2019 年中考数学三模试卷一、精心选一选，相信自己的判断!（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分，每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，不涂、选涂或涂出的代号超过一个的，一律得 0 分） 1．（3 分）计算（﹣1） 的结果是（）A ．﹣2B ．2C ．﹣1D ．12．（3 分）如图，直线 A B ，CD 交于点 O ，EO ⊥AB 于点 O ，∠EOD ＝40°，则∠BOC 的度 数为（）A ．120°B ．130°C ．140°D ．150°3．（3 分）如图，是一个几何体的表面展开图，则该几何体是（）A ．三棱柱B ．四棱锥C ．长方体D ．正方体4．（3 分）下列计算正确的是（）A ．（a ） ＝aB ．a •a ＝aC ．a +a ＝aD ．（ab ） ＝ab5．（3 分）一个多边形的内角和是 720°，这个多边形的边数是（）A ．4B ．5C ．6D ．76．（3 分）某车间 20 名工人日加工零件数如表所示：日加工零件数人数4256657483这些工人日加工零件数的众数、中位数、平均数分别是（）A ．5、6、5B ．5、5、6C ．6、5、6D ．5、6、67．（3分）如图，将矩形A BCD 沿对角线 BD 折叠，点 A 落在点 E 处，DE 交 BC 于点 F ．若 ∠CFD ＝40°，则∠ABD 的度数为（）2 23 62 3 63 473 3A ．50°B ．60°C ．70°D ．80°8．（3 分）如图，平行四边形 ABCD 的周长为 16，∠B ＝60°，设 AB 的长为 x ，平行四边 形 ABCD 的面积为 y ，则表示 y 与 x 的函数关系的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．9．（3分）反比例函数的图象如图所示，则二次函数 y ＝2kx ﹣4x +k 的图象大致是（）A ．B ．2 2C．D．10．（3分）如图，已知正方形ABCD，点E，F分别在CD，BC上，且∠EAF＝∠DAE+∠BAF，则的值为（）A．B．C．D．二、细心填一填，试试自己的身手!（本大题共6小题，每小题3分，共18分，请将结果直接填写在答题卡相应位置上）11．（3分）函数的自变量x的取值范围是．12．（3分）分解因式：x y﹣4y＝．13．（3分）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，则＝．14．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝45°，tan C＝，AB＝，则AC＝．15．（3分）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，书中记载：“今有圆材埋壁中，不知大小．以锯锯之，深1寸，锯道长1尺，问经几何？“其意思为：“如图，今有一圆2形木材埋在墙壁中，不知其大小用锯子去锯这个木材，锯口深 1 寸（即 DE ＝1 寸），锯道长 1 尺（即弦AB ＝1 尺），问这块圆形木材的直径是多少？”该问题的答案是 （注：1 尺＝10 寸）16．（3 分）如图，已知 △R t AOB ，∠OBA ＝90°，双曲线与 OA ，BA 分别交于 C ，D两点，且 OC ＝2AC ，S＝11，则 k ＝ ．三、用心做一做，显显自己的能力!（本大题共 8 小题，满分 72 分，解答写在答题卡上） 17．（6 分）计算：．18．（8 分）如图，AB ∥CD ，AB ＝CD ，BF ⊥AC 于点 F ，DE ⊥AC 于点 E求证：四边形 DEBF 是平行四边形．19．（8 分）四张大小、形状都相同的卡片上分别写有数字 1，2，3，4，把它们放入到不透 明的盒子中摇匀．（1）从中随机抽出 1 张卡片，求抽出的卡片上的数字恰好是偶数的概率；（2）从中随机抽出 2 张卡片，求抽出的 2 张卡片上的数字恰好是相邻两整数的概率．20．（8 分）如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°．