共面向量
B ．共线向量
C ．不共面向量
D ．既不共线也不共面的向量
10. 已知平面α的一个法向量是＝(1,1,1)，A (2,3,1)，B (1,3,2)，则直线AB 与平面α的关系是( )
A ．A
B 与α斜交 B ．AB ⊥α
C ．AB ⊄α
D ．AB ∥α或AB ⊂α
11. 已知向量是平面α内的两个不相等的非零向量，非零向量在直线l 上，则且是l ⊥α的
( )A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件
12. 已知平面α的一个法向量n ＝(－2，－2,1)，点A (－1,3,0)在α内，则P (－2,1,4)到α的距离为( )
A ．10
B ．3
C .83
D .103
二 填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点与抛物线y 2＝16x 的焦点相同，则双曲线的方程为 ___.
14. 已知四面体ABCD 中，AB →＝，CD →＝，对角线AC ，BD 的中点分别为E ，F ，则EF →＝
___ __.
15. 已知点A (λ＋1，μ－1,3)，B (2λ，μ，λ－2μ)，C (λ＋3，μ－3,9)三点共线，则实数λ＋μ＝________.
16. 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为AB 、CC 1的中点，则异面直线EF 与A 1C 1所成角
的大小是_______.
三.解答题: (解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17. (本题满分10分)过椭圆x 216＋y 24
＝1内点M (2,1)引一条弦，使弦被M 平分， 求此弦所在直线的方程．
18. (本题满分12分)
中心在原点，焦点在x 轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F 1，F 2，且|F 1F 2|＝213，椭圆的长半轴长与双曲线半实轴长之差为4，离心率之比为3∶7.
(1)求这两曲线方程；
(2)若P 为这两曲线的一个交点，求△F 1PF 2的面积．
19. (本题满分12分)抛物线顶点在原点，它的准线过双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1的一个焦点，并且这
条准线垂直于x 轴，又抛物线与双曲线交于点P(32，6)，求抛物线和双曲线的方程．
20.（本题满分12分）已知三棱锥P－ABC中，PA⊥ABC，AB⊥AC，PA=AC=AB，N为AB上一点，AB=4AN,M,S分别为PB,BC的中点.
（1）证明：CM⊥SN；
（2）求SN与平面CMN所成角的大小.
21. (本题满分12分)如图所示，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ABC=900，BC=2，CC1=4，EB1=1，D，F，G分别为CC1，B1C1，A1C1的中点，EF与B1D相交于点H.
（Ⅰ）求证：B1D⊥平面ABD；
（Ⅱ）求证：平面EGF∥平面ABD；
（Ⅲ）求平面EGF与平面ABD的距离.
22 (本题满分12分)
已知椭圆的离心率，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4。

（1）求椭圆的方程；
（2）设直线与椭圆相交于不同的两点，已知点的坐标为（），点在线段的垂直平分线上，且，求的值
xx年度高二理科寒假作业四参考答案
1—12ABBCC DCCAD BD
13. x2
4
－y2
12
＝1 14. 15. 0 16. 30°
18.解： (1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线方程为x 2m 2－y 2
n
2＝1(a ，b ，m ，n>0，且a>b)， 则⎩⎪⎨⎪⎧ a －m ＝47·13a ＝3·13m ，解得：a ＝7，m ＝3，∴b ＝6，n ＝2，
∴椭圆方程为x 249＋y 236＝1，双曲线方程为x 29－y 24
＝1. (2)不妨设F 1，F 2分别为左、右焦点，P 是第一象限的一个交点，则PF 1＋PF 2＝14，PF 1－PF 2＝6，
∴PF 1＝10，PF 2＝4，∴cos ∠F 1PF 2＝PF 21＋PF 22－F 1F 222PF 1·PF 2＝45
， ∴sin ∠F 1PF 2＝35.∴S △F 1PF 2＝12PF 1·PF 2sin ∠F 1PF 2＝12·10·4·35
＝12. 19. 解：∵交点在第一象限，抛物线的顶点在原点，其准线垂直于x 轴，
∴可设抛物线方程为y 2＝2px(p>0)．∵点P(32，6)在抛物线上，∴(6)2＝2p ×32
，p ＝2，∴y 2＝4x.
∵y 2＝4x 的准线为x ＝－1，且过双曲线的焦点，
∴－c ＝－1，c ＝1，即有a 2＋b 2＝1， ①
又∵点P(32，6)在双曲线上，∴94a 2－6b
2＝1. ② 联立①②，解得a 2＝14，b 2＝34，双曲线方程为4x 2－43
y 2＝1. 故所求的抛物线与双曲线方程分别为y 2＝4x 和4x 2－43
y 2＝1.
20. 证明：设PA=1，以A 为原点，射线AB ，AC ，AP 分别为x ，y ，z 轴正向建立空间直角坐标系如图。

则P （0,0,1），C （0,1,0），B （2,0,0），M （1,0,），
N （,0,0），S （1,,0）.
（1）,
因为，所以CM ⊥SN
（2）,
设a=（x ，y ，z ）为平面CMN 的一个法向量，则
10,2210.2
x y z x x y ⎧-+=⎪⎪=⎨⎪-+=⎪⎩令，得a=(2,1,-2). 因为
所以SN 与片面CMN 所成角为45°。

21. （1）证明：如图所示，建立空间直角坐标系， 设A 1（，0， 0），则C 1（0，2，0），F （0，1，0），
E （0，0，1），A （，0，4），B （0，0，4），
D （0，2，2），G （，1，0），
∴，，，
∴，，∴B 1D ⊥AB ，B 1D ⊥BD ，
又AB ∩BD=B ， ∴B 1D ⊥平面ABD.
（2）证明：∵，，，，
∴∥，∥，∴GF ∥AB ，EF ∥BD ，又GF ∩EF=F ，AB ∩BD=B ，
∴平面EGF ∥平面ABD
（3）解：由 （Ⅰ）、（Ⅱ）可知，DH 为平面EFG 与平面ABD 的公垂线段，
设，则，
∵与共线，∴，即，∴，，∴，因此，平面EGF 与平面ABD 的距离为
(2)解：由（1）可知A （-2,0）。

设B 点的坐标为（x 1,,y 1）,直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y=k(x+2),
于是A, B 两点的坐标满足方程组
由方程组消去y 并整理，得
由得
设线段AB 是中点为M ，则M 的坐标为
以下分两种情况：
（1）当k=0时，点B 的坐标为（2,0）。

线段AB 的垂直平分线为y 轴，于是 000(2,y ),(2,=2QA QB y QA QB y →→→→
=--=-±）由4，得=2（2）当K 时，线段AB 的垂直平分线方程为
令x=0，解得，由
2101022222(28)6462(()14141414k k k k QA QB x y y y k k k k →→
--=---++++++）= 整理得，综上
c21598 545E 呞20620 508C 傌36972 906C 遬$332591 7F4F 罏35270 89C6 视37865 93E9 鏩23661 5C6D 屭26787 68A3 梣34015 84DF 蓟22322 5732 圲。