二次函数一、二次函数的几何变换二、二次函数的图象和性质(Ⅰ) y=a(x-h)2+k (a≠0)的图象和性质(Ⅱ) y=ax2+bx+c (a≠0)的图象和性质(Ⅲ) a 、b 、c 的符号对抛物线形状位置的影响三、待定系数法求二次函数的解析式1、一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式。

2、顶点式：()k h x a y +-=2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式。

3、交点式：已知图像与x 轴的交点横坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=。

4、顶点在原点，可设解析式为y=ax 2。

5、对称轴是y 轴（或者顶点在y 轴上），可设解析式为y= ax 2+c 。

6、顶点在x 轴上，可设解析式为()2h x a y -=。

7、抛物线过原点，可设解析式为y=ax2+bx 。

四、抛物线的对称性1、抛物线与x 轴有两个交点（x 1,0）（x 2,0），则对称轴为x=2x x 21+。

2、抛物线上有不同的两个交点（m ，a ）（n,a ），则对称轴为x=2nm +。

3、抛物线c bx ax y ++=2（a ≠0）与y 轴交点关于对称轴的对称点为(ab-, c)。

五、二次函数与一元二次方程的关系对于抛物线c bx ax y ++=2（a ≠0），令y=0，即为一元二次方程02=++c bx ax ，一元二次方程的解就是二次函数与x 轴交点的横坐标。

要分三种情况：1、 判别式△=b 2-4ac ＞0⇔抛物线与x 轴有两个不同的交点（ab 24acb -2+，0）（a b 24ac b --2，0）。

有韦达定理可知x 1+x 2=a b - ，x 1·x 2=ac 。

2、 判别式△=b 2-4ac=0⇔抛物线与x 轴有一个交点（ab 2-，0）。

3、 判别式△=b 2-4ac=0⇔抛物线与x 轴无交点。

六、二次函数与一元二次不等式的关系1、a ＞0：（1）02＞c bx ax ++的解集为：x ＜x 1或x ＞x 2（x 1＜x 2）。

（2）02＜c bx ax++的解集为：x 1＜x ＜x 2（x 1＜x 2）。

2、a ＜0：（1）02＞c bx ax ++的解集为：x 1＜x ＜x 2（x 1＜x 2）。

（2）02＜c bx ax++的解集为：x ＜x 1或x ＞x 2（x 1＜x 2）。

七、二次函数的应用 1、面积最值问题。

2、长度、高度最值问题。

3、利润最大化问题。

4、利用二次函数求近似解。

例1、抛物线cbxaxy++=2与直线caxy+=在同一平面直角坐标系中的图像大致是（）例2已知二次函数y=-x2+bx-8的最大值为8,则b的值为（）A、 8B、 -8C、 16D、 8或-8例3、已知一抛物线与x轴的交点是A（-2,0）B（1,0）且经过点C（2,8）（1）求该抛物线的解析式；（2）求该抛物线的顶点坐标例4、已知二次函数y=3（x﹣1）2+k的图象上有三点A（2，y1），B（2，y2），C（5-，y3），则y1、y2、y3的大小关系为。

例5、把抛物线y=x2+bx+c的图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得的图象解析式是y= x2-3x+5,则a+b+c=。

例6、一次函数Y=kx+b的图像与x轴和y轴分别交于A（-8,0）和点B（0,4），线段AB垂直平分线CD交x轴与点C交于AB于点D，求：1、确定直线AB的解析式2、求过A、B、C三点的抛物线解析式3、抛物线对应的二次函数有最大值还是最小值当X等于几时，相应的最大值或最小值是多少例7、已知抛物线与x轴交于点A（-2，0），B（4，0），与y轴交于点C（0，8）．抛物线顶点为D，直线CD交x轴于点E，过点B做x轴的垂线交直线CD于点F。

（1）求抛物线的解析式及其顶点D的坐标；（2）求直线CD的解析式（3）在线段BF上是否存在点P，使得P到直线CD的距离等于点P到原点O的距离。

如果存在，求出点P坐标。

例8（2013•永州）如图，已知二次函数y=（x ﹣m ）2﹣4m 2（m ＞0）的图象与x 轴交于A 、B 两点。

（1）写出A 、B 两点的坐标（坐标用m 表示）；（2）若二次函数图象的顶点P 在以AB 为直径的圆上，求二次函数的解析式； （3）设以AB 为直径的⊙M 与y 轴交于C 、D 两点，求CD 的长．例9、（2010 常德）如图，已知抛物线y=21x 2+bx+c 与x 轴交于点A （-4，0）和B （1，0）两点，与y 轴交于C 点． （1）求此抛物线的解析式；（2）设E 是线段AB 上的动点，作EF ∥AC 交BC 于F ，连接CE ，当△CEF 的面积是△BEF 面积的2倍时，求E 点的坐标；（3）若P 为抛物线上A 、C 两点间的一个动点，过P 作y 轴的平行线，交AC 于Q ，当P 点运动到什么位置时，线段PQ 的值最大，并求此时P 点的坐标．例10、（1）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①b2-4ac ＞0；②abc＞0；③8a+c＞0；④9a+3b+c＜0其中，正确的结论是。

