高中数学数列专题练习（精编版） 1. 已知数列{}()na n N *∈是等比数列,且130,2,8.na a a >==(1)求数列{}n a 的通项公式; (2)求证:11111321<++++na a a a ； (3)设1log 22+=n n ab ,求数列{}n b 的前100项和.2.数列(1)(2)设20||a +， (3) ||n n T a ++,n3. ⎩4 .已知数列{}n a 的相邻两项1,+n n a a 是关于x 的方程022=+-n n b x x ∈n (N )*的两根,且11=a .(1) 求证: 数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧⨯-n n a 231是等比数列;(2) 求数列{}n b 的前n 项和n S .5.6. 划，万元，(1)b n 的表达式；(2)7. 在等比数列{a n }(n ∈N*)中，已知a 1＞1，q ＞0．设b n =log 2a n ，且b 1＋b 3＋b 5=6，b 1b 3b 5=0．(1)求数列{a n }、{b n }的通项公式a n 、b n ；(2)若数列{b n }的前n 项和为S n ，试比较S n 与a n 的大小．8. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n 是S n 与2的等差中项，数列{b n }中，b 1=1， 点P （b n ，b n+1）在直线x -y +2=0上。

（1）求a 1和a 2的值；（2）求数列{a n }，{b n }的通项a n 和b n ；（3）设c n =a n ·b n ，求数列{c n }的前n 项和T n 。

9. 已知1194-且13n n b b --10. 已知等差数列{}a n 的前9项和为153．（1）求5a ；（2）若，82=a ，从数列{}a n 中，依次取出第二项、第四项、第八项，……，第2n 项，按原来的顺序组成一个新的数列{}c n ，求数列{}c n 的前n 项和S n .11.已知曲线C ：x y e =（其中e 为自然对数的底数）在点()1,P e 处的切线与x 轴交于点1Q ，过点1Q 作x 轴的垂线交曲线C 于点1P ，曲线C 在点1P 处的切线与x 轴交于点2Q ，过点2Q 作x 轴的垂线交曲线C 于点2P ，……，依次下去得到一系列点1P 、2P 、……、n P ，设点n P 的坐标为(),n n x y （*n ∈N ）．12. （1（213. （1（2）当33a =时，在数列{}n a 中是否存在一项m a （m 正整数），使得 3a ，5a ，m a 成等比数列，若存在，求m 的值；若不存在，说明理由．（3）若自然数123t n , n , n , , n , , ⋅⋅⋅⋅⋅⋅(t 为正整数)满足5< 1n <2n < ⋅⋅⋅ < t n <⋅⋅⋅， 使得31t 5n n a , a ,a , ,a , ⋅⋅⋅⋅⋅⋅成等比数列，当32a =时， 用t 表示t n14. 已知二次函数2()f x ax bx =+满足条件:①(0)(1)f f =; ②()f x 的最小值为18-.(Ⅰ)求函数()f x 的解析式;(Ⅱ)()f n (Ⅲ)15. x n+1, 0）（n数列专题练习参考答案1. 解：(1)设等比数列{}n a 的公比为q .则由等比数列的通项公式11n n a a q -=得3131a a q -=,284,2q ∴==又()0,22n a q >∴=分∴数列{}n a 的通项公式是()12223n nn a -=⨯=分.()123231111211111112221222212nn n a a a a ++++-⨯=++++=- ()11,n=-6分()11,117,2n≥∴-<分()118.na ++<分 (()()(){}()121219,212112n n n n n b b n n b -+=+-+--+=⎡⎤⎣⎦分数列是首项为3,公差为2的等差数列11分∴数列{}n b 的前100项和是()100100991003210200122S ⨯=⨯+⨯=分 2．解：（1）C 2n ＝－25656751256720(2)|||||||||(+a ))(++a )=260n n T a a a a a a a a a a a a a a =++++++++++++++｜－－22, 59, 5n n n n n ≤+>－－1352-122(14)(-1 2222)(3711)341422(41)23n n n n n n n n =⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅=++⋅=++3.－）（＋＋＋－－4 .解：证法1: ∵1,+n n a a 是关于x 的方程022=+-n n b x x ∈n (N )*的两根,∴⎩⎨⎧==+++.,211n n n n n n a a b a a由n n n a a 21=++,得⎪⎭⎫⎝⎛⨯--=⨯-++n n n n a a 23123111,故数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧⨯-n n a 231是首项为31321=-a ,公比为1-的等比数列.证法2: ∵1,+n n a a 是关于x 的方程022=+-n n b x x ∈n (N )*的两根,∴⎩⎨⎧==+++.,211n n n n n n a a b a a(2)解∴b ∴22 100.90.10.1 100.1.........................................6 n n n n n ++=++5.总费用＝＋分210 100.1 100.1121 3............................................9 .............................10n n n n n n=++=++≥+=平均费用当时，汽车报废最合算＝分分6. 解：(1)第1年投入为800万元，第2年投入为800×(1－51)万元，… 第n 年投入为800×(1－51)n －1万元，所以，n 年内的总投入为a n =800+800×(1－51)+…+800×(1－51)n －1=∑=n k 1800×(1－51)k －1=4000×［1－(54)n ］第1年旅游业收入为400万元，第2年旅游业收入为400×(1+41)，…，第n 年旅游业收入400×(1+41b n (2)1113132332(1),1, log 1, 6, 81, n n a q b a b b b a q a a >>=>++====∴=7.