小聪同学利用直尺和圆规完成了如下作图① 分别以点 A ，B 为圆心，以大于 AB 长为半径画弧，两弧交于点 M ，N ，过点 M ，N 作直线与 AB 交于点 D ；OBDC 四边形② 连接 CD ，以点 D 为圆心，以一定长为半径画弧，交M N 于点 E ，交 C D 于点 F ，以点C 为圆心，以同样定长为半径画弧，与CD 交于点 G ，以点 G 为圆心，以EF 长为半径画 弧与前弧交于点 H ．作射线 CH 与 AB 交于点 K ，请根据以上操作，解答下列问题（1）由尺规作图可知：直线 M N 是线段 A B 的（2）若 CD ＝5，AK ＝2，求 CK 的长．线，∠DCK ＝ ．21．（10 分）已知关于 x 的方程 x ﹣2kx+k ﹣k ﹣1＝0 有两个不相等的实数根 x ，x ．（1）求 k 的取值范围；（2）若 x ﹣3x ＝2，求 k 的值．22．（10 分）某商店计划购进甲、乙两种商品，乙种商品的进价是甲种商品进价的九折，用 3600 元购买乙种商品要比购买甲种商品多买 10 件（1）求甲、乙两种商品的进价各是多少元？（2）该商店计划购进甲、乙两种商品共 80 件，且乙种商品的数量不低于甲种商品数量的 3 倍．甲种商品的售价定为每件 80 元，乙种商品的售价定为每件 70 元，若甲、乙两 种商品都能卖完，求该商店能获得的最大利润．23．（10 分）如图，在R △t ABC 中，∠ACB ＝90°，AD 为∠CAB 的平分线，点 O 在 AB 上， ⊙O 经过点 A ，D 两点，与 AC ，AB 分别交于点 E ，F（1）求证：BC 与⊙O 相切；（2）若 AC ＝8，AF ＝10，求 AD 和 BC 的长．24．（12 分）如图 1，直线 1：y ＝﹣x+1 与 x 轴、y 轴分别交于点 B 、点 E ，抛物线 L ：y ＝221 21 22ax+bx+c经过点B、点A（﹣3，0）和点C（0，﹣3），并与直线l交于另一点D．（1）求抛物线L的解析式；（2）点P为x轴上一动点①如图2，过点P作x轴的垂线，与直线1交于点M，与抛物线L交于点N．当点P在点A、点B之间运动时，求四边形AMBN面积的最大值；②连接AD，AC，CP，当∠PCA＝∠ADB时，求点P的坐标．2019 年湖北省孝感市安陆市、应城市、云梦县、孝昌县四县市中考数学三模试卷参考答案与试题解析一、精心选一选，相信自己的判断!（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分，每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，不涂、选涂或涂出的代号超过一个的，一律得 0 分） 1．（3 分）计算（﹣1） 的结果是（）A ．﹣2B ．2C ．﹣1D ．1【分析】直接利用有理数乘方的性质化简求出即可．【解答】解：（﹣1） ＝1．故选：D ．【点评】此题主要考查了有理数的乘方运算，正确掌握运算法则是解题关键．2．（3 分）如图，直线 A B ，CD 交于点 O ，EO ⊥AB 于点 O ，∠EOD ＝40°，则∠BOC 的度 数为（）A ．120°B ．130°C ．140°D ．150°【分析】直接利用垂直的定义结合互余以及互补的定义分析得出答案．【解答】解：∵直线 AB ，CD 相交于点 O ，EO ⊥AB 于点 O ，∴∠EOB ＝90°，∵∠EOD ＝40°，∴∠BOD ＝50°，则∠BOC 的度数为：180°﹣50°＝130°．故选：B ．【点评】此题主要考查了垂直的定义、互余以及互补的定义，正确把握相关定义是解题 关键．3．（3 分）如图，是一个几何体的表面展开图，则该几何体是（ ）2 2A．三棱柱B．四棱锥C．长方体D．正方体【分析】由展开图得这个几何体为棱柱，底面为三边形，则为三棱柱．【解答】解：由图得，这个几何体为三棱柱．故选：A．【点评】考查了几何体的展开图，有两个底面的为柱体，有一个底面的为锥体．4．（3分）下列计算正确的是（）A．（a）＝a B．a•a＝a C．a+a＝a D．（ab）＝ab【分析】根据幂的乘方，同类项的合并、同底数幂的乘法和积的乘方解答即可．【解答】解：A、（a）＝a，正确；B、a•a＝a，错误；C、a与a不能合并，错误；D、（ab）＝a b，错误；故选：A．【点评】此题考查幂的乘方和积的乘方，关键是根据法则进行解答．5．