y
yF(x)C
由其中一条积分曲线 沿纵轴方向平移而得 到的.
yF(x)
g ( x0 , y0 )
O
x
.
满 足 条 件 F (x 0 ) y 0 的原函数正是在积分曲线中 通过点(x0, y0)的那一条积分曲线. 例如, 质点以匀速 v0 运动时, 其路程函数
s(t)v0d tv0tC .
若 t0 时刻质点在 s0 处, 且速度为 v0, 则有 s(t) v 0 (t t0 ) s 0 .
8 .sin x d x c o sx C . 9 .sec2x d xta nxC . 1 0 .c sc 2x d x c o tx C .
1 1 .s e c x t a n x d x s e c x C .
1 2 .c s c x c o tx d x c s c x C . 1 3 .1 d x x 2 a r c sin x C a r c c o sx C . 1 4 .1 d x x 2 a r c ta n x C a r c c o tx C .
.
证 ( i ) 由 ( F ( x ) C ) F ( x ) f ( x ) , 知 F ( x ) C 也 是 f( x )在 I 上 的 原 函 数 . (ii) 设 F(x) 和 G(x) 是 f (x) 在 I 上的任意两个原 函数, 则
( F ( x ) G ( x ) ) F ( x ) G ( x ) f(x ) f(x ) 0 .
若 F ( x ) 是 f ( x ) 的 一 个 原 函 数 , 则 由 定 理 8 . 2 ,
f ( x ) d x F ( x ) C C R .
.
为方便起见, 我们记 f(x ) d x F (x ) C .其 中
C为 任 意 常 数 . 由此, 从例 1(ii) (iii) (iv)可得:
由第六章拉格朗日中值定理的推论, 即知 F (x ) G (x ) C .
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二、不定积分
定义2 函 数 f 在 区 间 I 上 的 全 体 原 函 数 称 为 f 在 I 上的不定积分, 记 作
f (x)dx ,
其 中 称 x 为 积 分 变 量 ,f ( x ) 为 被 积 函 数 ,
f ( x ) d x 为 积 分 表 达 式 , 为 积 分 号 .
x2dx1x3 C,
3
dx ln(x1x2)C, 1x2
1 x 2 d x 1 x 1 x 2 a r c s i n x C . 2 .
三、不定积分的几何意义
若F (x)是 f (x) 的一个原函数, 则称 y = F (x) 的图
像是 f (x) 的一条积分曲线.
所有的积分曲线都是
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由导数线性运算法则可得到不定积分的线性运算
法则. 定理 8.3 (不定积分的线性运算法则)
若 函 数 f与 g 在 区 间 I上都存在原函数, k1, k2为 任意常数, 则 kቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1 f k 2 g 在 I 上 也 存 在 原 函 数 , 且
( k 1 f ( x ) k 2 g ( x ) ) d x k 1 f ( x ) d x k 2 g ( x ) d x .
F (x)f(x)， x I,
则 称 f 为 F 在 区 间 I 上 的 一 个 原 函 数 .
例1 ( i ) 路 程 函 数 s ( t ) 是 速 度 函 数 v ( t ) 的 一 个 原 函
数:
s(t)v(t).
(ii) x3是x2的 一 个 原 函 数 :
3
x3 3
x2.
.
( iii)ln (x 1 x 2 )是 1 的 一 个 原 函 数 : 1 x 2
§8.1 不定积分概念与 基本积分公式
不定积分是求导运算的逆运算.
一、原函数 二、不定积分 三、不定积分的几何意义 四、基本积分表
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返回
一、原函数
微分运算的逆运算是由已知函数 f (x), 求函数F(x), 使
F(x)f(x). 例如 已 知 速 度 函 数 v ( t ) , 求 路 程 函 数 s ( t ) . 即 求
s(t),使 s(t)v(t).
又 如 , 已 知 曲 线 在 每 一 点 处 的 切 线 斜 率 k ( x ) , 求 f ( x ) , 使 y f ( x ) 的 图 象 正 是 该 曲 线 , 即 使 得
f(x)k(x).
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定义1 设 函 数 f 与 F 在 区 间 I 上 都 有 定 义 , 若
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第一个问题由以下定理回答. 定理8.1 (原函数存在性定理) 若 函 数 f 在 区 间 I 上 连 续 , 则 f 在 I 上 存 在 原 函 数 F, 即
F(x)f(x). 在第九章中将证明此定理.
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定理8.2 (原函数族的结构性定理) 设 F ( x ) 是 f ( x ) 在 区 间 I 上 的 一 个 原 函 数 , 则 ( i ) F ( x ) C 也 是 f ( x ) 在 I 上 的 原 函 数 , 其 中 C 为 任 意 常 数 . (ii) f (x) 在 I 上的任意两个原函数之间, 只可能相差 一个常数.
ln(x 1x2) 1 . 1x2
( i v ) 1 2 x 1 x 2 a r c s i n x 是 1 x 2 的 一 个 原 函 数 : 1 2x1x2arcsinx1x2.
从(iii) (iv)可以看出, 尽管象
1 和 1x2 1x2
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这种形式简单的函数,要求出它们的原函数也不是 一件容易的事. 研究原函数有两个重要的问题: 1. 满足何种条件的函数必定存在原函数? 如果存 在原函数,它是否惟一? 2. 若已知某个函数的原函数存在, 如何把它求出 来?
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四、基本积分表
由基本求导公式可得以下基本积分公式:
1. 0dxC. 2 3 ..1 x d x d x d x x 1 1 x C C .( 1 ,x0 ). 4. 1xdxln| x| C. 5. exdxexC. 6. axdx ax C.
lna
.
7 .co sx d xsinxC .