解∶知必有由即即14log (9)(2)(1),5,.229,0,0,;12,47;168,;111345678,91010974,421,248n n n n n n n n n n n n n n n b n n b n S n S a a S n S a a S n S a a S -=-=-==>∴>===∴>===∴<；由知当≥时≤当或时或或当时、、、、、、、、、、、、、、、.,129,; 345678,.(13)n n n n n n n a S n a S =>=<综上所述当或或≥时有当时有分、、、、、 8. 解：（1）∵a n 是S n 与2的等差中项 ∴S n =2a n -2 ∴a 1=S 1=2a 1-2，解得a 1=2a 1+a 2=S 2=2a 2-2，解得a 2=4···3分（2）∵S n =2a n -2，S n -1=2a n -1-2， 又S n —S n -1=a n ，*),2(N n n ∈≥ ∴a n =2a n -2a n -1， ∵a n ≠0，∴*),2(21N n n a a n n∈≥=-，即数列{a n }是等比树立∵a 1=2，∴a n =2n ∵点P (b n ，b n +1)在直线x-y+2=0上，∴b n -b n +1+2=0，∴b n +1-b n =2，即数列{b n }是等差数列，又b 1=1，∴b n =2n-1， ···8分（3∴T n ∴2T 即： ∴T n 9. 解：∴(2)∴n b n b - (3)由n b -=221111130()(120()023323n n --+⨯-=+⨯> ，∴{}n b 是递增数列 ………11分当n =1时, 11194b =-<0；当n =2时, 23104b =-<0；当n =3时, 351043b =-<0；当n =4时, 471049b =->0，所以,从第4项起的各项均大于0,故前3项之和最小. 且31101(135)3010414312S =++---=-…………………………13分10. 解：（1）15392292)(955919==⨯=+=a a a a S175=∴a ………5分（2）设数列 {}a n 的公差为d ，则⎩⎨⎧==∴⎩⎨⎧=+==+=35174811512d a d a a d a a 23+=∴n a n ………9分S a a a a n n n n n =++++=+++++=++2482132482232……·()26n - …12分11.解：（Ⅰ）∵x y e '=，∴曲线C ：x y e =在点()1,P e 处的切线方程为()1y e e x -=-，即y ex =． 此切线与x 轴的交点1Q 的坐标为()0,0，∴点1P 的坐标为()0,1． ……2分 ∵点n P 的坐标为(),n n x y （*n ∈N ），∴曲线C ：x y e =在点n P (),n n x y 处的切线方程为()n n x x n y e e x x -=-， ……4分 令0y =，得点1n Q +的横坐标为11n n x x +=-．∴数列{}n x 是以0为首项，1-为公差的等差数列．∴1n x n =-，1n n y e -=．（*n ∈N ） ……8分 （Ⅱ）∴1122331......... ni i n n i x y x y x y x y x y ==++++∑1234101232122112234 ........(1) (1)234 ........(1) (2)(1)(2)(1)1........(1)1(1) [1](1)(1n n n n n n S e e e e n e eS e e e e n e e S e e e n e e n e S e e ==∴=++++∴=－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－得到：－－－－－－－－)e ……14分12. 解：（1）由1*1(2)2,(,0)n n n n a a n N λλλλ++=++-∈>，可得11122()()1n n n n n na a λλλλ+++-=-+所以2{(}n nna λλ-是首项为0，公差为1的等差数列.（2）解：因为2()1n nna n λλ-=-即*(1)2,()n n n a n n N λ=-+∈设2312(2)(1)n n n T n n λλλλ-=++⋅⋅⋅+-+-……①3412(2)(1)n n n T n n λλλλλ+=++⋅⋅⋅+-+-……②当1λ≠时，①-②得2341(1)(1)n n n T n λλλλλλ+-=+++⋅⋅⋅+-- 211(1)(1)1n n n λλλλ-+-=--- 21121222(1)(1)(1)1(1)n n n n n n n n T λλλλλλλλλ++++----+=-=--- 13. 解：（1）在等差数列{}n a 中，公差d 0≠，且56a =，则2a a a , a a 12=+∴+=（2235 a a =（3）在等差数列{ 则116a d 2 a d +=⎧⇒⎨+=⎩a 又因为 14.解(2) 1245n n T a a a ⎛⎫== ⎪⎝⎭ ,2(1)(1)211214(2)5n n n n T a a a n -----⎛⎫==≥ ⎪⎝⎭, 114(2)5n n n n T a n T --⎛⎫∴==≥ ⎪⎝⎭,又111a T ==满足上式. 所以14()5n n a n N -*⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭……………7分(3) 若5()n f a 是n b 与n a 的等差中项, 则25()n n n f a b a ⨯=+, 从而21110()22n n n n a a b a -=+, 得2239565(55n n n n b a a a =-=--. 因为14()5n n a n N -*⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭是n 的减函数, 所以 当35n a ≥, 即3()n n N *≤∈时, n b 随n 的增大而减小, 此时最小值为3b ; 当35n a <, 即4()n n N *≥∈时, n b 随n 的增大而增大, 此时最小值为4b .即y 令y 即nx 成等比数∴1242031n n n b x -=-=>-∴111112122223111113313133n n n n n n b b ----+-==<≤=-+ 当1n =时，显然1123T b ==<．当1n >时，21121111()()333n n n n b b b b ---<<<< ∴12n n T b b b =+++111111()33n b b b -<+++11[1()]3113n b -=-133()33n =-⋅<． 综上，3n T <(*)n N ∈．。