（3分）一个多边形的内角和是720°，这个多边形的边数是（）A．4B．5C．6D．7【分析】根据内角和定理180°（•n﹣2）即可求得．【解答】解：∵多边形的内角和公式为（n﹣2）•180°，∴（n﹣2）×180°＝720°，解得n＝6，∴这个多边形的边数是6．故选：C．【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理即180°（•n﹣2），难度适中．6．（3分）某车间20名工人日加工零件数如表所示：日加工零件数人数42566574832362363473323623534333这些工人日加工零件数的众数、中位数、平均数分别是（）A．5、6、5B．5、5、6C．6、5、6D．5、6、6【分析】根据众数、平均数和中位数的定义分别进行解答即可．【解答】解：5出现了6次，出现的次数最多，则众数是5；把这些数从小到大排列，中位数第10、11个数的平均数，则中位数是＝6；平均数是：＝6；故选：D．【点评】本题考查了众数、平均数和中位数的定义．用到的知识点：一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．7．（3分）如图，将矩形A BCD沿对角线BD折叠，点A落在点E处，DE交BC于点F．若∠CFD＝40°，则∠ABD的度数为（）A．50°B．60°C．70°D．80°【分析】根据矩形的性质和平行线的性质得到∠F DA＝40°，根据翻折变换的性质得到∠ADB＝∠EDB＝20°，根据直角三角形的性质可求出∠ABD的度数，即可求出答案．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠A＝90°，∴∠FDA＝∠CFD＝40°，由翻折变换的性质得到∠ADB＝∠EDB＝20°，∴∠ABD＝70°．故选：C．【点评】本题考查平行线的性质、图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中 折叠前后角相等．8．（3 分）如图，平行四边形 ABCD 的周长为 16，∠B ＝60°，设 AB 的长为 x ，平行四边 形 ABCD 的面积为 y ，则表示 y 与 x 的函数关系的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【分析】过点 A 作 AE ⊥BC 于点 E ，构建直角△ABE ，通过解该直角三角形求得 A E 的长度，然后利用平行四边形的面积公式列出函数关系式，结合函数关系式找到对应的图象 【解答】解：如图，过点 A 作 AE ⊥BC 于点 E ，∵∠B ＝60°，设边 AB 的长为 x ，∴AE ＝AB •sin60°＝x ．∵平行四边形 ABCD 的周长为 12，∴BC ＝ （12﹣2x ）＝6﹣x ，∴y ＝BC •AE ＝（6﹣x ）×x ＝﹣x +x （0≤x ≤6）．则该函数图象是一开口向下的抛物线的一部分，观察选项，C 选项符合题意． 故选：C ．2【点评】考查了动点问题的函数图象．掌握平行四边形的周长公式和解直角三角形求得AD、BE的长度是解题的关键．9．（3分）反比例函数的图象如图所示，则二次函数y＝2kx﹣4x+k的图象大致是（）A．B．C．D．【分析】本题可先由反比例函数的图象得到字母系数k＞﹣1，再与二次函数的图象的开口方向和对称轴的位置相比较看是否一致，最终得到答案．【解答】解：∵函数y＝的图象经过二、四象限，∴k＜0，由图知当x＝﹣1时，y＝﹣k＜1，∴k＞﹣1，∴抛物线y＝2kx﹣4x+k开口向下，对称轴为x＝﹣＝，﹣1＜＜0，∴对称轴在﹣1与0之间，∵当x＝0时，y＝k＞1．22222故选：D ．【点评】此题主要考查了二次函数与反比例函数的图象与系数的综合应用，正确判断抛 物线开口方向和对称轴位置是解题关键．属于基础题．10．