5-习题课（57）
20
６、二阶常系数非齐次线性微分方程解法
解法 待定系数法.
二阶常系数非齐次线性方程
(1) f ( x) ex Pm ( x) 型
0 不是根 k 1 是单根 ,
2 是重根
5-习题课（57）
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其中
R(1 m
)
(
x
),
R(2) m
(
x
)是m次多项式，
m maxl, n
k
0 1
二阶常系数齐次线性方程
二阶常系数非齐次线性方程
解法 由常系数齐次线性方程的特征方程的根确 定其通解的方法称为特征方程法.
5-习题课（57）
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特征方程为
特征根的情况
实根r1 r2 实根r1 r2
复根r1,2 i
通解的表达式
y C1e r1 x C2e r2 x y (C1 C2 x)e r2 x
u xu u(cos u usin u), usin u cos u
分离变量
usin u cos u du dx ,
2ucos u
x
两边积分
ln( ucos u) ln x2 ln C ,
ucos u C , x2
y cos y C , x x x2
j不是特征方程的根时; j是特征方程的单根时.
5-习题课（57）
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7、欧拉方程
形如
x yn (n)
p x y n1 (n1) 1
pn1 xy
pn y
f (x)
的方程(其中 p1 , p2 pn为常数)，叫欧拉方程.
欧拉方程是特殊的变系数方程，通过变量代换 x et 或 t ln x 可化为常系数微分方程.
5-习题课（57）
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8、幂级数解法
当微分方程的解不能用初等函数或其积分 表达时, 常用幂级数解法.
5-习题课（57）
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二、典型例题
例1
解 原方程可化为
dy dx
y x
cos y
(
y
x sin
y
y sin x cos
y
x y
),
xx
x
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令 u y , y ux, y u xu. 代入原方程得 x
欧拉方程
5-习题课（57）
1
微分方程解题思路
一阶方程
作 变
降
换阶
高阶方程
作变换
分离变量法
全微分方程
积分因子
常数变易法
特征方程法
非非 变全 量微 可分 分方 离程
幂级数解法 待定系数法
5-习题课（57）
2
1、基本概念
微分方程 凡含有未知函数的导数或微分的方程 叫微分方程． 微分方程的阶 微分方程中出现的未知函数的最 高阶导数的阶数称为微分方程的阶．
,
x2
1
y2
,
x y2
,
y x2
等.
5-习题课（57）
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3、可降阶的高阶微分方程的解法
(1) y(n) f ( x) 型
解法 接连积分n次，得通解．
(2) y f ( x, y) 型
特点 不显含未知函数 y. 解法
代入原方程, 得 P f ( x, P( x)).
5-习题课（57）
14
(3) y f ( y, y) 型
一、主要内容
一阶方程
基本概念
高阶方程
类型
1.直接积分法 2.可分离变量
二阶常系数线性 方程解的结构
3.齐次方程
特征方程法
4.可化为齐次
方程 5.全微分方程
待 定 系
6.线性方程
数
法
特征方程的根 及其对应项
f(x)的形式及其
特解形式
7.伯努利方程
可降阶方程
线性方程 解的结构
定理1;定理2 定理3;定理4
形如 dy f ( ax by c )
dx
a1 x b1 y c1
齐次方程． 否则为非齐次方程．
解法
化为齐次方程．
（其中h和k是待定的常数）
5-习题课（57）
6
(4) 一阶线性微分方程
当Q( x) 0, 当Q( x) 0,
上方程称为齐次的． 上方程称为非齐次的.
解法 齐次方程的通解为 （使用分离变量法）
y ex (C1 cos x C2 sin x)
5-习题课（57）
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推广：n 阶常系数齐次线性方程解法
特征方程为
特征方程的根
若是k重根r
通解中的对应项
(C0 C1x Ck1xk1 )erx
若是k重共轭 复根 j
[(C0 C1x Ck1xk1)cosx (D0 D1x Dk1xk1 )sinx]ex
特点 不显含自变量 x. 解法
代入原方程, 得 P dp f ( y, P). dy
４、线性微分方程解的结构
（1） 二阶齐次方程解的结构:
5-习题课（57）
15
（2）二阶非齐次线性方程的解的结构:
5-习题课（57）
16
5-习题课（57）
17
５、二阶常系数齐次线性方程解法
n阶常系数线性微分方程
微分方程的解 代入微分方程能使方程成为恒等 式的函数称为微分方程的解．
5-习题课（57）
3
通解 如果微分方程的解中含有任意常数，并且 任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的 解叫做微分方程的通解．
特解 确定了通解中的任意常数以后得到的解， 叫做微分方程的特解．
初始条件 用来确定任意常数的条件.
初值问题 求微分方程满足初始条件的解的问题， 叫初值问题．
5-习题课（57）
4
2、一阶微分方程的解法
(1) 可分离变量的微分方程 形如 g( y)dy f ( x)dx
解法
分离变量法
(2) 齐次方程 形如 dy f ( y) dx x
解法 作变量代换
5-习题课（57）
5
(3) 可化为齐次的方程
(6) 全微分方程 形如
其中
5-习题课（57）
9
注意： 解法 应用曲线积分与路径无关.
通解为
用直接凑全微分的方法.
5-习题课（57）
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(7) 可化为全微分方程 形如
若 ( x, y) 0连续可微函数，且可使方程 ( x, y)P( x, y)dx ( x, y)Q( x, y)dy 0成为全
5-习题课（57）
7
非齐次微分方程的通解为
（常数变易法） (5) 伯努利(Bernoulli)方程
方程为线性微分方程.
方程为非线性微分方程.
5-习题课（57）
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解法 需经过变量代换化为线性微分方程．
y1n z
e ( (1n)P( x)dx Q( x)(1 n)e (1n)P( x)dxdx c).
微分方程.则称 ( x, y)为方程的积分因子.
5-习题课（57）
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公式法:
若 1 (P Q y
Q) x
f (x)
若
1 P
(Q x
P ) y
g(
y)
观察法:
熟记常见函数的全微分表达式，通过观察直接找出积分因子．
5-习题课（57）
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常见的全微分表达式
可选用积分因子
x
1
y
,
1 x2
,
1 x2 y2