补充：非平衡玻尔兹曼方程
量子Sommerfeld模型
平衡分布函数 非平衡分布函数 k空间的流体力学连续性方程
目标：欧姆定律（线性响应）

漂移因素处理 碰撞因素处理
分布函数和玻耳兹曼方程 1 电子输运过程中的分布函数 平衡态下电子的费密分布函数 —— 相当于经典统计中的麦克斯韦－玻耳兹曼分布
dk d k ( ) k k 0 dt dt f (k , t ) dk k f (k , t ) 外加电磁场引起分布函数的变化 t dt
—— 漂移项
dk dk [2 f (k , t )] 2 k f (k , t ) 2 f (k , t ) k ( ) t dt dt
—— 外场的作用使得原来的对称分布偏向一边 电子的碰撞又使得分布恢复平衡
—— 假定电子有一定的碰撞自由时间
—— 在碰撞自由时间里所有的电子一同遭遇碰撞
—— k空间电子的分布从非平衡 状态 (2) 回到平衡状态 (1)
—— 在外场作用下又偏离平衡
状态，这样一直循环下去
—— 电子分布平衡状态 到非平衡状态的偏离长度
1897年Thomson发现电子（阴极射线） Drude（1863-1906）意识到金属的导电（热）性质 可能与电子有关 Drude的经典金属自由电子气模型（1900）
量子力学尚未建立，仅有经典物理可供选择
尚无能带概念，如何避免无限加速？
Drude模型
独立电子近似：电子与电子无相互作用
自由电子近似：除碰撞的瞬间外，电子与离子无 相互作用 弛豫时间近似：一给定电子在单位时间内受一次 碰撞的次数为1/τ
qE ( )
2 电子输运过程中的玻耳兹曼方程 —— 分布函数的变化来自两个方面 (1) 漂移项 外场引起的分布在k空间的漂移 —— 分布函数漂移 (2) 碰撞项 电子和晶格以及金属中杂质发生碰撞引起的状态变化 —— 散射
(1) 外场引起的分布在k空间的漂移 —— 分布函数漂移
电子的状态变化
k E 2m*
2
2
2 1 E (k ) k 电子的速度分量 v * k 2m

f0 dk 2 2q *2 k k (k )( ) m E (2 )3
2
f0 dk 2 2q *2 k k (k )( ) m E (2 )3 —— 各向同性下，驰豫时间 (k ) 与 k 无关
dk v (k ) r f (k ,r , t ) k f (k ,r , t ) b a dt
dk qE dt
驰豫时间近似和导电率公式 —— 玻耳兹曼方程 —— 一个积分 － 微分方程
dk b f (k , t )[1 f (k , t )](k , k )[ ] 3 k (2 ) dk a f (k , t )[1 f (k , t )](k , k )[ ] 3 k (2 )
—— 方程两边同次幂的项相等

