微 分 方 程
第二节 一阶微分方程
可分离变量方程
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一阶微分方程的一般形式为 F(x, y, y) = 0.
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可分离变量方程
例如：形如 y = f (x) g (y)
的微分方程，称为可分离变量方程. (1) 分离变量 将方程整理为
1 dy f ( x)dx g( y)
两边积分，得
e ydy exdx
ey ex C
这就是所求方程的通解．
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例 4 求方程 y (sin x cos x) 的通解.
解 分离变量，得
dy (sin x cos x)dx
两边积分，得
dy (sin x cos x)dx
y (cos x sin x) C,
这样，方程的通解是 yC. x
求解过程可简化为：
分离变量得
dy dx , yx
两边积分得
ln y ln 1 ln C, ln y ln C ,
x
x
即通解为
yC, x
其中 C 为任意常数.
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例 5 求方程 dx + xydy = y2dx + ydy 满足初始 条件 y(0) = 2 的特解.
y Ce 2
这就是所求方程的通解．
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练习 1 求方程 dy 2 x3 y的通解 . dx
解 分离变量，得
dy 2x3dx, y
两边积分，得
1 y
dy
2
x
3dx
ln
y
1 2
x4
C1
两边取指数，化简得
e e ln y
x2 C1
y e x2 C1 e e C1 x2
y Cex2
这就是所求方程的通解．
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例 1 讨论下列微分方程是否可分离变量
1.y 2xy
1 dy 2xdx y
2.3x2 5x y 0
dy (3x2 5x)dx
3.(x2 y2 )dx xydy 0
4.y 1 x y2 xy2 5.y ex y 6.y x y
yx
1 1 y2
dy
(1
解 分离变量
得
y(
dy y
a)
kdx,
即
(
y
1
a
1 y
)dy
kadx.
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两边积分，得 ln y a kax ln C. y
经整理，得方程的通解为
也可写为
y
a 1 Cekax
,
y
a 1 Cekax
.
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小结
形如
y = f (x) g (y)
的微分方程，称为可分离变量方程.
x)dx
e ydy exdx
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5
例 2 求方程 dy 2xy的通解. dx
解 分离变量，得
dy 2xdx, y
两边积分，得
1 y
dy
2
xdx
ln y x2 C1
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两边取指数，化简得
e e ln y1 2x2C1
y
e1 2
x
2
C1
1
eC1 e 2
x2
1 x2
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例 3 求方程 y e x y的通解 .
解 分离变量，得
dy ex y dx eydy exdx
两边积分，得
e ydy exdx
ey ex C
这就是所求方程的通解．
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练习 2 求方程 y e x y的通解 .
解 分离变量，得
dy ex y dx e ydy exdx
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化简，得 即
e e ln y
ln 1 x2 C1
y C(1 x2 ),
为所求之通解.将初始条件 y(1) = 4 代入，得 C = 2. 故所求特解为
y 2(1 x2 ).
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例 4 求方程 dy ky( y a) 的通解 (其中 k 与
dx a 均是正的常数 ).
的形式，使方程各边都只含有一个变量.
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(2) 两边积分
两边同时积分，得
左边
1 dy, g( y)
故方程通解为
右边 f ( x)dx.
1 dy g( y)
f
( x)dx
C.
我们约定在微分方程这一章中不定积分式表示被积函数的 一个原函数，而把积分所带来的任意常数明确地写上.
(1) 分离变量
将方程整理为
1 dy f ( x)dx g( y)
的形式，使方程各边都只含有一个变量.
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(2) 两边积分
两边同时积分，得
左边
1 dy, g( y)
故方程通解为
右边 f ( x)dx.
1 dy g( y)
f
( x)dx
C.
我们约定在微分方程这一章中不定积分式表示被积函数的 一个原函数，而把积分所带来的任意常数明确地写上.
解 将方程整理为 y( x 1)dy ( y2 1)dx.
分离变量，得
y
2
y
1
dy
dx , x 1
两边积分，
有
1 ln( y2 1) ln(x 1) 1 ln C.
2
2
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化简，得
y2 1 C( x 1)2 , 即
y2 C( x 1)2 1
为所求之通解.将初始条件 y(0) = 2 代入，得 C = 3. 故所求特解为
这就是所求方程的通解．
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练习 3 求方程 y ex cos x 的通解.
解 分离变量，得
dy (ex cos x)dx
两边积分，得
dy (ex cos x)dx
y ex sin x C,
这就是所求方程的通解．
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练习 4
求方程
y y 的通解 . x
解 分离变量，得
两边积分，得
dy 1 dx, yx
ln |
y | ln
1 x
C1,
化简得
| y | eC1 1 , x
y eC1 1 ,
令
C2
eC1 , 则
y
C2
1 x
,C2
x 0.
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另外，y = 0 也是方程的解，所以 y C2 x
中的 C2 可以为 0， 因此 C2 为任意常数．
y2 3( x 1)2 1.
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练习 5 求方程dy =2xydx - x2 dy 满足初始条件 y(1) = 4 的特解.
解 将方程整理为 (1 x2 )dy 2xydx.
分离变量，得
1 y
dy
2xdx 1 x2
,
两边积分，有
1 y
dy
1
2
x x
2
dx,
ln y ln 1 x2 C1.