（3 分）如图，已知正方形 ABCD ，点 E ，F 分别在 CD ，BC 上，且∠EAF ＝∠DAE +∠BAF ，则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】将△ADE 旋转至△ABH ，根据旋转的性质可得∠DAE ＝∠BAH ，AE ＝AH ，DE＝BH ，再利用” S AS “证明△A EF ≌△AHF ，从而得 EF ＝FH ，再根据勾股定理即可求CE +CF ＝EF ，即有（CE ﹣CF ） +2CE •CF ＝（BF ﹣DE ） +4BF •DE ，而 BF ﹣DE ＝CE ﹣CF ，即可求解【解答】解：如图，连接 EF ，将△ADE 旋转至△ABH∴∠DAE ＝∠BAH ，AE ＝AH ，DE ＝BH∴∠EAF ＝∠DAE +∠BAF ＝∠BAH +∠BAF ＝∠FAH∵∠D ＝∠ABC ＝∠ABH ＝90°∴∠ABC +∠ABH ＝180°∴C ，B ，H 三点共线∵AF ＝AF∴△AEF ≌△AHF （SAS ）∴EF ＝FH ＝FB +BH ＝FB +DE∵DE +CE ＝CF +BF∴BF ﹣DE ＝CE ﹣CF∵CE +CF ＝EF∴CE +CF ＝（BF +DE ） 2 2 2 2 22 222 2 2∴（CE ﹣CF ） +2CE •CF ＝（BF ﹣DE ） +4BF •DE ∵BF ﹣DE ＝CE ﹣CF∴2CE •CF ＝4BF •DE∴＝故选：A ．【点评】本题主要考查对正方形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，比例的性质，直角三角形的性质等知识点的理解和掌握，关键要通过作辅助线， 找出全等三角形，得到边与边的关系．再利用勾股定理进行解题．二、细心填一填，试试自己的身手!（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分，请将结果直 接填写在答题卡相应位置上）11．（3 分）函数的自变量 x 的取值范围是 x ≥0 且 x ≠1 ．【分析】根据被开方数大于等于 0，分母不等于 0 列式计算即可得解． 【解答】解：由题意得，x ≥0 且 x ﹣1≠0，解得 x ≥0 且 x ≠1．故答案为：x ≥0 且 x ≠1．【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑： （1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为 0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．12．（3 分）分解因式：x y ﹣4y ＝ y （x +2）（x ﹣2） ．【分析】先提取公因式 y ，然后再利用平方差公式进行二次分解． 【解答】解：x y ﹣4y ，＝y （x ﹣4），＝y （x +2）（x ﹣2）．2 222 2故答案为：y （x +2）（x ﹣2）．【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，利用平方差公式进行二次分解因式 是解本题的难点，也是关键．13．（3 分）如图，在△ABC 中，D ，E 分别是 AB ，AC 的中点，则 ＝ ．【分析】易证△ADE ∽△ABC ，则＝ ，因 D ，E 分别是 AB ，AC 的中点，则可得 DE ：BC ＝1：2，即可求解．【解答】解：∵D ，E 分别是 AB ，AC 的中点∴DE ∥BC ，DE ＝ BC易证△ADE ∽△ABC∴＝ ＝∴＝故答案为【点评】此题主要考查相似三角形的性质，熟悉相似三角形的性质：相似三角形的面积 比是相似比的平方．14．（3 分）如图，在△ABC 中，∠B ＝45°，tan C ＝ ，AB ＝ ，则 AC ＝ ．【分析】先过点 A 作 AD ⊥BC ，垂足是点 D ，得出 AD +BD ＝AB ＝2，再根据∠B ＝45°，2 2 2得出 AD ＝BD ＝1，然后根据 tan C ＝ ，得出 求出 AC ．【解答】解：过点 A 作 AD ⊥BC ，垂足是点 D ，＝ ，CD ＝2，最后根据勾股定理即可∵AB ＝，∴AD +BD ＝AB ＝2，∵∠B ＝45°，∴∠BAD ＝∠B ＝45°， ∴AD ＝BD ，∴AD ＝BD ＝1，∴AD ＝BD ＝1， ∵tan C ＝ ，∴ ＝ ，∴CD ＝2，∴AC ＝故答案为： ．＝ ＝ ．【点评】此题考查了解直角三角形，用到的知识点是勾股定理、解直角三角形等，关键 是作出辅助线，构造直角三角形．15．（3分）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，书中记载：“今有圆材埋壁中，不知大小．