H
m ×n r
U A AU = diag( λ1 , λ2 , , λn ) = Λ
H H
证明
A = UΛ U A
H
+
+
H
解：因为
A A = Udiag( λ1 , λ2 , , λn )U = U ΛU
H H
H
不妨设
λ1 , λ2 , , λr ≠ 0, λr +1 = λr +2 === λn 0
推论：若 A ∈ C
+
m×r r
，则
H −1 H
A = ( A A) A
若 A∈C
r ×n r ，则 +
A = A ( AA )
H
+
H −1
定理6：伪逆矩阵 A 唯一。 证明：设 X , Y 都是 A 的伪逆矩阵，则
= X XAX = XAYAX = X ( AY ) ( AX )
H
H
X ( AXAY = X = XAY ) ( AY )
H H
+
H −1
−1
H
1 1 0 ( 1 0 −1 0 ) −1 [ ] −1 −1 −1 −1 ([ −1 2] ) [ −1 2] 2 1 −1 2 1 1 = = 0 [ −1 2 0 0 ] 10 10 −1 1 −2
阵方程(1)的一般解(通解)为
I r B −1 (3) X =Q P C D 其中 B, C , D 分别是任意 r × ( s − r ), ( n − r ) × r ,
−1
( n − r ) × ( s − r ) 矩阵。
证明：把形如(3)的矩阵以及(2)式代入矩阵方程 (1)，得到：
H H H −1 −1 H −1
因此
( A A) A = C (CC ) ( B B ) (CC ) CC B
H H H H H
+
H −1 H
−1
H −1
H
C = A (CC ) ( B B ) B
H H
H −1
−1
+
同理可证：
A ( A A) = A
H H
+
+
例3：设 A ∈ C ，则 A A 是正定或半正定 n ×n Hermite矩阵，故存在 U ∈ C ，使得
第十章 广义逆矩阵
10.1 广义逆矩阵的概念 10.2 广义逆矩阵A+和A10.3 广义逆矩阵的应用
定理1：设 A是数域 K上一个 s × n 矩阵，则矩 阵方程 (1) AXA = A 总是有解。如果 rank( A) = r ，并且
I r 0 (2) A= P Q 0 0 n 阶可逆矩阵，则矩 其中 P 与 Q 分别是 s 阶、
+
0 0
1 设 A= 1 B O 设 A= ，其中 B 是可逆矩阵，则 O O
B A = O
+ −1
1 2 + ，那么 A = 1 2
O O
+ −1
如果 A是一个可逆矩阵，那么 A = A
下面我们讨论伪逆矩阵的求法 定理5：设 A ∈ C m×n , A = BC 是 A 的一个满 秩分解，则
即
I r B −1 Qγ = P β C D 先分析 Qγ 与 P −1β 之间的关系。由已知 Aγ = β ，
因此我们有
I r 0 −1 0 0 Qγ = P β −1 分别把 Qγ , P β 分块，设 行 Y1 }r Qγ = Y2 }n − r行
H + H H + H + + + H + + + H H H +
A (3) A ( AA ) ( A A) A = =
证明：容易验证(1)，(2)，现在只证(3)。 H 设 A = BC 是 A 的满秩分解，则 A A 的满 秩分解可以写成
A A = C ( B BC )
H H H
其中 C
H +
Ir γ =Q C
− −1
0 −1 β P 0 0 −1 P 0
从而只要取
则
γ =Aβ
−
Ir A =Q C
定理4(齐次线性方程组解的结构定理)：数域 K 上 n 元齐次线性方程组 AX = 0 的通解为
= X ( I n×n − A A) Z −1 其中 A 是 A 的任意给定的一个广义逆，Z 取遍 n K 中任意列向量。
X = A β + ( I n×n − A A) Z
− −
Z取 其中 A− 是 A 的任意给定的一个广义逆， n 遍 K 中任意列向量。