图（1）图（2）图（3）（2）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＞0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＞m（am+b），（m≠1的实数）．其中正确的结论有______（填序号）（3）（2013浙江义乌）如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A(－1，0)，顶点坐标为(1，n)，与y轴的交点在(0，2)、(0，3)之间（包含端点），则下列结论：①当；④3≤n≤4中，正确的是（）．x＞3时，y＜0；②3a＋b＞0；③－1≤a≤－23A．①② B．③④C．①④D．①③例11、（2005•绵阳）有一个抛物线形的拱形隧道，隧道的最大高度为6m，跨度为8m，把它放在如图所示的平面直角坐标系中．（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；（2）若要在隧道壁上点P（如图）安装一盏照明灯，灯离地面高．求灯与点B的距离．例12、（2012•嘉兴）某汽车租赁公司拥有20辆汽车．据统计，当每辆车的日租金为400元时，可全部租出；当每辆车的日租金每增加50元，未租出的车将增加1辆；公司平均每日的各项支出共4800元．设公司每日租出x辆车时，日收益为y元．（日收益=日租金收入一平均每日各项支出）（1）公司每日租出x辆车时，每辆车的日租金为_________ 元（用含x的代数式表示）；（2）当每日租出多少辆时，租赁公司日收益最大最大是多少元（3）当每日租出多少辆时，租赁公司的日收益不盈也不亏例13、如图，隧道的截面由抛物线AED和矩形ABCD构成，矩形的长BC为8m，宽AB 为2m，以BC所在的直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，y 轴是抛物线的对称轴，顶点E到坐标原点O的距离为6 m．（1）求抛物线的解析式；(2)如果该隧道内设双行道，现有一辆货运卡车高为 m，这辆货运卡车能否通过该隧道通过计算说明．例14、在坡面为OA的斜坡上，有两根电线杆OC，AD，如图，以地平面为x轴，OC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，已知OA=41米，AB=9米，OC=AD=10米，坡面中点F处与电线的距离EF=米（1）求电线所在的抛物线解析式；（2）若平行于y轴的任意直线x=k交抛物线于点M，交坡面OA于点N，求MN的最小值．练习1、（2013·嘉兴）一次函数y=ax+b(a不等于0)的图像与x轴的交点坐标是(-2,0),则抛物线y=ax2+bx的对称轴为（）A.直线x=1B.直线x=-2C.直线x=-1D.直线x=-42、二次函数y=-2x2+4x+1的图象如何移动就得到y=-2x2的图象（）A.向左移动1个单位，向上移动3个单位B.向右移动1个单位，向上移动3个单位C.向左移动1个单位，向下移动3个单位D.向右移动1个单位，向下移动3个单位3、把抛物线y=ax2+bx+c向左平移2个单位,再向下平移1个单位后,恰好与抛物线y=2x2+x+1重合，求出a，b，c的值，并画出函数的示意图。

4、已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的顶点P的横坐标是4,图象交x轴于点A(m,0)和点B,且m>4,那么AB的长是( ).A、4+mB、mC、2m-8D、8-2m5、当23x ≤≤时，函数223y x x =-+-的最大值为 。

6、如图是我省某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与水平桥面相交于A ，B 两点，拱桥最高点C 到AB 的距离为9m ，AB=36m ，D ，E 为拱桥底部的两点，且DE ∥AB ， 点E 到直线AB 的距离为7m ，则DE 的长为______m ．7、若抛物线y=x 2+bx+c 与x 轴只有一个交点，且过点A （m ，n ）.B （m+6，n ），则n= 。

8、已知函数，若使y＝k成立的x值恰好有三个，则k的值为（）A．0 B．1 C．2 D．39、在“母亲节”前夕，我市某校学生积极参与“关爱贫困母亲”的活动，他们购进一批单价为20元的“孝文化衫”在课余时间进行义卖，并将所得利润捐给贫困母亲．经试验发现，若每件按24元的价格销售时，每天能卖出36件；若每件按29元的价格销售时，每天能卖出21件．假定每天销售件数y（件）与销售价格x（元/件）满足一个以x为自变量的一次函数．（1）求y与x满足的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；（2）在不积压且不考虑其他因素的情况下，销售价格定为多少元时，才能使每天获得的利润P最大10、（1）（2012•衡阳）如图为二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象，则下列说法：①a ＞0 ②2a+b=0 ③a+b+c ＞0 ④当﹣1＜x ＜3时，y ＞0其中正确的个数为（ ）A 、1B 、2C 、3D 、 4图（1）（2）（黄石市）已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，有以下结论：①0a b c ++<；②1a b c -+>；③0abc >；④420a b c -+<；⑤1c a ->其中所有正确结论的序号是（ ）A ．①②B ． ①③④C ．①②③⑤D ．①②③④⑤ （3）（南充）如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分，图象过点A （－3，0），对称轴为x ＝－1．给出四个结论：①b 2＞4ac ；②2a ＋b =0；③a －b ＋c =0；④5a ＜b ．其中正确结论是（ ）A 、②④B 、 ①④C 、②③D 、①③ （4）（江苏省镇江市）函数2y x x m =-+（m 为常数）的图象如图，如果x a =时，0y <；那么1x a =-时，函数值（ ）A ．0y <B ．0y m <<C ．y m >D ．y m =（5）（山东省滨州市）若A （-4，y 1），B （-3，y 2），C （1，y 3）为二次函数y=x 2+4x-5的图象上的三点，则y 1，y 2，y 3的大小关系是（ ）A 、y 1＜y 2＜y 3B 、y 2＜y 1＜y 3C 、y 3＜y 1＜y 2D 、y 1＜y 3＜y 211 1- Oxy图（2）图（3）yO x 1 x 2图（4）11、（2011•贵阳）如图所示，二次函数y=-x 2+2x+m 的图象与x 轴的一个交点为A （3，0），另一个交点为B ，且与y 轴交于点C ． （1）求m 的值； （2）求点B 的坐标； （3）该二次函数图象上有一点D （x ，y ）（其中x ＞0，y ＞0）使S △ABD =S △ABC ，求点D 的坐标．12、如图，已知抛物线bx x y +=221与直线x y 2=交于点O （0，0），A （a ，12），点B 是抛物线上O ，A 之间的一个动点，过点B 分别作x 轴、y 轴的平行线与直线OA 交于点C ，E 。