导数在实际生活中的应用1
教学目标
1、使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用
2、提高将实际问题转化为数学问题的能力
教学重点 理利用导数解决生活中的一些优化问题
教学难点 利用导数解决生活中的一些优化问题
教学过程
一．创设情景
生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具．这一节，我们利用导数，解决一些生活中的优化问题．
二．新课讲授
1、导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方
面：
（1）与几何有关的最值问题；
(2)与物理学有关的最值问题；
(3)与利润及其成本有关的最值问题；
(4)效率最值问题。
2、解决优化问题的方法：
首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，
通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。
再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具．
3三．例题讲解
4、学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。
现让你设计一张如图1.4-1所示的竖向张
贴的海报，要求版心面积为128dm 2,上、下两边各空2dm,左、右两边各空1dm 。
如何设计海报的
尺寸，才能使四周空心面积最小？
解：设版心的高为xdm ，则版心的宽为
128x
dm,此时四周空白面积为 128512()(4)(2)12828,0S x x x x x x
=++-=++> 求导数，得'2512()2S x x
=-。
令'2512()20S x x
=-=，解得16(16x x ==-舍去）。
于是宽为128128816x ==。
当(0,16)x ∈时，'()S x <0；当(16,)x ∈+∞时，'
()S x >0.
_x _x _ 60 _ 60 x 建立因此，16x =是函数()S x 的极小值，也是最小值点。
所以，当版心高为16dm ，宽为8dm 时，能使四周空白面积最小。
答：当版心高为16dm ，宽为8dm 时，海报四周空白面积最小。
5、圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？
解：设圆柱的高为h ，底半径为R ，则表面积
S=2πRh+2πR 2
由V=πR 2
h ，得2
V h R π=，则 S(R)= 2πR 2V R π+ 2πR 2=2V R
+2πR 2 令 22()V s R R '=-+4πR=0 解得，R=32V π，从而h=2V R π=23()2V V ππ
=34V π=23V π 即h=2R
因为S(R)只有一个极值，所以它是最小值
答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省
6、在边长为60 cm 的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？
解法一：设箱底边长为x cm ，则箱高602x h -=
cm ，得箱子容积 2
60)(3
22x x h x x V -== )600(<<x ． 2
3()602x V x x '=- )600(<<x
令 2
3()602
x V x x '=-＝0，解得 x=0（舍去），x=40， 并求得V(40)=16 000
由题意可知，当x 过小（接近0）或过大（接近60）时，箱子容积很小，因此，16 000是最大值 答：当x=40cm 时，箱子容积最大，最大容积是16 000cm 3
解法二：设箱高为x cm ，则箱底长为(60-2x )cm ，
则得箱子容积x x x V 2)260()(-=)300(<<x ．
（后面同解法一，略）
由题意可知，当x 过小或过大时箱子容积很小，
所以最大值出现在极值点处．
事实上，可导函数
2
60)(3
22x x h x x V -==、x x x V 2)260()(-=在各自的定义域中都只有一个极值点， 从图象角度理解即只有一个波峰，是单峰的，因而这个极值点就是最值点，不必考虑端点的函数值
练习：在经济学中，生产x 单位产品的成本称为成本函数，记为C(x)，出售x 单位产品的收益称为收益
函数，记为R(x)，R(x)－C(x)称为利润函数，记为P(x)。
（1）、如果C(x)＝10005003.010236++--x x x ，那么生产多少单位产品时，边际)(x C '最低？
(边际成本：生产规模增加一个单位时成本的增加量)
（2）、如果C(x)=50x ＋10000，产品的单价P ＝100－0.01x ，那么怎样定价，可使利润最大？
变式：已知某商品生产成本C 与产量q 的函数关系式为C =100+4q ，
价格p 与产量q 的函数关系式为q p 8
125-=．求产量q 为何值时，利润L 最大？
分析：利润L 等于收入R 减去成本C ，而收入R 等于产量乘价格．
由此可得出利润L 与产量q 的函数关系式，再用导数求最大利润． 解：收入211252588
R q p q q q q ⎛
⎫=⋅=-=- ⎪⎝⎭， 利润221125(1004)2110088
L R C q q q q q ⎛
⎫=-=---=-- ⎪⎝⎭(0100)q << 1214
L q '=-+ 令0L '=，即12104
q -+=，求得唯一的极值点q =答：产量为84时，利润L 最大
四、回顾反思：
1
2．解决优化问题的方法：通过搜集大量的统计数据，建立与其相应的数学模型，再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得到解决．在这个过程中，导数往往是一个有利的工具。
五、板书设计
六、教学反思。