高等数学基础第一次作业点评1第1章 函数第2章 极限与连续(一)单项选择题⒈下列各函数对中,(C )中的两个函数相等.A 、 2)()(x x f =,x x g =)( B 、 2)(x x f =,x x g =)(C 、 3ln )(x x f =,x x g ln 3)(= D 、 1)(+=x x f ,11)(2--=x x x g⒉设函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞,则函数)()(x f x f -+的图形关于( C )对称.A 、 坐标原点B 、 x 轴C 、 y 轴D 、 x y = ⒊下列函数中为奇函数就是( B ).A 、 )1ln(2x y += B 、 x x y cos =C 、 2xx a a y -+= D 、 )1ln(x y +=⒋下列函数中为基本初等函数就是( C ).A 、 1+=x yB 、 x y -=C 、 2xy = D 、 ⎩⎨⎧≥<-=0,10,1x x y⒌下列极限存计算不正确的就是( D ).A 、 12lim 22=+∞→x x x B 、 0)1ln(lim 0=+→x x C 、 0sin lim =∞→x x x D 、 01sin lim =∞→x x x⒍当0→x 时,变量( C )就是无穷小量.A 、 x x sinB 、 x 1C 、 xx 1sin D 、 2)ln(+x点评:无穷小量乘以有界变量为无穷小量⒎若函数)(x f 在点0x 满足( A ),则)(x f 在点0x 连续。

A 、 )()(lim 00x f x f x x =→ B 、 )(x f 在点0x 的某个邻域内有定义C 、 )()(lim 00x f x f x x =+→ D 、 )(lim )(lim 0x f x f x x x x -+→→=二、填空题⒈函数)1ln(39)(2x x x x f ++--=的定义域就是 .}33{>-≤x x x 或 ⒉已知函数x x x f +=+2)1(,则=)(x f .x x -2⒊=+∞→xx x)211(lim .21e⒋若函数⎪⎩⎪⎨⎧≥+<+=0,0,)1()(1x k x x x x f x ,在0=x 处连续,则=k .e⒌函数⎩⎨⎧≤>+=0,sin 0,1x x x x y 的间断点就是 .0=x⒍若A x f x x =→)(lim 0,则当0x x →时,A x f -)(称为 .无穷小量三计算题 ⒈设函数⎩⎨⎧≤>=0,0,e )(x x x x f x 求:)1(,)0(,)2(f f f -.解:2)2(-=-f0)0(=f e e f ==1)1(点评:求分段函数的函数值主要就是要判断那一点就是在哪一段上。

即正确选择某段函数。

⒉求函数xx y 12lglg -=的定义域. 解:欲使函数有意义,必使012lg >-xx ,即:112>-xx 亦即:x x >-12解得函数的定义域就是:1>x点评:函数的定义域就就是使函数有意义的自变量的变化范围。

⒊在半径为R 的半圆内内接一梯形,梯形的一个底边与半圆的直径重合,另一底边的两个端点在半圆上,试将梯形的面积表示成其高的函数. 解:设梯形的高CM=x,则22x R DM -=梯形的上底222x R DC -=,下底R AB 2=则梯形的面积2)22(22xR x R s +-=)0()(22R x x R x R <<+-=⒋求xxx 2sin 3sin lim0→.解:原式=23112322sin lim 33sin lim2300=⨯=⨯→→xx x xx x 点评:正确利用两个重要极限,将函数作适当变形。

⒌求)1sin(1lim 21+--→x x x .解:原式=2121)1sin(lim )1(lim 1)1sin(1lim 111-=-=++-=++--→-→-→x x x x x x x x x点评:正确利用两个重要极限,将函数作适当变形。

⒍求x xx 3tan lim 0→.解:311133cos 1lim 33sin lim 33cos 133sin lim 33cos 3sin lim 0000=⨯⨯=⨯=⨯=→→→→x x x x x x x x xx x x x点评:同上。

⒎求xx x sin 11lim 20-+→.解:原式=010sin 1lim11limsin )11()11)(11(lim202220=⨯=⨯++=++++-+→→→xx x x xx x x x x x 点评:同上。