以锯锯之，深 1 寸，锯道长 1 尺，问经几何？“其意思为：“如图，今有一圆形木材埋在墙壁中，不知其大小用锯子去锯这个木材，锯口深 1 寸（即 DE ＝1 寸），锯道长 1 尺（即弦 AB ＝1 尺），问这块圆形木材的直径是多少？”该问题的答案是 26 寸 （注：1 尺＝10 寸）2 2 2 2 2【分析】延长 CD ，交⊙O 于点 E ，连接 OA ，由题意知 CE 过点 O ，且 OC ⊥AB ，AD ＝BD ＝ AB ＝5（寸），设圆形木材半径为 r ，可知 OD ＝r ﹣1，OA ＝r ，根据 OA ＝OD +AD 列方程求解可得．【解答】解：延长 CD ，交⊙O 于点 E ，连接 OA ，由题意知 CE 过点 O ，且 OC ⊥AB ，则 AD ＝BD ＝ AB ＝5（寸），设圆形木材半径为 r ，则 OD ＝r ﹣1，OA ＝r ，∵OA ＝OD +AD ， ∴r ＝（r ﹣1） +5 ，解得 r ＝13，所以⊙O 的直径为 26 寸，故答案为：26 寸．【点评】本题考查的是垂径定理的应用，掌握垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所 对的两条弧及勾股定理是解题的关键．16．（3 分）如图，已知 △R t AOB ，∠OBA ＝90°，双曲线与 OA ，BA 分别交于 C ，D两点，且 OC ＝2AC ，S＝11，则 k ＝ 12 ． 2 2 22 2 22 2 2 四边形 OBDC【分析】首先设出点 B 坐标，再根据 AB ⊥x 轴，表示出 D 点坐标，然后运用且 OC ＝2AC ，可得出 C 点及 A 点坐标，坐标转化线段长，表示出四边形 OBDC 的面积，解出 k 值．【解答】解：设 B （x ，0）则 D （x ， ）点 A 的横坐标也为：x过点 C 作 CE ⊥x 轴交 x 轴于点 E 则△COE ∽△AOB∵OC ＝2AC∴∴点 C 的横坐标为：代入反比例函数解析式：y ＝得 y ＝∴C 点的坐标为：（ 又∵∴A 点的纵坐标为：， ）s四边形 OBDC △s AOB △s ADC＝ ﹣∴即：解得：k＝12故本题答案为：12【点评】本题考查反比例函数背景下图形面积转化问题，用点坐标转化线段长是解题关键．三、用心做一做，显显自己的能力!（本大题共8小题，满分72分，解答写在答题卡上）17．（6分）计算：．【分析】直接利用二次根式的性质以及特殊角的三角函数值和负指数幂的性质、绝对值的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式＝3﹣4×+﹣3＝3＝﹣2﹣+﹣3．【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．18．（8分）如图，AB∥CD，AB＝CD，BF⊥AC于点F，DE⊥AC于点E 求证：四边形DEBF是平行四边形．【分析】由AAS证明△ABF≌△CDE得出BF＝DE．由BF∥DE，即可得出四边形DEBF 是平行四边形．【解答】证明：∵AB∥CD，∴∠A＝∠C．∵BF⊥AC，DE⊥AC，∴∠BFA＝∠DEC＝90°，BF∥DE．在△ABF和△CDE中，，∴△ABF≌△CDE（AAS），∴BF＝DE．又∵BF∥DE，∴四边形DEBF是平行四边形．【点评】本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质；熟练掌握平行四边形的判定，证明三角形全等是解题的关键．19．（8分）四张大小、形状都相同的卡片上分别写有数字1，2，3，4，把它们放入到不透明的盒子中摇匀．（1）从中随机抽出1张卡片，求抽出的卡片上的数字恰好是偶数的概率；（2）从中随机抽出2张卡片，求抽出的2张卡片上的数字恰好是相邻两整数的概率．【分析】（1）根据4个数字1，2，3，4中偶数有2和4，即可得出抽出的卡片上的数字恰好是偶数的概率；（2）先利用画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出符合题意的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：（1）4个数字1，2，3，4中偶数有2和4，∴P（偶数）＝＝．