作变量代换
u
y x
,即
y
xu,
dy dx
u
x
du dx
,
代入原式
u x du dx
f (u),
即 du f (u) u .
dx
x
可分离变量的方程
例7
求微分方程
y
y x y
的通解
解 把原方程化为
y
dy x dx 1 y
x
令u y ，则y xu，dy u x du ，代入上式
x
dx
司将在第36年破产；
当 W0= 600 百万元时，公司将收支平衡，将资 产保持在600百万元不变；
当 W0 =700 百万元时，公司净资产将按指数 不断增大.
二、齐次方程
1.定义 形如 f x, y n f x, y，
称为n次齐次方程.
2.定义
形如
dy dx
f
(
y x
)
的微分方程称为齐次方程.
3.解法
解 方程两边同除以y，再乘dx，得
1 dy 2xdx y
两端分别积分
1 dy y
2xdx, 得
ln y x2 C1
即 y ex2 C1 eC1 ex2 Cex2
又显然y 0是方程的解，且它已包含在通解中
(当C 0)，故原方程的通解为 y Cex2 .
例3 求方程 dy 1 x y2 xy2的通解． dx
可分离变量方程求解步骤: 第一步，分离变量
g( y)dy f (x)dx
第二步，对上式两端分别积分：
g(y)dy f (x)dx
得到通解 G(y) F(x) C
其中G y与F x分别是g(y)与f x的一个原函数，
C是任意常数,上式称为隐式通解.
例2 求方程y 2xy的通解．
三、可化为齐次方程的方程
1.定义 形如 dy f ( ax by c )的微分方程
dx
a1x b1 y c1
当c c1 0时, 为齐次方程, 否则为非齐次方程.
2.解法 令a1x b1 y c1 0, a2 x b2 y c2 0,
解得
x x0 , y y0
做变换 xy
§10.2 一阶微分方程的分离变量法
形如 F(x, y, y) 0 或 y f x, y
称为一阶微分方程.
一、可分离变量的微分方程
g( y)dy f (x)dx 可分离变量的微分方程.
例如
dy
2x2
4
y5
dx
4
y5
dy
2x2dx,
注：可分离变量的微分方程：把微分方程写成一
端只含y的函数和dy,另一端只含x的函数和dx.
X X
Y Y
1
Y X
1
Y X
这是齐次方程，令u Y ,则 dY u X du ,
X dX
dX
u X du 1 u , dX 1 u
整理得
1 1 2u
u u2
du
ln
|
X
|
ln
C1,
两边积分,得
1 2
ln
|1
2u
u2
|
ln
|
X
|
ln
C1
回代，化简得 X 2 2XY Y 2 C,
整理得： W 600 Ce0.05t (C C1). 将W (0) W0代入，得方程通解：
W 600 (W0 600)e0.05t， 在上述推导过程中W 600, 但当W 600时，dW 0，
dt 仍包含在通解表达式中.将W0 600称为平衡解.
(3) 由通解表达式 W 600 (W0 600)e0.05t，可知， 当 W0= 500 百万元时，净资产额单调递减，公
故所求的通解为
p CNeNkt 1 CeNkt
在上述计算过程中，用p N p除方程的两边，易见
p 0，p N
都是方程的解，而且 p 0 包含在通解中， 但 p N 不包含在通解中。
例6 某公司t年净资产有W(t)(百万元),并且资产本 身以每年5%的速度连续增长,同时该公司每年要以 300百万元的数额连续支付职工工资. (1) 给出描述净资产W(t)的微分方程; (2) 求解方程,假设初始净资产为W0;
(3) 讨论在W0 500, 600, 700三种情况下,W(t)变化的
特点.
y0
解 (1) 利用平衡法，即由 净资产增长速度
＝资产本身增长速度－职工工资支付速度 得到所求微分方程
dW 0.05W 30. dt
(2) 分离变量，得
dW 0.05dt. W 600
两端分别积分： ln |W 600 | 0.05t lnC1 (C1为正常数）
解 方程可化为
1 1 y2
dy
(1
x)dx
两端分别积分
arctan y 1 x2 x C 2
于是原方程的通解为
y tan(1 x2 x C). 2
y0
例4 求方程y y2 cos x的通解,及满足初始 条件y(0) 1的特解.
解 分离变量：1 dy cos xdx 两端分别积分 y2
X Y
x0 y0
，这时
dy dx
dY dX
就可以化为齐次方程
dY dX
f
a1 a2
X X
b1Y b2Y
.
例10 求 dy x y 1的通解. dx x y 3
解 令x y 1 0和x y 3 0，得
x 1, y 2, 作变换x X 1, y Y 2，
dY dX
方程的通解 x2 2xy y2 2x 6 y C.
例11 求 dy ( y x)2的通解. dx
解 令y x u,则 dy du 1,，代入方程 dx dx
du 1 u2 , 分离变量得, dx
du 1 u2 dx,
两边积分得 arctan u x C,
故原方程的通解为 y tan(x C) x.
1 P1 dP1 P2 P1 ， dP2 1 P1 P2
P2
这是齐次方程，令u P1 ,则 P2
du 1 u
u P2
dP2
u 1 u
分离变量，得
1 u
1 u2
du
2
dP2 P2
，
两边积分，得
1 u
ln
u
ln(C1P2
)2，
所以方程通解：
P2
P e 2 P1 P1
CP22
（C C12）
N , k 0，且0 y N.
解 这是可分离变量方程，分离变量：
dp kdt p(N p)
两端分别积分：
1p
ln N
Np
kt C1
整理得：
ln
p Np
Nkt NC1
p Np
eNktNC1
e e NC1 Nkt
p eNC1eNkt CeNkt p CNeNkt
Np
1 CeNkt
dx
整理得
1 u u2
du
1 x
dx，两边积分
1 u
ln
u
= ln
x
C1
得通解为
xy
ln y
x
= ln
x
C1
整理得
x cy y ln y =0.
整理得1 u du 1 dx，两边积分
u2
x
例8 求微分方程 x(ln x ln y)dy ydx 0 的通解， 并解其初值问题 y(1) 1.
例1 下列方程中哪些是可分离变量的微分方程？
1 y 1 x y2 xy2 ,2(x2 y2 )dx xydy 0,
3 y 10x y ,
4
y
x y
y x
,
解 (1)是，方程可化为 dy = 1 x dx 1 y2 (2)不是
(3)是,方程可化为10 y dy 10x dx. (4)不是
1 .
代入初值条件 y(1) 1，得C 1，
故所求初值问题的解为
y
ln
y x
1 .
例9 设商品A和商品B的售价分别为P1, P2 ,
已知价格P1与P2相关, 且价格P1相对P2的弹性
为 P2dP1 P1dP2
P2 P2
P1 P1
, 求P1与P2的函数关系式..
解 所给方程为齐次方程，整理得
1 y2
dy
cos xdx,得
1 y
sin
x
C,
显然y 0是方程的解，且不包含在通解，也不 满足初始条件，是方程一个特解；
将y(0) 1代入通解中，求得C 1，
故初值问题的特解为
1 sin x 1 或 y 1 .
y
1 sin x
例3 求Logisitic方程 dp kp(N p)的解,其中 dt
解 把原方程化为
ln y dy y dx 0, xx
令u y ，则y xu，dy u x du ，代入上式ln u du dx ，两边积分
u(ln u 1)
x
ln u ln(ln u 1) ln x ln C,
即
y C(ln u 1)
得通解为
y
C
ln
y x