⒏求xx x x )31(lim +-∞→. 解:原式=333131-+→∞⎪⎭⎫⎝⎛+-•⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x x x lim x x =33343343-+∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+•⎪⎭⎫⎝⎛+-+x x x x lim x x=33341341-∞→+∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+•⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+x lim x lim x x x =3341+∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+x x x lim=443341--+∞→⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+x x x lim =443341--+∞→⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+x x x lim =4-e⒐求4586lim 224+-+-→x x x x x .解:原式=3212lim )1)(4()2)(4(lim44=--=----→→x x x x x x x x ⒑设函数⎪⎩⎪⎨⎧-<+≤≤->-=1,111,1,)2()(2x x x x x x x f讨论)(x f 的连续性,并写出其连续区间.点评:讨论分段函数在分段点处的连续性,只要研究函数)(x f 在该点处的左右极限情况,然后再由函数连续性的定义判断。

解:先瞧函数在分段点1-=x 处的情况,∵011)1()(lim lim 11=+-=+=---→-→x x f x x 1)(lim lim 11-==++-→-→x x f x x∴)()(lim lim 11x f x f x x +--→-→≠,故)(lim 1x f x -→不存在。

∴1-=x 为函数)(x f 的间断点。

再瞧函数在分段点1=x 处的情况,∵1)(limlim11==--→→x x f x x 1)2()(211limlim =-=++→→x x f x x ∴)()(lim lim 11x f x f x x +-→→=,故1)(lim 1=→x f x 。