（2）画树状图为：共有12种等可能的结果，其中两数恰好是相邻整数的结果数为6，∴P（恰好是相邻整数）＝＝．【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．20．（8分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°．小聪同学利用直尺和圆规完成了如下作图①分别以点A，B为圆心，以大于AB长为半径画弧，两弧交于点M，N，过点M，N作直线与AB交于点D；② 连接 CD ，以点 D 为圆心，以一定长为半径画弧，交M N 于点 E ，交 CD 于点 F ，以点C 为圆心，以同样定长为半径画弧，与CD 交于点 G ，以点 G 为圆心，以EF 长为半径画 弧与前弧交于点 H ．作射线 CH 与 AB 交于点 K ，请根据以上操作，解答下列问题（1）由尺规作图可知：直线 MN 是线段 AB 的 垂直平分 线，∠DCK ＝ ∠CDM ． （2）若 CD ＝5，AK ＝2，求 CK 的长．【分析】（1）利用基本作图（作线段的垂直平分线和作一个角等于已知角）填空；（2）先利用 CD 为斜边上的中线得到 AD ＝CD ＝BD ＝5．则 DK ＝3，再利用∠DCK ＝∠CDM 得到 CK ∥MN ，所以∠CKD ＝∠MDB ＝90°，然后利用勾股定理计算 CK 的长．【解答】解：（1）由作法得直线 MN 是线段 AB 的垂直平分线，∠DCK ＝∠CDM ； 故答案为垂直平分；∠CDM ；（2）∵∠ACB ＝90°，AD ＝BD ，∴AD ＝CD ＝BD ＝5．∴DK ＝AD ﹣AK ＝3，∵∠DCK ＝∠CDM ，∴CK ∥MN ，∴∠CKD ＝∠MDB ＝90°，∴CK ＝＝ ＝4．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图 形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．21．（10 分）已知关于 x 的方程 x ﹣2kx +k ﹣k ﹣1＝0 有两个不相等的实数根 x ，x ．（1）求 k 的取值范围；2 21 2（2）若 x ﹣3x ＝2，求 k 的值．【分析】（1）由题意得出△≥0 进而得出答案；（2）根据解方程组求出 x 、x 的值，将其代入 x﹣3x ＝2 中可求出 k 值． 【解答】解：（1）△＝（﹣2k ） ﹣4（k ﹣k ﹣1）＝4k +4＞0，∴k ＞﹣1；（2）∵ ，∴，∵x •x ＝k ﹣k ﹣1， ∴ （3k +1）（k ﹣1）＝k ﹣k ﹣1，∴k ＝3，k ＝﹣1，∵k ＞﹣1，∴k ＝3．【点评】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握根与系数的关系．22．（10 分）某商店计划购进甲、乙两种商品，乙种商品的进价是甲种商品进价的九折，用3600 元购买乙种商品要比购买甲种商品多买 10 件（1）求甲、乙两种商品的进价各是多少元？（2）该商店计划购进甲、乙两种商品共 80 件，且乙种商品的数量不低于甲种商品数量的 3 倍．甲种商品的售价定为每件 80 元，乙种商品的售价定为每件 70 元，若甲、乙两种商品都能卖完，求该商店能获得的最大利润．【分析】（1）根据题意可以列出相应的分式方程，从而可以求得甲、乙两种商品的进价各是多少元，注意分式方程要检验；（2）根据题意可以得到利润和购买甲种商品件数的函数关系式，然后一次函数的性质即 可解答本题．【解答】解：（1）设甲种商品的进价为 x 元/件，则乙种商品的进价为 0.9x 元/件， ，解得，x ＝40，1 2 1 2 1 2 2 2 2 1 22 1 2经检验，x＝40是原分式方程的解，∴0.9x＝36，答：甲、乙两种商品的进价各是40元/件、36元/件；（2）设甲种商品购进m件，则乙种商品购进（80﹣m）件，总利润为w元，w＝（80﹣40）m+（70﹣36）（80﹣m）＝6m+2720，∵80﹣m≥3m，∴m≤20，∴当m＝20时，w取得最大值，此时w＝2840，答：该商店获得的最大利润是2840元．【点评】本题考查一次函数的应用、分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答，注意分式方程要检验．