再例-弦的拨动
2u
t2
a2
2u x2
,
x(0,l),t 0
u(x,
0)
d1 x l1d (l
, x)
ut
(x,
0)
0,
x[0,l], 0d l
u(0,t) u(l,t) 0,
t 0
u (x ,t)2 d 2 ( l l2 d )n 1 n 1 2 s in n ld c o s a n lt s in n lx
x(0,l),t 0 x[0,l], 0cl
u(0,t)u(l,t)0,
t 0
u (x ,t) a 2n 11 n s in n lc s in a n l t s in n lx
对不同的 c ，有界弦的自由振动
当 c=0.2l 时，有界弦的自由振动
当 c=0.5l 时，有界弦的自由振动
u(2txu2,0)a2(x2ux2),,ut(x,0) (x),
ux(0,t)u(l,t) 0,
x(0,l),t 0
x[0,l] t 0
左端点自由、右端点固定的边界条件
X(x)X(x) 0
X(0)X(l) 0
n
n
1
2
l
2
,
X n(x)
c
o
s
n
l
1 2
x,
n 0,1, 2, 3,L
第三类边界条件的混合问题的求解中遇到的困难
u(2txu2,0)a2(x2ux2),,ut(x,0) (x),
ux(0,t)u(0,t)u(l,t) 0,
x(0,l),t 0
x[0,l] t 0
X(x)X(x)0
X(0)X(0)X(l)0
l tan l
举例-弦的敲击
u(2txu2,0)a20,x2uu2t,(x,0)(xc),
初相位 n
驻波
其它边界条件的混合问题
u(2txu2,0)a2(x2ux2),,ut(x,0) (x),
ux(0,t) ux(l,t) 0,
x(0,l),t 0
x[0,l] t 0
两端自由的边界条件
X(x)X(x) 0
X(0)X(l) 0
n
n l
2
,
X
n(x)
cos
n l
x
,
n 0,1, 2,3,L
x(0,l),t 0
x[0,l] t 0
物理解释：
一根长为 l 的弦，两端固定，给定初始位 移和速度，在没有强迫外力作用下的振动
求解的基本步骤
第一步：求满足齐次方程和齐次边界条件的 变量分离形式的解
u(x,t)X(x)T(t)
X(x)：
X(x)X(x) 0
X(0)X(l) 0
T(t)： T(t)a2T(t)0
对不同的 d ，有界弦的自由振动
当 d=0.5l 时，有界弦的自由振动
当 d=0.3l 时，有界弦的自由振动
第二节 有限长杆上的热传导
u(utx,0a) 2x2u(2x,),
u(0,t) ux (l,t) 0,
x (0,l),t 0
x [0,l] t 0
物理解释：
一根长为 l 的均匀细杆，其右端保持绝热， 左端保持零度，给定杆内的初始的温度分 布，在没有热源的情况下杆在任意时刻的 温度分布
,
X n(x)
sin
n
1 2
l
x,
n 0,1, 2,3,L
Tn(t)
An
expa2(nl212)22
t
n0,1,2,3,L
T(t)的表达 式
第三步：利用初始条件求得定解问题的解
u (x ,t)n 0A ne x p a 2(n l2 1 2)2 2t sin (n l1 2 ) x
利用初始条件得
An2l 0l()sinnld Bnan 20l()sinnld
n=4
驻波 o
l
un(x,t)AncosanltBnsinanltsinnlx
Nnsinnlxsinanltn
其中
Nn An 2Bn 2, narctanB An n
振
幅
an
Nn
sin
n
l
x
振动元素，本征振动
频
率
n
a n l
u(2txu2,0)a2(x2ux2),,ut(x,0) (x),
u(0,t)ux(l,t) 0,
x(0,l),t 0
x[0,l] t 0
左端点固定、右端点自有的边界条件
X(x)X(x) 0
X(0)X(l) 0
n
n
1
2
l
2
,
X n(x)
sin
n
1 2
l
x,
n 0,1, 2,3,L
本征值问 题
第二步：求本征值 和本征函数 X(x)， 以及 T(t)的表达式
本征值和 本征函数
n
n l
2
,
X
n
(x)
sin
n l
x
,
n 1, 2,3,L
Tn(t)AncosanltBnsinanlt
n1,2,3,L
T(t)的表达 式
第三步：利用初始条件求得定解问题的解
u (x ,t) n 1 A n c o s a n l t B n s in a n l t s in n lx
利用初始条件得
An2 l 0l()sin(nl1 2)d
举例
u
t
a2
2u x2
,
u( x, 0)
u0 l
x,
u(0,t) ux (l,t) 0, ) 2 u 2 0n 0 (n ( 1 ) 1 2 n )2e x p a 2 (n l2 1 2 )22t s in (n l1 2 )x
第十章 分离变量法
第一节 有界弦的自由振动 第二节 有限长杆上的热传导 第三节 特殊区域上的位势方程 第四节 高维定解问题的分离变量法 第五节 对非齐次边界条件和非齐次方程
的处理
第一节 有界弦的自由振动
u(2txu2,0)a2(x2ux2),,ut(x,0) (x),
u(0,t) u(l,t) 0,
当 u0=1 时，杆内温度随时间的变化
第三节 特殊区域上的位势方程
矩形域上的边值问题
散热片的横截面为一矩形[0,a] [0,b]，它的 一边 y=b 处于较高的温度，其它三边保持 零度。求横截面上的稳恒的温度分布
u(x2xu2,0)y2u20,u(0x,,b) U, u(0, y) u(a, y) 0,
求解的基本步骤
第一步：求满足齐次方程和齐次边界条件的 变量分离形式的解
u(x,t)X(x)T(t)
X(x)：
X(x)X(x) 0
X(0)X(l) 0
本征值问题
T(t)： T(t)a2T(t)0
第二步：求本征值 和本征函数 X(x)， 以及 T(t)的表达式
本征值和 本征函数
n
n
1 2
l
2