又因为1)1(1===x x f所以)1()(lim 1f x f x =→故1=x 就是函数)(x f 的连续点。

函数)(x f 在连续区间就是:),1()1,(+∞-⋃--∞。

高等数学基础第二次作业第3章 导数与微分(一)单项选择题⒈设0)0(=f 且极限x x f x )(lim0→存在,则=→xx f x )(lim 0(B).A 、 )0(fB 、 )0(f 'C 、 )(x f 'D 、 0⒉设)(x f 在0x 可导,则=--→hx f h x f h 2)()2(lim000(D). A 、 )(20x f '- B 、 )(0x f ' C 、 )(20x f ' D 、 )(0x f '-⒊设xx f e )(=,则=∆-∆+→∆xf x f x )1()1(lim 0(A).A 、 eB 、 e 2C 、 e 21D 、 e 41⒋设)99()2)(1()(---=x x x x x f ,则=')0(f (D).A 、 99B 、 99-C 、 !99D 、 !99- ⒌下列结论中正确的就是( C ).A 、 若)(x f 在点0x 有极限,则在点0x 可导.B 、 若)(x f 在点0x 连续,则在点0x 可导.C 、 若)(x f 在点0x 可导,则在点0x 有极限.D 、 若)(x f 在点0x 有极限,则在点0x 连续.(二)填空题⒈设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1sin )(2x x xx x f ,则=')0(f 0 . ⒉设xx x f e 5e )e (2+=,则=x x f d )(ln d xx 5ln 2+ ⒊曲线1)(+=x x f 在)2,1(处的切线斜率就是 21.⒋曲线x x f sin )(=在)1,2π(处的切线方程就是1=y .⒌设x x y 2=,则='y ()2ln 22+x x x.⒍设x x y ln =,则=''y x1. (三)计算题⒈求下列函数的导数y ':⑴xx x y e )3(+=解:xx x xxe e x e x e e x y 323)3(232123++='+='=)323(2123++x x e x⑵x x x y ln cot 2+=解:)ln 2sin cos cos sin sin ()ln sin cos (222x x x x xx x x x x x x x y ++--='+=' =x x x x ++-ln 2sin 12⑶xx y ln 2=解:x x x x x x x y 22ln )1ln 2(ln ln 2-=-=' ⑷32cos x x y x+=解:6233)2(cos )2ln 2sin (xx x x x y x x ⋅+-+-=' =423cos 322ln sin x x x x x xx ⋅--⋅+-⑸x x x y sin ln 2-=解:xx x x x x x y 22sin )(ln cos sin )21(---=' =xx x x x x x 222sin )cos(ln sin )21(---⑹x x x y ln sin 4-=解:)sin ln (cos 43x xx x x y +⨯-=' =xx x x x sin ln cos 43-⨯-⑺xx x y 3sin 2+= 解:xx x x x x x y 223)(sin 3ln 33)2(cos +-+='=xx x x x 3)(sin 3ln 2cos 2+-+ ⑻x x y xln tan e +=解:x xe x e y x x1)cos tan (2++=' =x xx x e x 1cos )1cos (sin 2++ ⒉求下列函数的导数y ':⑴xy e=解:x xexey xx221=⋅='⑵x y cos ln =解:x xxy tan cos sin -=-='⑶x x x y =解:因为87814121x x x x y =⋅⋅=所以 8187-='x y⑷x y 2sin =解:因为x x x y 2sin cos sin 2=⋅=所以 )211()(313221x x x y ++='-⑸2sin x y =解:22cos 22cos x x x x y =⋅='⑹xy e cos =解:='y xx e e ⋅-sin=xx e e sin - ⑺nx x y ncos sin =解:)(cos sin cos )(sin '⋅+'='nx x nx x y nn=n nx x nx x x n n n ⋅-⋅+⋅⋅-)sin (sin cos cos sin1=)sin sin cos (cos sin 1nx x nx x x n n -- ⑻xy sin 5=解:设xu y usin 5==x u u y y '⋅'='=x x xu cos 55ln cos 5ln 5sin ⋅⋅=⋅ ⑼xy cos e=解:设xu e y ucos ==x u u y y '⋅'='=x ex e x u sin )sin (cos -=-⋅ ⒊在下列方程中,y y x =()就是由方程确定的函数,求'y : 解:将方程两边对x 求导: x y x y sin cos -'=y e y'⋅22移项 x y e x y ysin )2(cos 2=-'所以:yex xy y 22cos sin -=' ⑵x y y ln cos =解:将方程两边对x 求导:)(ln cos ln )(cos '+'='x y x y yx yx y y y cos ln sin +'⋅-=' 移项 xyx y y cos )ln sin 1(=⨯+'所以:)sin ln 1(cos y x x yy +='⑶yx y x 2sin 2=解:'222'2'22cos 22y y x y x yy x xy y y x simy -=-=⋅+ 22222'cos 222cos 222xy xy simy y xy yx y x simyy xy +-=+-= ⑷y x y ln +=解:因为:y y y '+='1解得 11-='y y⑸2e ln y x y =+解:将方程两边对x 求导:y y y e xy '⋅='⋅+21整理得:)2(1ye y x y -='⑹y y xsin e 12=+ 解:将方程两边对x 求导:y y e y e y y x x '⋅+='⋅cos sin 2整理得:ye y ye y x x cos 2sin -='⑺3e e y x y -=解:将方程两边对x 求导:y y e y e x y '⋅-='⋅23整理得:23y e e y y x+='⑻yx y 25+=解:将方程两边对x 求导:y y y x '⋅+='2ln 25ln 5整理得:2ln 215ln 5yx y -=' ⒋求下列函数的微分y d : ⑴x x y csc cot +=解:因为 x xx x x y 222sin cos sin 1)sin 1(sin 1--='+-=' =x x2sin cos 1+- 所以 dx xxdy 2sin cos 1+-= ⑵xx y sin ln =解:因为 xx x x x y 2sin ln cos sin 1⋅-=' =x x xx x x 2sin ln cos sin ⋅-所以 dy=x x xx x x 2sin ln cos sin ⋅-dx ⑶x sin 2=y解:设 x u u y sin ,2== 则 x u u y y '⋅'='=x x x u cos sin 2cos 2⋅=⋅=x 2sin 所以 dy=x 2sin dx ⑷xy e tan = 解:设: xe u u y ==,tan则 x u u y y '⋅'='=x e u ⋅2cos 1=xxe e 2cos 所以 dy=xxee 2cos dx ⒌求下列函数的二阶导数: ⑴x y = 解:xy 21='2341)21(--='=''x xy⑵xy 3=解:3ln 3xy ='3ln 3ln 3)3ln 3(⨯='=''xx y= ⑶x y ln = 解:xy 1=' 21)1(x x y -='=''⑷x x y sin =解:x x x y cos sin +='xx x x x x x x x x y sin cos 2sin cos cos )cos (sin -=-+='+=''(四)证明题设)(x f 就是可导的奇函数,试证)(x f '就是偶函数. 证明:因为)(x f 就是奇函数,所以又因为)(x f 可导,函数)(x f -为复合函数。