23．（10分）如图，在R△t ABC中，∠ACB＝90°，AD为∠CAB的平分线，点O在AB上，⊙O经过点A，D两点，与AC，AB分别交于点E，F（1）求证：BC与⊙O相切；（2）若AC＝8，AF＝10，求AD和BC的长．【分析】（1）连接OD．根据等腰三角形的性质得到∠ODA＝∠OAD．根据角平分线的定义得到∠C AD＝∠BAD．根据平行线的性质得到∠O DB＝∠ACB＝90°，于是得到结论；（2）连接DF．根据圆周角定理得到∠ADF＝90°，根据相似三角形的性质得到AD＝4，由勾股定理得到CD＝＝4．根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】（1）证明：连接OD．∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD．又∵AD平分∠CAB，∴∠CAD＝∠BAD．∴∠ODA ＝∠CAD ，∴OD ∥AC ，∴∠ODB ＝∠ACB ＝90°，∴OD ⊥BC ，∴BC 与⊙O 相切；（2）解：连接DF ． ∵AF 为直径，∴∠ADF ＝90°，∴∠ACD ＝∠ADF ．又∵∠CAD ＝∠FAD ，∴△CAD ∽△DAF ，∴ ＝，∴AD ＝CA •AF ＝80，∴AD ＝4， 在 △R t ACD 中，CD ＝∵OD ∥AC ，∴△BOD ∽△BAC ，∴ ＝ ，＝4．∴ ＝∴BC ＝，．【点评】本题考查了切线的判定和性质，极品飞车的定义，平行线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．24．（12 分）如图 1，直线 1：y ＝﹣x +1 与 x 轴、y 轴分别交于点 B 、点 E ，抛物线 L ：y ＝ax+bx +c 经过点 B 、点 A （﹣3，0）和点 C （0，﹣3），并与直线 l 交于另一点 D ． 2 2（1）求抛物线 L 的解析式；（2）点 P 为 x 轴上一动点①如图 2，过点 P 作 x 轴的垂线，与直线 1 交于点 M ，与抛物线 L 交于点 N ．当点 P 在点 A 、点 B 之间运动时，求四边形 AMBN 面积的最大值；②连接 AD ，AC ，CP ，当∠PCA ＝∠ADB 时，求点 P 的坐标．【分析】（1）先求出 B 的坐标，再将 A 、B 、C 坐标代入 y ＝ax +bx +c 列方程组，然后求解，即可求出抛物线的解析式；（2）①根据 S四边形 ＝ AB •MN ＝＝﹣2（x + ） + ，所以当 x ＝﹣ 时，S四边形 AMBN 最大值为 ；②先联立方程组．求出 D 点的坐标，两种情况讨论：Ⅰ．当点P 在点 A 的右边，∠PCA＝∠ADB 时，△PAC ∽△ABD ；Ⅱ．当点 P 在点 A 的左边，∠PCA ＝∠ADB 时，记此时的点 P 为 P ，则有∠P CA ＝∠P CA ．【解答】解：（1）∵y ＝﹣x +1，∴B （1，0），将 A （﹣3，0）、C （0，﹣3），B （1，0）代入 y ＝ax +bx +c ，，∴∴抛物线 L 的解析式：y ＝x +2x ﹣3；（2）设 P （x ，0）．2AMBN 2 2 2 12 2①S ＝四边形＝AB•MN＝﹣2（x+）+，∴当x＝﹣时，S四边形AMBN最大值为；②由，得，，∴D（﹣4，5），∵y＝﹣x+1，∴E（0，1），B（1，0），∴OB＝OE，∴∠OBD＝45°．∴BD＝．∵A（﹣3，0），C（0，﹣3），∴OA＝OC，AC＝3，AB＝4．∴∠OAC＝45°，∴∠OBD＝∠OAC．Ⅰ．当点P在点A的右边，∠PCA＝∠ADB时，△PAC∽△ABD．∴∴∴，，，AMBN2∴P （）Ⅱ．当点 P 在点 A 的左边，∠PCA ＝∠ADB 时，记此时的点 P 为 P ，则有∠P CA＝∠ P CA ．过点 A 作 x 轴的垂线，交 P C 于点 K ，则∠CAK ＝∠CAP ，又 AC 公共边，∴△CAK ≌△CAP （ASA ）∴AK ＝AP ＝∴K （﹣3，﹣，）， ∴直线 CK ：，∴P （﹣15，0）．P 的坐标：P （），P （﹣15，0）． 【点评】本题考查了二次函数，熟练掌握二次函数的基本性质和相似三角形的性质是解 题的关键． 1 2 2 12 11 12 1 2。