f1 f2

q E k f 0 q E k f1
q f1 E k f 0
f 0 q f1 E k E (k )( ) E
f1 f 2 q q q E k f 0 E k f1 E k f 2
固体物理
第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章 第八章
So lid S ta te Phy si cs
晶体结构 晶体的结合 晶格的热振动 能带论 金属电子论 半导体电子论 固体磁性 固体超导
1 电子的费米分布 2 电子输运
2 电子输运
经典：Drude模型
量子：Sommerfeld模型
a
k
dk f (k , t )[1 f (k , t )](k , k )[ ] 3 (2 )
—— 碰撞项
玻耳兹曼方程
定态问题 —— 恒定电磁场或温度梯度时 —— 定态玻耳兹曼方程
f (k , t ) 0 t
—— 定态玻耳兹曼方程
定态导电情况 —— 分布函数与位置无关 r f (k ,r , t ) 0
对于单位体积 V 1
dn f 0 [ E (k ), T ]
2 (2 )
3
dk
在无外场时 —— k 空间导带中的电子对称分布 —— 对电流的贡献为零 在有外场时 —— k 空间导带中的电子的分布发生变化 —— 形成电流 服从欧姆定律
j E
—— 稳恒电流的形成意味着在k空间电子的分布达到 一个新的定态统计分布
的变化
dk dk内电子数 dn 2 f (k , t ) 3 的变化 (2 ) dk dk 2 f (k , t ) (b a)[2 ] t 3 3 (2 ) (2 )
b
k
dk f (k , t )[1 f (k , t )](k , k )[ ] 3 (2 )
2
f 0 dk 2q 2 2 2 0 (k1 k2 k3 ) (k )( ) *2 3 m E (2 )3
2 dk 4 k dk
f 0 q2 3 导电率 0 [k (k )]( )dE 2 * 3 m E
k BT 2 —— 对比金属电子总数的积分式和结果___不计 ( 0 ) EF
—— 用跃迁几率函数 (k , k ) 描写
—— 只考虑电子自旋不变的跃迁
dk —— dk内电子数 dn 2 f (k , t ) 的变化 3 (2 )
dk —— dk内电子数 dn 2 f (k , t ) 3 的变化 (2 )
dk [1 f (k , t )] 1) t时间内，dk’的空出的状态数 3 (2 )
1 驰豫时间近似 采取近似方法 —— 假定碰撞项表示为 b a f f 0 (k ) —— 碰撞促使系统趋于平衡
只有碰撞的情形
f f 0 f f t
f (f )t 0 e
t /
驰豫时间 —— 反映了分布函数恢复平衡所需的时间
玻耳兹曼方程 2 欧姆定律 —— 求解玻耳兹曼方程得到
2
—— 只要
k k
—— 积分中其余的因子都是球对称__积分内函数为奇函数 导电率
0

f0 dk 2 2q *2 k k (k )( ) 3 m E (2 )
2
各向同性 11 22
2
1 33 0 ( 11 22 还是得使用半经典
居然得到雷同的结论！？
理解固体中的电流现象
1. 经典Drude-Lorentz模型
2. 半经典Drude-Sommerfeld模型 3. 量子模型：
1. 2.
无相互作用：自由费米子统计模型 + 碰撞 有相互作用：线性响应的久保（Kubo）公式
Drude模型
dk 1 1 {qE q[ k E (k ) B]} dt
—— 将k空间电子分布函数看作是一种流体的分布
dk 1 1 {qE q[ k E (k ) B]} dt
dk —— 流体力学连续性原理 t [2 f (k , t )] k [2 f (k , t ) dt ]

避免电子被无限加速 碰撞后失去原来速度记忆 ——引入散射机制, Markovian过程
Paul Drude, German physicist, 1863-1906
然后可以做准经典近似：将动量换成能带准动量！
Thinking in a random way will drive you mad !
v v dv
内的粒子数
dn f M (v , T )dv
V 2 dk 3 (2 )
在电子能带情况中，dk内的状态数
平衡态下电子的费密分布函数 f0 [ E(k ), T ]
dk内的电子数
2V dn f 0 [ E (k ), T ] dk 3 (2 )
f 0 q f1 E k E (k )( ) E
1 v (k ) k E (k )
f 0 f1 q E v (k )( ) E
—— 在一般电导问题中 电流与电场成正比，只考虑分布函数中电场的一次项
f 0 f f0 f1 f 0 q E v (k )( ) E
电流密度
dk j 2q f (k )v (k ) 3 (2 )
第一项 —— 平衡分布时，积分结果为零
f 0 f1 q E v (k )( ) E
欧姆定律
3 导电率公式 —— 固体的各向异性，导电率是一个张量 f0 dk 2 j 2q v (k )[v (k ) E ]( ) E (2 )3
f (k ) —— 非平衡分布函数
分布函数的物理意义 —— 欧姆定律的物理基础 (1) 金属中的电子在外场作用下加速运动 (2) 电子由于碰撞失去定向运动 分布函数的物理意义 —— 金属能带理论
外场中电子状态变化基本公式
在k空间电子状态移动的速度
d (k ) F dt dk qE dt
—— 金属中存在温度梯度时 在k和r构成的相空间，分布函数
f (k , r , t )
f (k , t ) dk ] k f (k , t ) 漂移项 —— [ t dt
(2) 碰撞项 电子和晶格以及金属中杂质发生碰撞引起的状态变化 —— 散射 单位时间电子状态 从 k 变化到 k
f N Q( E )( )dE E 0