证明：我们已经知道 A β 是非齐次线性方程 − 组 AX = β 的一个解，又知道( I n×n − A A) Z 是导出组 AX = 0 的通解，所以 − − X = A β + ( I n×n − A A) Z 是 AX = β 的通 解。
因为 P, Q 可逆，所以从上式得
I r 0 I r 0 I r 0 0 0 QGP 0 0 = 0 0
(4)
把矩阵 QGP 分块，设
代入(4)式得
H QGP = C
B D
(5)
即
I r 0 H 0 0 C
X = C (CC ) ( B B ) B
H H
H −1
−1
H
是 A 的伪逆矩阵。 例 1 ：设 求A 。
+
−1 0 1 A= 2 0 −2
解：利用满秩分解公式可得
−1 = A BC = [1 0 −1] 2
从而 A 的伪逆矩阵是
A = C (CC ) ( B B ) B
证明：任取 Z ∈ K n ，我们有
− −
−
A[( I n×n − A A) Z ] = ( A − AA A) Z = 0Z = 0 − 所以 = X ( I n×n − A A) Z 是方程组 AX = 0 的
解。
反之，设 η 是方程组 AX = 0 的解，要证存在 − n = η ( I n×n − A A) Z。取 Z = η Z ∈ K ，使得 我们有
充分性。设
− −
得
定理3(非齐次线性方程组解的结构定理)：设非 齐次线性方程组 AX = β 有解，则它的一般解 (通解）为 −
X=Aβ
其中 A 是 A 的任意一个广义逆。 证明：任取 A 的一个广义逆 A− ，我们来证 − X = A β 是方程组 AX = β 的解： 已知 AX = β 有解，根据前一个定理得：
是列满秩，B BC 为行满秩，故由式 H H −1 H −1 H X = C (CC ) ( B B ) B 得
H
H H H H H −1 H −1
H
( A A) = ( B BC ) ( B BCC B B ) (CC ) C = C H ( B H B ) H ( B H B ) −1 (CC−1 C = C (CC ) ( B B ) (CC ) C
B I r 0 I r 0 = D 0 0 0 0
H 0 I r 0 0 0 = 0 0
由此得出，H = I r ，代入(5)式便得出
Ir G =Q C
−1
B −1 P D
这证明了矩阵方程(1)得任意一个解都能表示成 (3)的形式，所以公式(3)是矩阵方程(1)的通解。 定义1：设 A 是一个 s × n 矩阵，矩阵方程 AXA = A 的通解称为 A 的广义逆矩阵，简称 − 为 A 的广义逆。我们用记号 A 表示 A 的一 个广义逆。
Ir 左边 = P 0
0 I −1 r QQ 0 C
B −1 I r P P D 0
0 Q 0
I r 0 I r = P 0 0 C Ir B Ir = P 0 0 0 I r 0 = P Q 0 0 = A = 右边
取 = B 0, = D 0, = C (0, ,0, k Y ,0, ,0)
−1 2 i
则
Ir C
于是
0 −1 Ir P= β 0 C
−1
0 Z1 Z1 Y1 Qγ = = = 0 0 CZ1 Y2
H H
= XAYAY = ( XA) (YA) Y
H H
= (YAXA) = Y (YA) = Y YAY = Y
H H
根据此定理知，若 A ∈ C
n ×n n
，则 A = A
+
−1
。
定理7：设 A ∈ C
+ +
m ×n
，则
H + + + H +
(1) ( A ) = A A ) A (A ) A (2) = ( AA ) (= A A (A ) = ( A A) = (A )
(6)
行 Z1 }r P β = Z 2 }s − r行
−1
则(6)式成为
I r 0 Y1 Z1 0 0 Y = Z 2 2 = Y1 Z = 0，因为 β ≠ 0，所以 所以 1, Z2 −1 ′ = ( k1 , , k r ) ， P β ≠ 0，从而 Z1 ≠ 0 。设 Z1 且设 ki ≠ 0 。
( I n×n − A A)η = η − A Aη =
− −
η − A ( Aη ) = η − 0 = η