内外的电场强度及电位分布。

解：采用球坐标系分析本题（只涉及了一个变量半径r ，并未涉及其他角度变量）。

在r<a 的区域，高斯面是一个与这个球体相同球心，以r 为半径的球面，所包围的电荷是34
3
r πρ ，因此
22
30
4443i
i r r i S d r E r E r ρπππε===⎰E S e e （r e 表示方向沿径向向外，下面省略了中间过程）
所以
3i r
ρε=r E e （V m ）
在r>a 的区域，高斯面是一个与这个球体相同球心，以r 为半径的球面，所包围的电荷是34
3
a πρ ，
2
30
443o r E a ρ
ππε=
3
203o a r
ρε=r
E e （V m ） 求解电势：由于电荷分布在有限区域，可选无穷远点为参考点。

则 在r<a 时
22
00
(V)
26a i i o r
r
a
a r dr E dr E dr ρρϕεε∞∞
=⋅=+=-⎰⎰⎰
E
在r>a 时
3
0(V)
3o o r
a dr r ρϕε∞
=⋅=⎰
E
8、单匝矩形线圈置于时变场0sin y B t ω=B e 中，如图所示。

初始时刻，线圈平面的法向单位矢量n 与y 轴成0α角。

求：
a) 线圈静止时的感应电动势；
b) 线圈以速度ω绕x 轴旋转时的感应电动势。

答：
a) 线圈静止时，穿过线圈的磁通为
()()000sin sin cos y S
d t ab B ab t B Φωωα⋅⋅===⎰B S
e n
由式（2.59），故感应电动势为
()0
0cos cos d abB t dt Φωωα
ε=-=-
b) 线圈以角速度ω绕x 轴旋转时，法向单位矢量n 的方向随时间变化。

在t 时刻，n 与y 轴的夹
角0t ααω=+,所以
()()()000sin sin cos y S
d B t ab B ab t t Φωωαω⋅⋅===+⎰B S
e n
故感应电动势为
()0
cos 2d abB t dt Φωα
ωε=-=-+
9、一个半径为a 的导体球的电位为U ，设无穷远处为零电位。

求球内、外的电位分布。

解：导体球是等位体，所以球内各点的电位均为U 。

球外的电位满足拉普拉斯方程
两次积分，通解为
根据边界条件求常数，边界条件如下。

(1)r=a 时=U. (2) r
由上述边界条件，确定常数为：A=-aU,B=0,代入通解得
\ 10、半径为a的无限长直导线通有电流I,试计算导体内外的磁场强度。

解：在
H=
在
H=。