导数在实际生活中的应用
导数是近代数学的重要基础，是联系初、高等数学的纽带，它的引入为解决中学数学问题提供了新的视野，是研究函数性质、证明不等式、探求函数的极值最值、求曲线的斜率和解决一些物理问题等等的有力工具。
导数知识是学习高等数学的基础，它是从生产技术和自然科学的需要中产生的，同时，又促进了生产技术和自然科学的发展，它不仅在天文、物理、工程领域有着广泛的应用。
而且在工农业生产及实际生活中，也经常会遇到如何才能使“选址最佳”“用料最省”“流量最大”“效率最高”等优化问题。
这类问题在数学上就是最大值、最小值问题，一般都可以应用导数知识得到解决。
接下来就导数在实际生活中的应用略微讨论。
1．导数与函数的极值、最值解读
函数的极值是在局部范围内讨论的问题，是一个局部概念，函数的极值可能不止一个，也可能没有极值。
函数()y f x =在点0x 处可导，则'0()0F x =是0x 是极值点的必要不充分条件，但导数不存在的点也有可能是极值点。
最大值、最小值是函数对整个定义域而言的，是整体范围内讨论的问题，是一个整体性的概念，函数的最大值、最小值最多各有一个。
函数最值在极值点处或区间的断点处取得。
2．导数在实际生活中的应用解读
生活中的优化问题：根据实际意义建立好目标函数，体会导数在解决实际问题中的作用。
例1：在边长为60cm 的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？
思路：设箱底边长为x cm ，则箱高602
x h -=cm ，得箱子容积V 是箱底边长x 的函数：23
2
60()(060)2x x r x x h x -==<<，从求得的结果发现，箱子的高恰好是原正方形边长的
16，这个结论是否具有一般性？
变式：从一块边长为a 的正方形铁皮的各角截去相等的方块，把各边折起来，做一个无盖的箱子，箱子的高是这个正方形边长的几分之几时，箱子容积最大？
提示：()2()2(0)2
a V x x a x x =-<< 答案：6
a x =。
评注：这是一道实际生活中的优化问题，建立的目标函数是三次函数，用过去的知识求其最值往往没有一般方法，即使能求出，也要涉及到较高的技能技巧。
而运用导数知识，求三次目标函数的最值就变得非常简单，对于实际生活中的优化问题，如果其目标函数为高次多项式函数，简单的分式函数，简单的无理函数，简单的指数、对数函数，或它们的复合函数，均可用导数法求其最值。
可见，导数的引入，大大拓展了中学数学知识在实际优化问题中的应用空间。
例2： 已知某商品生产成本C 与常量q 的函数关系式为1004C q =+，价格p 与产量q
的函数关系式1258
p q =-。
求产量q 为何值时，利润L 最大。
分析：利润L 等于收入R 减去成本C ，而收入R 等于产量乘价格。
由此可得出利润L 与产量q 的函数关系式，再用导数求最大利润。
解：收入211252588R q p q q q q ⎛⎫=⋅=-=- ⎪⎝
⎭ 利润()212510048L R C q q q ⎛⎫=-=--+ ⎪⎝
⎭ ()212110002008
q q q =-+-<< '1214
L q =-+ 令'0L =，即12104
q -+= 求得唯一的极值点84q = 因为L 只有一个极值点，所以它是最大值。
答：产量为84时，利润L 最大。
点评：上题主要也是考查利用导数研究函数的最值的基础知识，运用数学知识解决利润问题，在实际生活中应用也很广泛。
例3：烟囱向其周围地区散落烟尘而污染环境。
已知落在底面某处的烟尘浓度与该处至烟囱距离的平方成反比，而与该烟囱喷出的烟尘量成正比，现有两座烟囱相距20km ，其中一座烟囱喷出的烟尘量是另一座的8倍，试求出两座烟囱连线上的一点，使该点的烟尘浓度最小。
解：不失一般性，设烟囱A 的烟尘量为1，则烟囱B 的烟尘量为8.
并设AC=x (020)x << ∴CB=20x -，
于是点C 的烟尘浓度为：228(20)
k k y x x =
+- (020)x <<， 其中k 为比例系数。
则32'33332162(96012008000)(20)(20)k k x x x y k x x x x -+-=-+=⋅--
令'0y =，有32960120080000x x x -+-=，
即2(320)(3400)0x x -+=。
解得在（0，20）内惟一驻点203
x =。
由于烟尘浓度的最小值客观上存在，并在（0，20）内取得， ∴在惟一驻点203x =
处，浓度y 最小，即在AB 间距A 处203
km 处的烟尘浓度最小。
例4：统计表明，某种型号的汽车的匀速行驶中每小时的耗油量为y （升），关于行驶速度x （千米/小时）的函数解析式可以表示为： 313812800080
y x x =-+ (0120)x <≤。
已知甲、乙两地相距100千米。
（1） 当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？
（2） 当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？
解：（1）当x =40时，汽车从甲地到乙地行驶了
100 2.540=小时， 要耗油313(40408) 2.517.512800080
⨯-⨯+⨯= （升）。
答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升。
（2）当速度为x 千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了100x
小时，设耗油为()h x 依题意:3213100180015()(8)1280008012804
h x x x x x x =-+⋅=+- (0120)x <≤ 33
'
2280080()640640x x h x x x -=-= (0120)x <≤. 令'
()0h x =，得80x =。
当(0,80)x ∈时，'()0h x <，()h x 是减函数；
当(80,120)x ∈时，'()0h x >，()h x 是增函数。
∴当80x =时，()h x 取到极小值(80)11.25h =。
因为()h x 在(0,120]上只有一个极值，所以它是最小值。
答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升。
点评：以导数知识为工具研究函数单调性对函数单调性的研究，导数座位强有力的工具提供了简单、程序化的方法，具有普遍的可操作方法。
总之，导数座位一种工具，在解决显示生活中的很多问题时使用非常方便，尤其是可以使用导数解决生活中的很多优化组合的问题，这些问题转化为求函数的最值问题，运用导数求解，很大程度上简化了我们的过程，缩短了步骤，起着非常重要的作用。
还可以解析几何相联系，可以在知识网络交汇处设计问题。
因此，在实际生活中，药学会应用导数的作用。